原子物理学习题解答Word文档格式.doc
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1.5
(1)试证明:
一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于,式中和分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量.
(2)当电子的动能为何值时,它的德布罗意波长等于它的康普顿波长?
(1)证明:
粒子的康普顿波长:
德布罗意波长:
所以,
(2)解:
当时,有,即:
故电子的动能为:
1.6一原子的激发态发射波长为600nm的光谱线,测得波长的精度为,试问该原子态的寿命为多长?
由海森伯不确定关系得:
1.7一个光子的波长为300nm,如果测定此波长精确度为.试求此光子位置的不确定量.
,或:
2.1按汤姆逊的原子模型,正电荷以均匀密度分布在半径为R的球体内。
(1)设原子内仅有一个电子,试证该电子(电量为-e)在球体内的运动是以球心为平衡位置的简谐振动;
(2)设正电荷的总量等于一个电子的电量,且m,试求电子振动频率及由此辐射出的光子的波长.
(1)电子所受库仑引力为:
由于,所以
由此可知,电子的运动是以球心为平衡位置的简谐振动.
(2)当Z=1,m时,
振动频率
辐射出的光子波长:
2.2当一束能量为4.8MeV的α粒子垂直入射到厚度为cm的金箔上时,探测器沿20°
方向每秒纪录到个α粒子.试求:
(1)仅改变探测器安置方位,沿60°
方向每秒可纪录到多少个α粒子?
(2)若α粒子能量减少一半,则沿20°
方向每秒可测得多少个α粒子?
(3)α粒子能量仍为4.8MeV,而将金箔换成厚度相同的铝箔,则沿20°
(金和铝的密度分别为19.3g/cm3和2.7g/cm3,原子量分别为197和27,原子序数分别为79和13.忽略核的反冲).
由公式,
(1)当时,每秒可纪录到的α粒子满足:
故(个)
(2)由于,所以(个)
(3)由于,故这时:
(个)
2.3动能为40MeV的α粒子和静止的铅核(Z=82)作对心碰撞时的最小距离是多少?
由公式:
当对心碰撞时,,,则
2.4动能为0.87MeV的质子接近静止的汞核(Z=80),当散射角时,它们之间的最小距离是多少?
最小距离为:
2.5试证明α粒子散射中α粒子与原子核对心碰撞时两者间的最小距离是散射角为90°
时相对应的瞄准距离的两倍。
证明:
由库仑散射公式:
,当时,,这时
而对心碰撞的最小距离:
证毕。
2.6已知氢的赖曼系、巴尔末系和帕邢系的第一条谱线的波长分别为:
121.6nm,656.3nm和1875.1nm.由此还可以求出哪些系的哪几条谱线来?
它们的波长各为多少?
解:
由题意知:
(1)
(2)
(3)
由
(1)+
(2)式得:
由
(1)+
(2)+(3)式得:
由
(2)+(3)式得:
其中,和分别是赖曼系第二、三条谱线;
是巴尔末系第二条谱线.
2.7试由氢原子里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势.
电子经电势差为U的电场加速后,若它得到的动能全部被原子吸收恰能使处于基态的原子电离,则U称为该原子的电离电势;
若它得到的动能全部被原子吸收恰能使处于基态的原子激发到第一激发态,则U称为该原子的第一激发电势.
由,,对于基态氢原子,Z=1,
由
得电离电势为13.64V
得第一激发电势为10.23V.
2.8对于氢原子、一次电离的氦离子He+和两次电离的锂离子Li2+,分别计算它们的:
(1)第一、第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度;
(2)电子在基态的结合能;
(3)第一激发电势及共振线的波长。
(1)He+:
(m/s)
Li2+:
(2)电子在基态的结合能等于把电子从基态电离所需要的能量:
对于He+有:
(eV)
对于Li2+有:
(3)
所以He+的第一激发电势为40.8V
所以Li2+的第一激发电势为91.8V.
共振线波长:
2.9能量为12.6eV的电子射入氢原子气体中,气体将发出哪些波长的辐射?
由,得
,,,,…
而,,
但,所以气体将发出以下三种波长的辐射:
2.11一次电离的氦离子He+从第一激发态向基态跃迁时所辐射的光子,能使处于基态的氢原子电离,从而放出电子,试求该电子的速度。
He+所辐射的光子能量:
氢原子电离所需要的能量为,所以,放出的电子动能为
,
速度为:
m/s
2.12已知动能为91.8eV的电子恰好使某类氢离子由基态激发至第一激发态,试问该类氢离子是什么?
现以动能为110eV的电子激发该基态离子,试问可得到几条谱线?
这些谱线的波长各为多少?
(不考虑精细结构)
由,得:
所以该类氢离子是Li2+.
由于和,所以动能为110eV的电子能将Li2+激发至n=3的激发态,可得三条谱线,波长分别为:
2.13子是一种基本粒子,除静止质量为电子质量的207倍外,其余性质与电子一样.当它运动速度较慢时,被质子俘获形成子原子.试计算:
(1)子原子的第一玻尔轨道半径;
(2)子原子的最低能量;
(3)子原子赖曼线系中的最短波长.
