全国2012年10月自考概率论与数理统计(经管类)试题解析Word格式文档下载.doc
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全国2012年10月自考概率论与数理统计(经管类)试题解析Word格式文档下载.doc
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2.本题涉及互不相容事件的概念和性质:
若事件A与B不能同时发生,称事件A与B互不相容或互斥,可表示为A∩B=,且P(A∪B)=P(A)+P(B).
3.本题略难,如果考试时遇到本试题的情况,可先跳过此题,有剩余时间再考虑。
2.设F(x)为随机变量X的分布函数,则有
A.F(-∞)=0,F(+∞)=0B.F(-∞)=1,F(+∞)=0
C.F(-∞)=0,F(+∞)=1D.F(-∞)=1,F(+∞)=1
【答案】C
【解析】根据分布函数的性质,选择C。
【提示】分布函数的性质:
①0≤F(x)≤1;
②对任意x1,x2(x1<
x2),都有P{x1<
X≤x2}=F(x2)-F(x1);
③F(x)是单调非减函数;
④,;
⑤F(x)右连续;
⑥设x为f(x)的连续点,则F‘(x)存在,且F’(x)=f(x).
3.设二维随机变量(X,Y)服从区域D:
x2+y2≤1上的均匀分布,则(X,Y)的概率密度为
A.f(x,y)=1 B.
C.f(x,y)= D.
【答案】D
【解析】由课本p68,定义3-6:
设D为平面上的有界区域,其面积为S且S>
0.如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为
,
则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布.
本题x2+y2≤1为圆心在原点、半径为1的圆,包括边界,属于有界区域,其面积S=π,
故选择D.
【提示】课本介绍了两种二维连续型随机变量的分布:
均匀分布和正态分布,注意它们的定义。
若(X,Y)服从二维正态分布,表示为(X,Y)~.
4.设随机变量X服从参数为2的指数分布,则E(2X-1)=
A.0B.1
C.3D.4
【答案】A
【解析】因为随机变量X服从参数为2的指数分布,即λ=2,所以;
又根据数学期望的性质有E(2X-1)=2E(X)-1=1-1=0,
故选择A.
【提示】1.常用的六种分布
(1)常用离散型随机变量的分布:
X
1
概率
q
p
A.两点分布
①分布列
②数学期望:
E(X)=P
③方差:
D(X)=pq。
B.二项分布:
X~B(n,p)
①分布列:
,k=0,1,2,…,n;
E(X)=np
D(X)=npq
C.泊松分布:
X~P(λ)
,k=0,1,2,…
E(X)=λ
D(X)=λ
(2)常用连续型随机变量的分布
A.均匀分布:
X~U[a,b]
①密度函数:
②分布函数:
,
③数学期望:
E(X)=,
④方差:
D(X)=.
B.指数分布:
X~E(λ)
C.正态分布
(A)正态分布:
X~N(μ,σ2)
,-∞<
x<
+∞
E(X)=μ,④方差:
D(X)=σ2,
⑤标准化代换:
若X~N(μ,σ2),,则Y~N(0,1).
(B)标准正态分布:
X~N(0,1)
E(X)=0,
D(X)=1.
2.数学期望的性质
①E(c)=c,c为常数;
②E(aX)=aE(X),a为常数;
③E(X+b)=E(X)+b,b为常数;
④E(aX+b)=aE(X)+b,a,b为常数。
5.设二维随机变量(X,Y)的分布律
则D(3X)=
A. B.2
C.4 D.6
【解析】由已知的分布律,X的边缘分布律为
2
P
2/3
1/3
则,;
根据方差的性质有D(3X)=9D(X)=2,故选择B.
【提示】
(1)离散型随机变量的方差:
定义式:
;
计算式:
D(X)=E(X)2-[E(X)]2
(2)方差的性质
①D(c=0),c为常数;
②D(aX)=a2D(X),a为常数;
③D(X)+b)=D(X),b为常数;
④D(aX+b)=a2D(X),a,b为常数。
6.设X1,X2,…,Xn…为相互独立同分布的随机变量序列,且E(X1)=0,D(X1)=1,则
A.0 B.0.25
C.0.5 D.1
【解析】不等式等价于不等式,
由独立同分布序列的中心极限定理,
代入μ=0,σ=1,则
故选择C.
