高等几何第三版朱德祥参考答案Word文档格式.docx
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设仿射变换T将厶ABC变为△A'
DE、F分别是BCCAAB边的中点。
由于仿射变换保留简比不变,所以D'
=T(D),E'
=T(E),F'
=T(F)分别是B'
C'
A'
A'
的中点,因此A'
B'
E'
C'
F'
是厶A'
的三条中线(图2)。
•••G€AD由结合性得
G'
€A'
;
又•••(AGD=
(A'
G'
)即
AD
3
GD
GD
1
BE
BE
CF
同理可得:
——
GE
1,
GF
••G'
是厶A'
的重心。
设G是厶ABC的重心,且G'
=T(G)
4、证明梯形在仿射对应下仍为梯形。
设在仿射对应下梯形ABCD(AB?
?
CD)与四边形A'
相对应,
由于仿射对应保持平行性不变,因此A'
C'
,所以A'
为梯形。
5、证明两个全等矩形经过仿射变换为两个等积平行四边形。
设T为仿射变换,ABGD与AE2C2D为两个全等矩形,其面积分别以Si=Sz。
由于T保留平行性,所以:
T(ABCD):
=平行四边形
1B'
1C'
Q'
1,面积记为:
S'
T(A2B2CD):
2B'
2C'
2D'
2,面积记为:
2,
且S'
1=KS1,
2=KS,
§
KS11SS2
S2
KS2
•••A'
iB'
iC'
iD'
i与A'
2C'
2是等积的平行四边形。
6、经过A(-3,2)和B(6,1)两点的直线被直线X+3y-6=0截于P点,求简比
ABP)
解:
设P点的坐标为(xo,y。
)
Q(ABP)
AP
BP
PB
(分割比),而:
xo
yo
且P在直线x+3y-6=0上,
362
(L)3(厂)6°
解得入=1,即P是AB中点,且(ABF)=—1。
y1)和P(X2,
的联线段分成
7、证明直线Ax+By+C=0将两点P1(X1,
的比是便By1C
Ax2By2C
证明设分点为P(X。
y。
),则分割比
入=竺
Qxo1
x1x2,yo牛丄(
1)
(xo,yo)在直线Ax+By+C=0上,
A(「B(『C0
Ax1+By1+C+入(Ax2+B舵+C)=0
图⑶
8、证明一直线上二线段之比是仿射不变量。
若直线a上两线段AB和CD经仿射变换T后与直线
a'
上的两段
和CD对应图(3)
ABABBCA^BCAB,得证。
CDBCCDBCCDCD
9、证明图形的对称中心是仿射不变性,图形的对称轴和对称平面是不是仿射不变性证明:
设仿射变换T将中心对称图形F变为图形F'
,点O是F的对称中心,
AB为图形F上关于点O对称的任意一对对称点。
设T(O)=O'
T(A)=A'
T(B)=B'
•••T(F)=F'
,由结合性,点A'
在图形F'
上;
由简比不变性,(ABO=(A'
O'
)。
所以F'
是中心对称图形,从而图形的对称中心是仿射不变性。
如果点AB关于直线I(平面n)对称,则线段AB丄1(AB丄n)。
但仿射变换不保留角的度量,所以当T(A)=A'
T(B)=B'
T
(1)=1'
(T(n)=n'
)时,线段A'
不一定垂直线1'
(平面n'
10、在仿射坐标系下,直线方程是一次的。
设在笛氏坐标系下直线方程为:
Ax+By+C=0
(1)
笛氏到仿射的变换式为:
x
1X
2y
12
y
2
设其逆变换为:
X
a1x
a?