由于折和质量
(1)
(2)
(3)赖曼线系中的最短波长为:
2.14已知氢和重氢的里德伯常数之比为0.999728,而它们的核质量之比为mH/mD=0.50020.计算质子质量与电子质量之比.
由和知:
解得:
2.15当静止的氢原子从第一激发态向基态跃迁放出一个光子时,
(1)试求这个氢原子所获得的反冲速度是多大?
(2)试估计氢原子的反冲能量与所发光子能量之比.
(1)放出的光子的动量:
由动量守恒定律得氢原子的反冲速度为:
(2)反冲能量
显然可见反冲能量是可以忽略不计的.
2.16试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳整数个电子的德布罗意波波长,不论这稳定轨道是圆形还是椭圆形的.
证明:
轨道量子化条件是:
对氢原子圆轨道来说,
所以有:
所以,氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波长。
椭圆轨道的量子化条件是:
其中
而
3.2一粒子在一维无限深势井中运动,已给,求归一化常数A;
又若,A=?
,粒子在何处几率最大?
由归一化条件,在粒子可能出现的空间发现粒子的总几率等于1,因此:
得:
.
同理,若,由归一化条件可得:
则,.
粒子出现几率最大处对应:
有
易求得(由波函数的连续性,x=0,或x=a两个解舍去)
所以,粒子在处出现的几率最大.
4.1已知锂原子光谱主线系最长波长,辅线系系限波长,求锂原子第一激发电势和电离电势。
主线系最长波长的谱线对应跃迁为2pg2s,有:
而辅线系系限对应,所以
得:
第一激发电势为
电离电势为
4.2钠原子基态为3s,已知其主线系第一条线(共振线)波长为589.6nm,漫线系第一条线的波长为819.3nm,基线系第一条线的波长为1845.9nm,主线系的系限波长为241.3nm,试求3S,3P,3D,4F各谱项的项值。
由题意知:
由
又由
4.3钾原子共振线波长为766.5nm,主线系系线波长为285.8nm,已知钾原子基态为4s,试求4S,4P谱项的量子数亏损、各为多少?
由得:
又由得:
4.4处于3D激发态的锂原子,向低能级跃迁时可产生哪些光谱线?
在能级图上表示出来:
(1)不考虑精细结构;
(2)考虑精细结构。
(1)不考虑精细结构时,如图(a)所示。
32S1/2
22S1/2
22P3/2
22P1/2
32P3/2
32P1/2
32D5/2
32D3/2
(2)考虑精细结构时,如图(b)所示。
2S
2P
3S
3P
3D
(图a)
(图b)
4.5为什么S谱项的精细结构总是单层的?
试直接从碱金属光谱双线的规律性和从电子自旋与轨道相互作用的物理概念两方面分别说明之.
答:
(1)从碱金属光谱双线的规律性(课本p.117.图4.3.1)来看,第二辅线系的每一条线中二成分的间隔既然相同,那就必然是由于同一原因.我们知道这个线系是诸S能级到最低能级的跃迁产生的,所以,最低P能级是这线系中诸线共同有关的.如果我们设想这个P能级是双层的,而S能级都是单层的,就会得到与第二辅线系双线规律性一致的结论.再看主线系的每条线中二成分的波数差随着波数的增加逐渐减少,足见不是一个来源.我们知道,主线系是诸P能级跃迁到最低S能级的结果,从第二辅线系的情况已推得S能级是单层的,最低P能级是双层的,那么是否可以推想所有P能级都是双层的,而且这双层的间隔随量子数n的增加而逐渐缩小,这个推论完全符合主线系的情况.这样我们从碱金属光谱双线的规律性直接推得S谱项的精细结构总是单层结构.
(2)从电子自旋与轨道相互作用来看,由于S态的电子轨道角动量为0,总角动量就等于电子的自旋角动量,能级不分裂,故谱项S项的精细结构总是单层结构.
4.6钠原子共振线的双线波长分别为589.0nm和589.6nm,试求3P能级精细结构的裂距。
4.7钠原子光谱主线系短波限的波长为241.3nm,主线系最长波长为589.6nm,求钠原子基态能量和辅线系短波限。
由题意知,
则:
基态能量
辅线系短波限
n=2
n=1
12S1/2
l=0
l=1
I
II
得:
4.8试计算氢原子赖曼线系第一条谱线的精细结构分裂的波长差。
如右图示,赖曼线系第一条谱线的两条分线为
,
由能级公式
(,)
Å
4.9已知斯特恩—盖拉赫实验中,如基态氢原子在磁场中速度v=104m/s,磁场纵向范围L=10cm。
见课本图4.4.3,求裂距S.
.
*从碱金属原子光谱可知,自旋与轨道角动量相互作用,合成总角动量量子数j取值为:
j=l+s,l+s-1,…,|
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