离散数学复习资料和试题Word下载.doc
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,{a}},{a,{a}},{Æ
,a,{a}}}
3.集合的运算:
10组集合恒等式:
1)交换率:
A∪B=B∪A;
A∩B=B∩A
2)结合律:
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
3)分配律:
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
4)同一律:
A∪Æ
=A;
A∩E=A
5)零一律:
A∩Æ
=Æ
;
A∪E=E
6)互补率:
A∪~A=E;
A∩~A=Æ
~E=Æ
~Æ
=E
7)双重否定率:
~~A=A
8)幂等率:
A∪A=A;
A∩A=A
9)吸收率:
A∪(A∩B)=A;
A∩(A∪B)=A
10)德摩根率:
~(A∪B)=~A∩~B;
~(A∩B)=~A∪~B
交:
A∩B;
并:
A∪B;
差运算:
A—B(属于A不属于B);
补运算:
~A;
对称差运算:
AÅ
B;
笛卡儿乘积:
A×
B={<
a,b>
|a∈A,b∈B}
设A={a,b,c},B={b,d,e}则A—B={a,c},AÅ
B={a,c,d,e}
4.集合的计数问题:
|A|=2n(n是集合A的元素的个数)
|A∪B|=|A|+|B|—|A∩B|;
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|—|A∩B|—|A∩C|—|B∩C|+|A∩B∩C|
5.关系的性质:
①由图写出性质
②有性质画图
③由关系集合写性质
(自反性,反自反性,对称性,反对称性,传递性:
)P34##2.6
用图表示出来的在集合X={1,2,3}上的关系的6个图形,从图中可以清楚的看出:
(1)R1是自反的、对称的、又是传递的(它是一个全关系);
(2)R2是反自反的、反对称的
(3)R3不是反自反的、反对称的
(4)R4是自反的、反对称的
(5)R5是反自反的、对称的、反对称的、传递的(它是一个空关系)
6.映射与关系
6.设集合A={a1,a2,a3,a4},B={b1,b2,b3},σ={〈a1,b2〉,〈a2,b2〉,〈a3,b1〉,〈a4,b3〉}则σ是满射但不是单射
7.关系的闭包:
r(R)=R∪IA┎;
s(R)=R∪~R;
t(R)=R∪R1∪R2∪R3……∪Rn
1.设A={a,b,c},R1、R2是A上的二元关系:
R1={〈a,a〉,〈b,b〉,〈b,c〉,〈d,d〉}
R2={〈a,a〉,〈b,b〉,〈b,c〉,〈c,b〉,〈d,d〉}试证明R1是R2的何种闭包
解:
R1∪~R1={〈a,a〉,〈b,b〉,〈b,c〉,〈d,d},〈c,b〉}
即有R1∪~R1=R2根据对成闭包的定义及求解方法只R2是R1的对称闭包
2.设集合A={a,b,c,d},定义R={〈a,b〉,〈b,a〉,〈b,c〉,〈c,d〉}求r(R),s(R),t(R)
r(R)={〈a,a〉,〈b,b〉,〈c,c〉,〈d,d〉,〈a,b〉,〈b,a〉,〈b,c〉,〈c,d〉}
s(R)={〈a,b〉,〈b,a〉,〈b,c〉,〈c,b〉,〈c,d〉,〈d,c〉}
t(R)={〈a,a〉,〈b,b〉,〈a,b〉,〈a,c〉,〈a,d〉,〈b,a〉,〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,d〉}
3.由关系集合写性质
设A={a,b,c},R={〈a,a〉,〈b,b〉},具有反对称性
8.关系的运算(复合运算)R1R2
1.设X={0,1,2,3},X上有两个关系:
R1={〈i,j〉|j=i+1或j=i/2};
R2={〈i,j〉|i=j+2}
求复合关系:
R1R2
R1={〈0,1〉,〈1,2〉,〈2,3〉,〈0,0〉,〈2,1〉},R2={〈2,0〉,〈3,1〉}则有:
R1R2={〈1,0〉,〈2,1〉}
2.设R1,R2是集合A={1,2,3,4}上的二元关系,其中R1={〈1,1〉,〈1,2〉,〈2,4〉},R2={〈1,4〉,〈2,3〉,〈2,4〉,〈3,2〉},试求:
R1R2=〈1,4〉,〈1,3〉}
9.特殊关系等价关系:
1.A={0,1,2,4,5,8,9},R为A上模为4的同余关系,求
(1)R的所有等价类
(2)画出R的关系图
R={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,2〉,……,〈9,9〉,〈0,4〉,〈4,0〉,〈1,5〉,〈5,1〉,〈4,8〉,〈8,4〉,〈5,9〉,〈9,5〉,〈0,8〉,〈8,0〉,〈1,9〉,〈9,1〉}
(1)[0]R={0,4,8}=[4]R=[8]R;
[1]R={1,5,9}=[5]R=[9]R;
[2]R={2}
(2)
2.A={a,b,c,d}A的等价关系R={〈a,a〉,〈b,b〉,〈c,c〉,〈d,d〉,〈a,b〉,〈b,a〉,〈8,4〉,〈c,d〉,〈d,c〉}求
(1)图
(2)A的等价类(3)A/R(商集)
(1)
