复数(基础+复习+习题+练习)Word文档下载推荐.doc
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虚数单位:
它的平方等于,即 ;
实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.
与-1的关系:
就是的一个平方根,即方程的一个根,方程的另一个根是.
的周期性:
,,.
复数的定义:
形如的数叫复数,叫复数的实部,叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集,用字母表示
复数的代数形式:
复数通常用字母表示,即,把复数表示成的形式,叫做复数的代数形式.
复数与实数、虚数、纯虚数及的关系:
对于复数,当且仅当时,复数是实数;
当时,复数叫做虚数;
当且时,叫做纯虚数;
当且仅当时,就是实数
复数集与其它数集之间的关系:
两个复数相等的定义:
如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果,,,,那么,
复平面、实轴、虚轴:
复数与有序实数
对是一一对应关系.建立一一对应的关系.点的横坐标是,
纵坐标是,复数可用点表示,这个
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,
轴叫做实轴,轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.
对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为,它所确定的复数是表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
复数复平面内的点
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法.
复数与的和的定义:
复数与的差的定义:
复数的加法运算满足交换律:
复数的加法运算满足结合律:
乘法运算规则:
设,(、、、)是任意两个复数,那么它们的积
其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把换成,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
乘法运算律:
(1)
复数除法定义:
满足的复数(、)叫复数除以复数的商,记为:
或者
除法运算规则:
①设复数(、),除以(,),其商为(、),
即∵
∴
由复数相等定义可知解这个方程组,得
于是有:
②利用于是将的分母有理化得:
原式
.
∴(
点评:
①是常规方法,②是利用初中我们学习的化简无理分式时,都是采用的分母有理化思想方法,而复数与复数,相当于我们初中学习的的对偶式,它们之积为是有理数,而是正实数.所以可以分母实数化.把这种方法叫做分母实数化法.
共轭复数:
当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
典例分析:
考点一复数的概念
问题1.(四川)复数的虚部为.
(全国Ⅰ)设是实数,且是实数,则
(安徽文)设是虚数单位,若复数是纯虚数,则的值为
(湖南)复数(为虚数单位)在复平面上对应的点位于
第一象限第二象限第三象限第四象限
(安徽)设是虚数单位,是复数的共轭复数,若,则
考点二复数相等的应用
问题2.(湖北)设、为实数,且,则
(江西文)若,则复数=
(上海)若是关于的实系数方程的一个复数根,则
考点三复数的运算
问题3.(全国大纲)
(上海)计算:
(为虚数单位).
(浙江)已知是虚数单位,则
(安徽)复数满足:
;
则
考点四复数的模
问题4.(新课标Ⅱ文)
(辽宁)复数的模为
走向高考:
(福建)已知复数的共轭复数(i为虚数单位),则在复平面内对应的点位于第一象限第二象限第三象限第四象限
(全国Ⅱ)设复数满足,则
(北京)
(福建)复数等于
(安徽)若为实数,,则等于
(天津)是虚数单位,
(四川)复数的值是
(江西)化简的结果是
(湖南)复数等于
(湖北)复数,且,若是实数,则有序实数对可以是(写出一个有序实数对即可)
(上海,)对于非零实数、,以下四个命题都成立:
①;
②;
③若,则;
④若,则.
那么,对于非零复数、,仍然成立的命题的所有序号是
(浙江)已知复数,,则复数
(上海)若复数同时满足-=,=(为虚数单位),则=
6
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