步步高高中数学 步步高选修23 第二章 212二Word格式.docx

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为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.

类型一　两点分布

例1　袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列.

解　由题设可知X服从两点分布

P（X＝0）＝＝；

P（X＝1）＝1－P（X＝0）＝.

∴X的分布列为

反思与感悟　两步法判断一个分布是否为两点分布

（1）看取值：

随机变量只取两个值：

0和1.

（2）验概率：

检验P（X＝0）＋P（X＝1）＝1是否成立.如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布.

跟踪训练1　篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.85，求他一次罚球得分的分布列.

解　由题意，结合两点分布的特征可知，所求分布列为

0.15

0.85

类型二　超几何分布

例2　一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；

黑球有2个，编号为1,2；

白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球.

（1）求取出的3个球的颜色都不相同的概率.

（2）记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列.

解　

（1）从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n＝C＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为CCC＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P＝＝.

（2）由题意知X＝0,1,2,3.

P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，

所以X的分布列为：

2

3

反思与感悟　超几何分布的求解步骤

（1）辨模型：

结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分.具有该特征的概率模型为超几何分布模型.

（2）算概率：

可以直接借助公式P（X＝k）＝求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义.

（3）列分布表：

把求得的概率值通过表格表示出来.

跟踪训练2　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.

（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列.

解　

（1）由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为＝.

因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.

（2）根据题意，X的可能取值为1,2,3.

P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，

P（X＝3）＝＝.

所以X的分布列为

类型三　分布列的实际应用

例3　某项大型运动会即将举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高（单位：

cm）编成如下茎叶图：

若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.

（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？

（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列.

解　

（1）根据茎叶图，“高个子”有12人，“非高个子”有18人.用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，所以选中的“高个子”有12×

＝2人，“非高个子”有18×

＝3人.

用事件A表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件表示“没有‘高个子’被选中”，

则P（A）＝1－P（）＝1－＝1－＝.

因此，至少有1人是“高个子”的概率是.

（2）依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则

P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，

P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝.

因此，ξ的分布列为：

ξ

反思与感悟　

（1）在求某些比较难计算的事件的概率时，我们可以先求随机变量取其他值时的概率，再根据概率之和为1的性质即可解决问题.

（2）在解决含有“至少”“至多”的问题时，利用对立事件进行求解不失为一种好方法.

跟踪训练3　袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：

（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

（2）随机变量X的概率分布列；

（3）计算一次取球得分介于20分到40分之间的概率.

解　

（1）方法一　“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P（A）＝＝.

方法二　“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件.

因为P（B）＝＝，

所以P（A）＝1－＝.

（2）由题意，X所有可能的取值是2,3,4,5，

P（X＝2）＝＝，

P（X＝3）＝＝，

P（X＝4）＝＝，

P（X＝5）＝＝.

所以随机变量X的概率分布列为

4

5

（3）“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P（C）＝P（X＝3或X＝4）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋＝.

1.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为（　　）

A.B.

C.1－D.

答案　D

解析　设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，

则P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋.

2.在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率等于的是（　　）

A.P（ξ＝2）B.P（ξ≤2）

C.P（ξ＝4）D.P（ξ≤4）

答案　C

解析　由P（ξ＝4）＝可得.

3.若随机变量ξ只能取两个值0,1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列.

解　由题意及分布列满足的条件知P（ξ＝0）＋P（ξ＝1）＝3P（ξ＝1）＋P（ξ＝1）＝1，所以P（ξ＝1）＝，故P（ξ＝0）＝.所以ξ的分布列为

4.交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列.

解　设抽奖人所得钱数为随机变量ξ，则ξ＝2,6,10.

P（ξ＝2）＝＝，

P（ξ＝3）＝＝，

P（ξ＝10）＝＝.

故ξ的分布列为

6

10

1.两点分布：

两点分布是很简单的一种概率分布、两点分布的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪一个量.

2.超几何分布：

超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N、M和n就可以根据公式：

P（X＝k）＝求出X取不同值k时的概率.学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M、N、n、k的含义.

一、选择题

1.今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为（　　）

解析　出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品的概率为，故答案为1－.

2.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（　　）

A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X

B.从7名男生3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X

C.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X

D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数

答案　B

解析　由超几何分布的定义可知B正确.

3.10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a＝（　　）

A.1B.2或8C.2D.8

解析　由题意知，＝，

解得：

a＝2或8.

4.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P（ξ＝0）等于（　　）

A.0B.C.D.

解析　设P（ξ＝1）＝p，则P（ξ＝0）＝1－p.

依题意知，p＝2（1－p），解得p＝.

故p（ξ＝0）＝1－p＝.

5.盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（　　）

A.恰有1个是坏的B.4个全是好的

C.恰有2个是好的D.至多有2个是坏的

解析　“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，

则P（X＝k）＝（k＝1,2,3,4）.∴P（X＝1）＝，

P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，故选C.

6.从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P（X＝3）等于（　　）

A.B.C.D.

解析　“X＝3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故P（X＝3）＝＝＝，选D.

二、填空题

7.若随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝0.8，P（X＝1）＝0.2.令Y＝3X－2，则P（Y＝－2）＝________.

答案　0.8

解析　由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，

∴P（Y＝－2）＝0.8.

8.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P（X＝2）＝________.

答案　

解析　设10个球中有白球m个，

则＝1－，解得：

m＝5.

P（X＝2）＝＝.

9.有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________.（用式子表示）

解析　二级品不多于1台，即一级品有3台或者4台.

10.袋中装有5只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P（ξ≥8）＝________.

解析　由题意知P（ξ≥8）＝1－P（ξ＝6）－P（ξ＝4）＝1－－＝.

三、解答题

11.一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球.

（1）