(2)[a]R=[b]R={a,b}[c]R=[d]R={c,d}(3)A/R={{a,b},{c,d}}
3.A={,1,2,4,……,24}上定义R={<
x,y>
|x,y∈A,且(x—y)能被12整除}
(1)写出R
(2)画图(3)证明R是等价关系
解:
(1)R={<
1,1>
<
2,2>
……<
24,24>
1,13>
2,14>
12,24>
24,12>
}
(2)
(3)(定义法)若证明R为等价关系,只需证明R具有自反性,对称性,传递性
①自反性:
"
x∈A,则<
x,x>
∈R所以R具有自反性
②对称性:
若<
x,y>
∈R,则12|(x—y),y—x=(—x+y)
所以12|(y—x),故<
y,x>
∈R,所以R具有对称性
③传递性:
如果<
∈R,且<
y,z>
∈R,则12|(x—y)且12|(y—z)
则x—z=(x—y)+(y—z)能被12整除,故12|(x—z),<
x,z>
∈R
所以R具有传递性
综上所述,R为等价关系
偏序关系
1.集合X={2,3,6,8},上的整除关系R={〈2,2〉,〈3,3〉,〈6,6〉,〈8,8〉,〈2,6〉,〈2,8〉,〈3,6〉}是偏序的,求其哈斯图
2.集合A={2,3,6,12,24,36}上的整除关系R是偏序的,它可用哈斯图表示
R={〈2,2〉,〈3,3〉,〈6,6〉,〈12,12〉,〈24,24〉,〈36,36〉,
〈2,6〉,〈3,6〉,〈6,12〉,〈12,24〉,
〈2,12〉,〈3,12〉,〈6,24〉,〈12,36〉
〈2,24〉,〈3,24〉,〈6,36〉,
〈2,36〉,〈3,36〉}
求特殊关系
1.设A={a,b,c}的幂集ρ(A)={Æ
{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}}上的“Í
”是偏序关系,则
(1)B={{a,b},{b,c},{b},{c},Æ
}
(2)B={{a},{c}},求8种特殊关系
(1)不$y∈B,"
y’Í
y,故无罪最大元,最小元是Æ
极大元为{a,b},{b,c};
极小元为Æ
上界和上确界均{a,b,c};
下界下确界均为Æ
(2)无最大最小元;
极大元和极小元均为{a},{c};
上界为,{a,c},{a,b,c};
上确界为{a,c};
下界和下确界均为Æ
2.集合A={2,3,6,12,24,36},其中“≤”为A上的整除关系R
1)画出一般的关系图和哈斯图2)设B1={6,12}B2={2,3}B3={24,36}B4={2,3,6,12}为A的子集试求出B1B2B3B48种元素
最大元
最小元
极大元
极小元
上界
下界
上确界
下确界
B1
12
6
12,24,36
2,3,6
B2
无
2,3
6,12,24,36
B3
24,36
2,3,6,12
B4
3.A={a,b,c,d,e,f,g,h},对应的哈斯图如下;
令B1={a,b},B2={c,d,e},求B1B28种元素
解
B1
B2
c
a,b
d,e
c,d,e,f,g,h
h
a,b,c
代数系统
1.代数系统单位元逆元素零元素
1.在实数集R上定义二元关系“*”:
“”如下:
x*y=x+y—xy,xy=1/2(x+y)
(1)x*y是否满足结合律、交换率?
是否有单位元及逆元?
(2)xy是否满足结合律、交换率?
因为
(1)(x*y)*z=(x+y—xy)*z=x+y—xy+z—xz—yz+xyz
x*(y*z)=x*(y+z—yz)=x+y—xy+z—xz—yz+xyz满足结合率
x*y=x+y—xy;
y*x=y+x—xy满足交换率
x*0=x+0—x0=0+x—0x=x所以单位元是0
x*x—1=x+x—1—xx—1=0所以x—1=—x/(1—x)(x≠1)
所以对于R—{1}的所有x均有逆元素—x/(1—x)
(2)因为(xy)z=1/2(x+y)z=1/2(1/2(x+y)+z)=1/4x+1/4y+1/2z
x(yz)=x1/2(y+z)=1/4y+1/4z+1/2x所以不满足结合律
又因为xy=1/2(x+y),yx=1/2(x+y)所以满足交换率;
不存在单位元素和逆元素
2.在代数系统<
N,+>
中的单位元是:
3.设A是非空集合<
ρ(A),∪,∩>
中,ρ(A)对运算∪的单位元是Æ
,ρ(A)对运算∩的单位元是A
2.找子群证明交换群
1.试证阶为偶数的循环群中周期为2的元素个数一定是奇数
证明:
设(G,*)是阶为n的循环群,即|G|=n(n是偶数)。
任取a∈G,an=e(m>
2),a的阶为m,a的逆元素a—1∈G,故(a—1)m=(am)—1=e—1=e,由群的性质,知a—1的阶也是m,则必定有a≠a—1
反证法,若a≠a—1,则a2=e,所以a的阶不大于2,这与m>
2矛盾,所以a≠a—1,即当a的阶数大于2时,a与它的逆元素总是成对出现的
又因为群中唯一的单位元素e的阶为1,此时阶大于2的元素个数是偶数,加上单位元e,个数为奇数了,剩下的那些阶为2的元素个数必须是奇数,才能满足所给条件n是偶数,得证
2.
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