初中数学九年级人教版《213实际问题与一元二次方程二》名校教学设计Word文档下载推荐.docx
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用此种设未知数的方法所列的方程更简单,但需要注意最后所求的解是什么几何背景的问题中常常利用图形的面积、勾股定理、线段的长等作为数量关系列方程.
在教学中,教师应重点关注:
(1)学生分析几何图形的能力;
(2)学生在未知数的选择上,能否根据情况灵活处理;
(3)在讨论中能否互相合作;
(4)一元二次方程的求解能力;
(5)是否对方程的解进行检验;
(6)学生回答问题时的语言表达是否准确.
列方程解应用题的教学,要注重知识的“生长点”与“延伸点”,把实际问题与一元二次方程的知识置于方程知识的整体体系中,注重知识的结构和体系,处理好局部知识与整体知识的关系,引导学生感受方程的整体性,将以前学过的解一元一次方程、二元一次方程组和分式方程应用题的方法迁移到解一元二次方程的应用问题中.通过解决封面设计的问题,体会对于某些数学问题可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识.
二、学情分析
学生已经学习了一节用一元二次方程解决实际问题,感受了方程模型的重要作用和应用价值,积累了一些利用一元二次方程解决实际问题的经验.这节课是上节课知识的延续和深化,“探究3”与以前的实际问题相比,数量关系方面更复杂,问题情境与实际情况也更接近,对于这样的综合性问题,学生缺乏解决问题的经验,而且探究3的问题中没有明确求什么,学生会感觉无从下手.学生一般可以意识到要通过设元列方程解决问题,但如何设元?
如何与几何知识结合,挖掘题目图形中隐含的相等关系?
构造方程模型对学生来说存在不同程度的困难,这也是本节课的难点所在.由于探究3的问题中,方程的两个根都是正数,但它们并不都是问题的解,因此由数学问题的解得到实际问题的答案对于学生来说也是一个难点.
三、教学目标
1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界某些问题中数量关系的有效数学模型.
2.能将实际问题抽象为数学问题,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对之进行描述,能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.
3.通过解决封面设计与草坪规划的实际问题,学会将实际问题转化为数学问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识.
4.通过经历列一元二次方程解决实际问题的过程,体会数学的实用价值,提高学习兴趣.
●重点
列一元二次方程解实际问题(封面设计与草坪规划问题).
●难点
发现问题中的数量关系.
四、评价设计
学习评价量表
标准
等级
能找出题目中的已知量和未知量,并能合理地设出未知数
A
找出能够表达实际问题全部含义的一个等量关系,然后列方程表达这个等量关系
B
会解方程,求出未知数的值;
检验方程的根能否使得实际问题有意义,并能准确地答题
五、教学活动设计
教学环节
教学活动
设计意图
教师活动
学生活动
复习回顾
问题1通过上一节课的学习,大家学到哪些知识和方法?
教师应重点关注:
(1)学生对列方程解应用题的具体步骤是否清晰?
(2)学生能否说出每一步的关键和应注意的问题?
学生回忆,找一位同学作答,其他同学补充.
学习了列一元二次方程解应用题,具体步骤为:
审:
审清题意,哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间存在怎样的数量关系;
设:
指设元,也就是设未知数,可以直接设未知数或间接设未知数,如果直接设比较难列方程可以间接设未知数;
列:
列方程是关键的一步,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系,然后列代数式表达这个等量关系;
解:
解方程,求出未知数的值;
验:
检验方程的解能否使得实际问题有意义;
答:
写出答案,一定遵循“问什么答什么,怎样问就怎样答”的原则.
为学生创设一个回忆、思考的情境,同时为引入新课、研究一般结论做铺垫;
问题与情境
问题2封面设计问题
要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占的面积是封面面积的四分之一,上、下边衬宽度相等,左、右边衬宽度相等,应该如何设计四周边衬的宽度(结果精确到
0.1cm)?
提问:
(1)本题中有哪些数量关系?
(2)如何理解正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形?
(3)如何利用已知的数量关系,合理地设未知数并列出方程?
(4)解方程并得出结论,对比各种方法各有什么特点.
学生对几何图形的分析能力;
学生在未知数的选择上,能否根据情况灵活处理;
学生在合作中能否积极参与,互相合作;
学生解一元二次方程的能力;
学生回答问题时语言表达是否准确.
同学们先认真读题,切记教师不可替代学生读题.
找一个学生回答问题
(1):
①书的封面长27cm,宽21cm,②正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形;
③上、下边衬宽度相等,左、右边衬宽度相等;
④四周的彩色边衬所占的面积是封面面积的四分之一.
(2)请一位学生回答,可举例说明,最后教师引导学生得出正中央矩形的长宽比是27:
21,即9:
7.
