安徽省巢湖市柘皋中学届高三上学期第三次月考数学理试题Word版附详细解析Word下载.docx
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B.若命题为假命题,命题为真命题,则为假命题
C.命题“若,则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题
D.命题“若,则或”的逆否命题为“若且,则”
【解析】选择A:
命题“,使”的否定为“,都有”;
选项B:
为真命题;
选项C:
“若,则与的夹角为锐角”原命题为假命题,逆命题为真命题,故选D
5.中,角的对边分别为,,,,则为()
【答案】A
..................
由正弦定理,可得,进而得到,故选A.
6.已知数阵中,每行的三个数依次成等差数列,每列的三个数也依次成等差数列,若,则所有九个数的和为()
A.18B.27C.45D.54
【解析】由题意得,这九个数的和
根据等差数列的性质,得,
又因为各列也构成等差数列,则,
所以,故选C.
7.已知函数(),且导函数的部分图象如图所示,则函数的解析式为()
A.B.
C.D.
【解析】因为,所以,
由图象可得,函数的最大值,
又因为,所以,可得,
所以,将代入,
得,即,即,
因为,所以,所以
所以,故选B.
8.如图,设是平面内相交成角的两条数轴,、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量,若向量,则把有序数对叫做向量在仿射坐标系中的坐标.若在此仿射坐标系下,的坐标为,的坐标为,则()
【解析】在平面直角坐标系可得:
,
则,
所以,故选A.
9.函数()的图象大致是()
【解析】由题意可知,
所以函数是奇函数,依据图象排除A和C选项,
由于,即,排除D选项,故选B.
10.将向量组成的系列称为向量列,并定义向量列的前项和.若,则下列说法中一定正确的是()
A.B.不存在,使得
C.对,且,都有D.以上说法都不对
【解析】由,则,所以数列构成首项为,公比为的等比数列,所以,又当时,,
所以当,且时,是成立的,故选C.
11.已知,,,
则函数()的各极大值之和为()
【解析】由题意得,,所以,
则,所以的极大值点为,
的各极大值之和为,故选A.
点睛:
本题主要考查了导数在函数中的应用以及等比数列的求和问题,其中解答中涉及到归纳推理、利用导数研究函数的极值,以及等比数列求和公式等知识点的综合应用,试题有一定的综合性,属于中档试题,解答中认真审题,利用导数判定出函数在定义域上的极大值点是解答的关键.
12.如图,点为的边上一点,,为边上的一列点,满足,若,则()
【解析】因为,所以,所以,
因为,且,
所以,得,所以,
又,所以数列表示首项为,公差为的等差数列,所以,故选B.
点睛:
本题主要考查了向量的运算和数列的通项公式的求解问题,其中解答中涉及到向量的线性运算,共线向量的表示和等差数列的判定和等差数列的通项公式的应用,试题综合性强,属于中档试题,解答中根据向量的运算和共线向量的表示,得出数列和的关系是解答的关键.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.__________.
【答案】
【解析】由,及,
可得,所以.
14.已知函数,若,则实数的值是__________.
【答案】0或或
【解析】由题意得,①当时,,符合题意;
②当时,,解得,符合题意;
③当时,,解得,符合题意,
综上所述,或或.
15.若直线为函数图象的一条切线,则的最小值为__________.
【答案】0
【解析】设切点,则,所以方程为,
即,所以,,
可得在上单调递减,在单调递增,
所以当时,取得最小值.
本题主要考查了导致在函数中的应用,其中解答中涉及到导数的几何意义求解切线的方程,利用导数研究函数的单调性,以及利用导数研究函数的最值等知识点的综合应用,试题有一定的综合性,属于中档试题,解答中根据导数的几何意义,得出切线方程,求得的解析式是解答的关键.
16.点为所在平面内的一点且满足,
,动点满足,,则的最小值为__________.
【解析】因为,即点是外接圆的圆心,即外心,
又因为,即点是外接圆的重心,
所以是等边三角形,
由,解得,即三角形的边长为,
以点为原点建立坐标系,并且做单位元,点是圆上任意一点,
则,点是的中点,
所以,
当时,函数取得最小值,即的最小值为.
本题主要考查了三角函数的综合应用问题,其中解答中涉及到三角形的性质,正弦定理解三角形,以及三角函数的恒等变换和三角函数的性质,试题综合性强,属于难题,解答中根据三角形的形式和正弦定理得到三角形为等边三角形,建立坐标系,利用坐标法求解是解答的关键.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知向量,,记函数.