a0
a1
a2
0(3)
0X
b2y
b0
b
b2
为仿射坐标。
(x,y)为笛氏坐标,(x'
y'
将(3)式代入
(1),得
A(ay'
+a2y'
+ao)+B(bx'
+b2y'
+bo)+C=0,
即卩:
(Aa1+Bb)x'
+(Aa2+Bb)y'
+Aa°
+Bb0+C=0,记为:
AxByC0是x'
y'
的一次式。
其中A=Aa1+Bb1,B=Aa2+Bb2,C=Aa0+Bb)+C0
且A,B不全为0,若不然,Aa1+Bb1=0,Aa2+Bb=0
a
bi
0与1
0矛盾。
11、利用仿射变换式,
试求在仿射变换下,三角形的面积是怎样改变的
(从而明确定理5所指常数的意义)。
AA1AA3和
AA'
y1
=1
anX|
a12y
ai3
a21X|
a22y1
a23
X2
y2
3l1X2
a12y2
a13
a21X2
a22y2
X3
y3
811X3
a12y3
a21X3
a22y3
1A'
2A'
3的面积分别以
S,S'
表示,
X1y11
ana210
X2y21
a〔2a220
X3y31
a13a231
D(常数)
这结果与§
系
三角形(从而多边形或曲线形)的面积经仿射变换后乘以一
个常数k,此地进一步明确了这常数就是仿射变换式的行列式的绝对值,仿射变换
式不同,这常数也不同。
12、在等腰梯形中,两底中心,两对角线交点,两腰(所在直线)交点,这四点显
然共线(在对称轴上),试用仿射变换于此图形,得出什么推广了的命题
设E,F,Q,P分别是等腰梯形ABCD下底,上底的中点,对角线交点,要腰所
在直线交点,T为仿射变换,
TT
则梯形ABCD梯形A'
,EE'
为BC中点,
T
FF'
为A'
中点。
图⑷
•••(BDQ=(B'
),(ACQ)=(A'
(BAP=(B'
P'
),(CDP)=(C'
且E,QF,P共线,•••由结合性得E'
Q'
F'
P'
四点共线,但直线P'
已不是对称轴(图4)。
由此得出,任意梯形上、下底中点,对角线交点,两腰
所在直线交点凡四点共线。
13、求仿射变换x3xy4的自对应点和自对应直线;
y4x2y
求自对应点:
设x=x'
y=y'
,因此得
2xy40
4x3y0
解得自对应点的坐标为x=-6,
y=-8。
求自对应直线,设任意直线l
(u,v,w)
在所给的变换下的像1'
的方程为
u'
x'
+v'
y'
+w'
=0
(3x—y+4)+v'
(4x—2y)+w'
=0,或(3u'
+4v'
)x—(u'
+2v'
)y+4u'
若1为自对应直线,则u"
u'
v=入v'
w=Xw'
,因此
3u4vu3u4v0
u2vvu2v0
(1)
4uww4u1w0
因为u'
v'
w'
不全为零,所以方程组
(1)有非零解。
4
故
0解得入1=2,入2=—1,入3=1,
将入1=2代入方程组
(1),得u'
=4,v'
=—1,w'
=16。
将入2=—1代入方程组
(1),得u'
=1,v'
=—1,w'
=—2。
将入3=1代入方程组
(1),得u'
=0,v'
=0,w'
=1o
就本章内容而言,入=1时,自对应直线不存在,故所求自对应直线为:
4x—y+16=0和x—y—2=0。
第二章欧氏平面的拓广
1、证明中心投影一般不保留共线三点的简比。
证:
设△SAC为等腰三角形(SA=SC,SB丄AC过A作一
射线平行于SC交SB的延长线于B1,交SC于©
(图
5),则A,Bi,C*在中心S的投影下分别是A,B,C的像
占
八、、:
AC十
AC
•••(ABC)
=——2,而(ABC*):
-1,
BC
B1C
工(ABG),即中心投影
-般不保留共线三点的简比。
2、以下面的坐标表示的直线是怎样的直线
(1)(1,1-1);
(2)(1,-1,0);
(3)(0,1,0)。
解利用点线结合方程:
U1X1+U2X2+U3X3=0.
先求二直线(2,1,3
0)的交点坐标:
X1:
X2:
X3=
13
21
10
11
),(1,—1,
3:
31:
1:
1
再求两点(1,
的联线的坐标:
1,—1),(1,
2,
U1:
U2:
U3=
0:
1所求直线方程为:
X1+X3=0或x+仁0
4、求直线(1,—1,2)与二点(3,4,—1),(5,
—3,1)之联线的交点坐标。
41
U1:
U3-
31
15
先求二点(3,4,—1),(5,
X1:
X2:
X3-
再求二直线(1,—1,2),(1,
82929
8:
29
5
—8,
—29)的交点坐标:
1:
45:
31:
7
8
C
—3,1)
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