【提示】独立同分布序列的中心极限定理:
(课本P120,定理5-4):
设X1,X2,…,Xn,…是独立同分布的随机变量序列,且具有相同的数学期望和方差E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2(i=1,2,…).记随机变量
的分布函数为Fn(x),则对于任意实数x,有
=,
其中φ(x)为标准正态分布的分布函数。
应用:
不论X1,X2,…,Xn,…服从什么分布,当n充分大时,
(1)近似服从正态分布;
(2)近似服从正态分布,其中,D(Xi)=σ2(i=1,2,…)。
(2)对于大数定律与中心极限定理,除了清楚条件和结论外,更重要的是理解它们所回答的问题,以及在实际中的应用。
(课本P118,看书讲解)
7.设x1,x2,…,xn为来自总体N(μ,σ2)的样本,μ,σ2是未知参数,则下列样本函数为统计量的是
A. B.
C. D.
【解析】根据统计量定义,选择D。
【提示】课本p132,定义6-1:
设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,若样本函数
T=T(x1,x2,…,xn)
中包含任何未知参数,则称T为统计量.
8.对总体参数进行区间估计,则下列结论正确的是
A.置信度越大,置信区间越长B.置信度越大,置信区间越短
C.置信度越小,置信区间越长D.置信度大小与置信区间长度无关
【解析】选项A,B,C不正确,只能选择D。
【提示】置信区间长度的增大或减小不仅与置信度有关,还与样本容量有关,其中的规律是:
在样本容量固定的情况下,置信度增大,置信区间长度增大,区间估计的精度降低;
置信度减小,置信区间长度减小,区间估计的精度提高。
9.在假设检验中,H0为原假设,H1为备择假设,则第一类错误是
A.H1成立,拒绝H0 B.H0成立,拒绝H0
C.H1成立,拒绝H1 D.H0成立,拒绝H1
【解析】假设检验中可能犯的错误为:
第一类错误,也称“拒真错误”;
第二类错误,也称“取伪错误”。
无论“拒真”还是“取伪”,均是针对原假设而言的。
故选择B。
(1)假设检验全称为“显著性水平为α的显著性检验”,其显著性水平α为犯第一类错误的概率;
而对于犯第二类错误的概率β没有给出求法;
(2)当样本容量固定时,减小犯第一类错误的概率α,就会增大犯第二类错误的概率β;
如果同时减小犯两类错误的概率,只有增加样本容量。
10.设一元线性回归模型:
且各εi相互独立.依据样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)得到一元线性回归方程,由此得xi对应的回归值为,yi的平均值,则回归平方和S回为
A. B.
C. D.
【解析】根据回归平方和的定义,选择C。
【提示】1.根据回归方程的的求法,任何一组样本观察值都可以得到一个回归方程;
2.在回归方程的显著性检验的F检验法(课本p188)中,要检验所求回归方程是否有意义,必须分析yi随xi变化而产生的偏离回归直线的波动的原因。
为此,选择了一个不变值――yi的平均值为基准,总偏差为
=
此式称为平方和分解式。
可知,S回反映了观察值yi受到随机因素影响而产生的波动,S回反映了观察值yi偏离回归直线的程度。
所以,若回归方程有意义,则S回尽可能大,S剩尽可能小。
非选择题部分
二、填空题(本大题共15小题,每小题2分,共30分)
11.设甲、乙两人独立地向同一目标射击,甲、乙击中目标的概率分别为0.8,0.5,则甲、乙两人同时击中目标的概率为_____________.
【答案】0.4
【解析】设A,B分别表示甲、乙两人击中目标的两事件,已知A,B相互独立,则
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×
0.5=0.4
故填写0.4.
【提示】二事件的关系
(1)包含关系:
如果事件A发生必然导致事件B发生,则事件B包含事件A,记做;
对任何事件C,都有,且0≤P(C)≤1;
(2)相等关系:
若且,则事件A与B相等,记做A=B,且P(A)=P(B);
(3)互不相容关系:
若事件A与B不能同时发生,称事件A与B互不相容或互斥,可表示为A∩B=Ф,且P(AB)=0;
(4)对立事件:
称事件“A不发生”为事件A的对立事件或逆事件,记做;
满足且.
显然:
①;
②,.
(5)二事件的相互独立性:
若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立;
性质1:
四对事件A、B,、A,A、,、其一相互独立,则其余三对也相互独立;
性质2:
若A,B相互独立,且P(A)>
0,则P(B|A)=P(B).
12.设A,B为两事件,且P(A)=P(B)=,P(A|B)=,则P(|)=_____________.
【答案】
【解析】,由1题提示有,
所以
所以,
故填写.
【提示】条件概率:
事件B(P(B)>
0)发生的条件下事件A发生的概率;
乘法公式P(AB)=P(B)P(A|B)。
13.已知事件A,B满足P(AB)=P(),若P(A)=0.2,则P(B)=_____________.
【答案】0.8
【解析】,
所以P(B)=1-P(A)
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