(1)求函数的最大值及取得最大值时的取值集合;
(2)求函数在区间内的单调递减区间.
(1)最大值,且取得最大值时的集合为;
(2)和
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意,化简得,即可求解函数的最值,及其相应的的值.
(Ⅱ)由题意:
根据三角函数的图象与性质,即可求解在的单调递减区间.
试题解析:
当,即时,取得最大值.
此时,最大值.
且取得最大值时的集合为.
(2)由题意:
,即,.
于是,在的单调递减区间是和.
18.在等差数列中,,.记数列的前项和为.
(1)求;
(2)设数列的前项和为,若成等比数列,求.
(1);
(2)
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意,求得等差数列的公差,进而得到数列的通项公式,即可求解数列的前项和.
(Ⅱ)由成等比数列,求解,进而得到数列通项公式,再猜裂项相消求和即可.
(1)由得,
∵,∴,
∴,∴,∴,
.
(2)若成等比数列,则,即,∴,
∵
∴.
19.设分别为三个内角的对边,若向量,
,且.
(1)求的值;
(2)求的最小值(其中表示的面积).
(Ⅰ)由题意得,得出向量的坐标,根据,利用,化简即可到结论;
(Ⅱ)由三角形的面积公式及余弦定理,得,在中,得出,再利用正切的两角和公式和基本不等式,即可求解结论.
(1)∵,,且,
∴即,
,
因此.
(2)由及余弦定理,得
在中,∵,易知,
∴
即当且仅当时,.
20.设函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.
(1)见解析;
(Ⅰ)由定义域为,求得,分,两种情况讨论,即可得出函数的单调性;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知得到,则恒成立,转化为函数,
得出,令令,利用导数得出的单调性和最值,即可求解实数的取值范围.
(1)由定义域为,,
当时,,在单调增.
当时,,;
在单调增,在单调减.
综上所述:
当时,在单调增;
当时,在单调增,在单调减.
(2)由(Ⅰ)可知,,则恒成立.
令,显然,
再令,,当,当.
在单调减,单调增.,,∴,
在单调增,,∴.
21.设正项数列的前项和为,且满足,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若正项等比数列满足,且,数列的前项和为.
①求;
②若对任意,,均有恒成立,求实数的取值范围.
(Ⅰ)由题意,可化简得,进而求得,所以,
利用等差数列的通项公式,即可求解数列的通项公式;
(Ⅱ)由
(1)得出,利用乘公比错位相减法,求解数列的和,在利用恒成立,分类参数转化为恒成立,即可求解结论.
(1),,∴,
∴且各项为正,∴
又,所以,再由得,所以
∴是首项为1,公差为3的等差数列,∴
(2)∴,
①,②
∴,
恒成立
∴,即恒成立.
设,
当时,;
时,
∴,∴.
本题主要考查了数列的综合应用问题,其中解答中涉及到等差数列的通项公式的求解,数列的乘公比错位相减法求和,数列的恒成立的求解等知识点的综合运用,试题有一定的综合性,属于中档试题,解答中准确运算和合理转化恒成立问题是解答的关键.
22.已知函数.
(1)若,试判断函数的零点个数;
(2)若函数在上为增函数,求整数的最大值,(可能要用的数据:
;
).
(1)1个;
(2)6
(Ⅰ)根据导数求解函数的单调性,利用零点的存在定理,即可判定函数在上的零点的个数.
(Ⅱ)由题意,把在上恒成立,在上恒成立,进而转化为
在上恒成立,令,即,利用导数求解函数的单调性和最小值,即可求解实数的取值范围.
(1)因为,易知在上为增函数,则,
故在上为增函数,又,,
所以函数在上的零点有且只有1个.
(2)因为,由题意在上恒成立,
因为显然成立,故只需在上恒成立,
令,则
因为
由
(1)可知:
在上为增函数,故在上有唯一零点记为,,,
则,,
则在为减函数,
在为增函数,
故时,有最小值.
令,则最小值有,
因,则的最小值大约在之间,故整数的最大值为6.
本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题,其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值与最值,以及恒成立问题的求解,试题综合性强,属于难题,此类问题的解答中,根据题意合理利用分离参数转化为新函数的性质是解答的关键.
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