学生小组讨论问题(3),每个组选一个代表上黑板演示作答,每位同学要着重分析对题目中数量关系的处理方法.设左、右边衬和上、下边衬分别为7x和9x的方法是重点,学生配合图形加以解释.
(4)大致会出现以下几种方法:
方法一:
设左、右边衬的宽均为7xcm,上、下边衬的宽均为9xcm,则中央矩形的长为(27-18x)cm,宽为(21-14x)cm可列方程为(27-18x)(21-14x)=×
27×
21.
解得
因为
,所以舍去.
所以上、下边衬的宽度均约为1.8cm,左、右边衬的宽度均约为1.4cm.
方法二:
设中央矩形的长、宽分别为9xcm和7xcm.
可列方程为9x·
同样可求得:
上、下边衬的宽度均为(27-9x)×
0.5≈1.8(cm),左、右边衬的宽度均为(21-7x)0.5≈1.4(cm)
方法三:
设左、右边衬的宽均为xcm,上、下边衬的宽均为ycm,则中央矩形的长为(27-2y)cm,宽为(21-2x)cm可列方程组为
方法四:
设中央矩形的长为xcm,宽为ycm.
可列方程组为
“提问”中,问题
(1)
(2)帮助学生更妤地理解题意,为后面的解题做铺垫;
问题(3)让学生进行充分的讨论,得出不同的解法,激发探究热情,使学生体会解决问题方法的多样性;
问题(4)可以使学生体会列方程与解方程的完整结合,对比多种解题过程,体会已知数量关系的适当变形对解题的影响,丰富解题经验.
问题与情境
问题3草坪规划问题
如图(下面),某中学为方便师生活动,准备在长30m,宽20m的矩形草坪上修筑两横两纵四条小路,纵、横路的宽度比为3:
2.若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三,则路宽应为多少?
(2)由这些数量关系还能得到什么新的结论?
你想如何利用这些数量关系?
如何列方程?
(3)有什么方法可使本题易于解决?
(1)学生在上一环节中的学习效果;
(2)使学生充分体会图形变化的灵活性;
(3)学生对图形的观察、联系能力;
(4)图形变化过程中,位置改变,而有些数量不变.
解方程并得出结论,对比各种方法各有什么特点.
学生回答问题
(1)①草坪长30m,宽20m,②两纵两横小路的宽度比为3:
2;
③除小路外余下的面积是草坪面积的四分之三.
(2)路的面积是草坪面积的四分之一,草坪面积减去路的面积等于草坪面积的四分之三.
(3)学生分组讨论,画图,上黑板演示,老师与同学一起评价,总结图形变化的原则.
设纵路的宽度是3xm,横路的宽度是2xm.
列方程为:
2×
2x×
30+2×
3x×
20-4×
3x=×
20×
30.
设纵路的宽度是3xm,横路的宽度是2xm.列方程为:
(30-6x)(20-4x)=
×
30×
20.
通过“环节2”的学习,学生能够对题目中数量关系进行适当转变,在此前提下,引导学生利用在环节2中学到的解题方法,进一步分析题目中的数量关系,并针对图形做进一步的探究.
举一反三
问题4如图,在一块长35m宽26m的矩形地面上,修剪同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,要使剩余部分的面积为850,道路的宽应为多少?
问题5用一根120cm的细绳分别围出满足下列条件的长方形.
(1)面积为500;
(2)面积为900;
(3)面积为1200
分析:
要想围成满足题目中要求的长方形,只需要确定出长方形的长和宽即可.
学生能否正确分析数量关系;
学生能否正确表示图形中数量关系;
学生能否有效变化图形,简化题意;
学生解题思路是否完整,解题过程是否规范.
解设道路的宽是xm,则(35-x)(26-x)=850解得=1,=60(不合题意,舍去)答:
道路的宽为1m.
解设长方形的宽为xcm,则长为(60-x)cm
(1)根据题意可列方程为x(60-x)=500整理,得
-60x+500=0.
解得=10,=50经检验,符合题意.
若围成面积为500的长方形,则这个长方形的长和宽分别是10cm和50cm.
(2)根据题意可列方程为x(60-x)=900.
整理,得-60x+900=0解得==30.
经检验,符合题意.
若围成面积为900的长方形,则这个长方形的长和宽都是30cm.
(3)根据题意可列方程为x(60-x)=1200整理,得
-60x+1200=0.
△=-4ac
=3600-4800<
0,
所以此方程无实数根.
围不成面积为1200的长方形.
深化对所学内容的理解,内化研究问题的方法,加深对图形类应用问题的理解,体会图形变化对解题带来的方便,提高灵活解决问题的能力.
总结提升
问题6通过本节课的学习,大家有什么新的收获和体会?
在小结时,教师应重点关注:
(1)学生对知识的归纳、总结、整理能力;
(2)学生横向联结知识的能力、用数学语言表达的能力.
今天
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