外点法求约束最优化问题.doc

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数学规划课程设计

题目外点法求约束最优化问题

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摘要

罚函数是应用最广泛的一种求解式的数值解法，基本思路是通过目标函数加上惩罚项，将原约束非线性规划问题转化为求解一系列无约束的极值问题。

（这种惩罚体现在求解过程中，对于企图违反约束的那些迭代点，给予很大的目标函数值，迫使这一系列无约束问题的极小值或者无限地向可行解（域）逼近，或者一直保持在可行集（域）内移动，直到收敛于原来约束问题的极小值点。

）

本文.......

外点法可用于求解不等式约束优化问题，又可用于求解等式约束优化问题，主要特点是惩罚函数定义在可行域的外部，从而在求解系列无约束优化问题的过程中，从可行域外部逐渐逼近原约束优化问题最优解。

关键词：

罚函数法、约束最优化问题、外点法

一、预备知识（基本理论）

看下是否还有定理、定义等等，可以加一些

外点惩罚函数法的一般形式

考虑不等式约束优化设计时：

对

构造一般形式的外点惩罚函数为：

其中：

（1）当满足所有约束条件时惩罚项为0，即

（2）当X违反某一约束条件，即时表明X在可行域外，惩罚项起作用，且若X离开约束边界越远，惩罚力度越大。

这样用惩

罚的方法迫使迭代点回到可行域。

（3）惩罚因子是一递增的正数数列，即

且一般

考虑等式约束的优化问题：

构造外点罚函数：

同样，若X满足所有等式约束则惩罚项为0；若不能满足，则且随着惩罚因子的增大而增大；

综合等式约束和不等式约束情况，可以得到一般约束优化问题的外点罚函数公式为：

实际计算中，因为惩罚因子不可能达到无穷大，故所得的最优点也不可能收敛到原问题的最优点，而是落在它的外面，显然，这就不能严格满足约束条件。

为了克服外点惩罚函数法的这一缺点，对那些必须严格满足的约束（如强度、刚度等性能约束）引入约束裕度，即将这些约束边界向可行域内紧缩，移动一个微量，得到

这样用重新定义的约束函数来构造惩罚函数，得到最优设计方案。

外点惩罚函数法的迭代步骤：

1.给定初始点，初始惩罚因子，维数n迭代精度和递增系数；

2.构造外点惩罚函数；

3.选用无约束优化方法来求解惩罚函数极小点，即，

4.检验是否满足迭代终止条件

或若满足转6，若不满足转5；

5.令，转2；

6.输出最优解，迭代终止。

二、解问题

1问题重述

用外点法求解约束最优化问题

2问题求解

解：

构造罚函数

用解析法求解

即，

的解为

当时，，

即解为:

程序解法：

利用MATLAB编写程序如下：

m=zeros（1,50）;a=zeros（1,50）;

b=zeros（1,50）;f0=zeros（1,50）;%ab为最优点坐标，f0为最优点函数值，f1f2最优点梯度。

symsx1x2e;%e为罚因子。

m

（1）=1;c=10;a

（1）=0;b

（1）=0;%c为递增系数。

赋初值。

f=x1^2+2*x2^2+e*（1-x1-x2）^2;f0

（1）=1;

fx1=diff（f,'x1'）;fx2=diff（f,'x2'）;fx1x1=diff（fx1,'x1'）;

fx1x2=diff（fx1,'x2'）;fx2x1=diff（fx2,'x1'）;

fx2x2=diff（fx2,'x2'）;%求偏导、海森元素。

fork=1:

100%外点法e迭代循环.

x1=a（k）;x2=b（k）;e=m（k）;

forn=1:

100%梯度法求最优值。

f1=subs（fx1）;%求解梯度值和海森矩阵

f2=subs（fx2）;

f11=subs（fx1x1）;

f12=subs（fx1x2）;

f21=subs（fx2x1）;

f22=subs（fx2x2）;

if（double（sqrt（f1^2+f2^2））<=0.001）%最优值收敛条件a（k+1）=double（x1）;b（k+1）=double（x2）;f0（k+1）=double（subs（f））;

break;

else

X=[x1x2]'-inv（[f11f12;f21f22]）*[f1f2]';

x1=X（1,1）;x2=X（2,1）;

end

end

if（double（sqrt（（a（k+1）-a（k））^2+（b（k+1）-b（k））^2））<=0.001）&&（double（abs（（f0（k+1）-f0（k））/f0（k）））<=0.001）%罚因子迭代收敛条件

a（k+1）%输出最优点坐标，罚因子迭代次数，最优值

b（k+1）

k

f0（k+1）

break;

else

m（k+1）=c*m（k）;

end

end

得结果：

ans=

0.6666

ans=

0.3333

k=

5

ans=

0.6666

即min（）的最优结果为0.6666

写一些总结性内容

三、参考文献

[1]范玉妹，徐尔，赵金玲，胡毅庆.数学规划及其应用[M].北京：

冶金工业出版社，2009

[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学建模[M].北京：

高等教育出版社，2003

[3][沙特]M.H.Alsuwaiyel.算法设计技巧与分析[M].北京：

电子工业出版社，2009

[4]刘卫国.MATLAB程序设计及其应用[M].北京：

高等教育出版社，2006

[6]唐加福,汪定伟,许宝栋,李露.基于评价函数的遗传算法求解非线性规划问题[J].控制与决策学报，2000（5）

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