正态分布 高考数学学案 高考数学复习.docx
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正态分布高考数学学案高考数学复习
学案69 正态分布
导学目标:
利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
自主梳理
1.正态分布密度曲线及性质
(1)正态曲线的定义
函数φμ,σ(x)=__________________________(其中实数μ和σ(σ>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线.
(2)正态分布密度曲线的特点
①曲线位于x轴________,与x轴不相交;
②曲线是单峰的,它关于直线________对称;
③曲线在________处达到峰值____________;
④曲线与x轴之间的面积为____;
⑤当σ一定时,曲线随着____的变化而沿x轴移动;
⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ________,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中;σ________,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
2.正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a,b(a
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ-σ ②P(μ-2σ ③P(μ-3σ 自我检测 1.(2011·大连模拟)下列说法不正确的是( ) A.若X~N(0,9),则其正态曲线的对称轴为y轴 B.正态分布N(μ,σ2)的图象位于x轴上方 C.所有的随机现象都服从或近似服从正态分布 D.函数φ(x)=(x∈R)的图象是一条两头低、中间高、关于y轴对称的曲线 2.已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),则P(ξ<3)等于( ) A.B.C.D. 3.(2011·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于( ) A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2 4.某随机变量ξ服从正态分布,其正态分布密度函数为φ(x)=,则ξ的期望和标准差分别是( ) A.0和8B.0和4 C.0和D.0和2 5. (2011·辽宁十校联考)设两个正态分布N(μ1,σ)(σ1>0)和N(μ2,σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有( ) A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2 探究点一 正态曲线的性质 例1 如图所示,是一个正态曲线,试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式,并求出正态总体随机变量的均值和方差. 变式迁移1 若一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为. (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式; (2)求正态总体在(-4,4]的概率. 探究点二 服从正态分布的概率计算 例2 设X~N(5,1),求P(6 变式迁移2 设X~N(1,22),试求: (1)P(-1 (2)P(3 探究点三 正态分布的应用 例3 (2011·青岛期末)在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从一个正态分布,即ξ~N(90,100). (1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少? (2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人? 变式迁移3 在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现已知该同学中成绩在80分~85分的有17人.试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人? 1.正态分布密度曲线,简称正态曲线,其解析式为: φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞). 2.正态曲线的特点: (1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交. (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.(3)曲线在x=μ时达到峰值.(4)曲线与x轴之间的面积为1.(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;σ越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中. 3.3σ原则: 从理论上讲,服从正态分布的随机变量ξ的取值范围是R,但实际上ξ取区间(μ-3σ,μ+3σ)外的数值的可能性微乎其微(只有0.26%),在实际问题中常常认为它是不会发生的.因此,往往认为它的取值是个有限区间,即区间(μ-3σ,μ+3σ),这就是实用中的三倍标准差规则,也叫3σ原则.在企业管理中,经常应用这个原则进行产品质量检查和工艺生产过程控制. (满分: 75分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.如图是正态分布N(μ,σ),N(μ,σ),N(μ,σ)相应的曲线,则有( ) A.σ1>1>σ2>σ3>0 B.0<σ1<σ2<1<σ3 C.σ1>σ2>1>σ3>0 D.0<σ1<σ2=1<σ3 2.(2011·佛山月考)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ A.1B.2C.3D.4 3.某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为φ(x)=·(x∈R),则下列命题中不正确的是( ) A.该市这次考试的数学平均成绩为80分 B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D.该市这次考试的数学成绩标准差为10 4.(2010·广东)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.6826,则P(X>4)等于( ) A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585 5.已知一次考试共有60名同学参加,考生的成绩X~N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数在下列哪个区间内? ( ) A.(90,110]B.(95,125] C.(100,120]D.(105,115] 二、填空题(每小题4分,共12分) 6. 设三个正态分布N(μ1,σ)(σ1>0),N(μ2,σ)(σ2>0),N(μ3,σ)(σ3>0)的密度函数图象如图所示,则μ1、μ2、μ3按从小到大的顺序排列是________;σ1、σ2、σ3按从小到大的顺序排列是________. 7.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为________. 8.(2011·青岛模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)=________. 三、解答题(共38分) 9.(12分)设X~N(10,1). (1)证明: P(1 (2)设P(X≤2)=a,求P(10 10.(12分)已知某种零件的尺寸X(单位: mm)服从正态分布,其正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,且φ(80)=. (1)求正态分布密度函数; (2)估计尺寸在72mm~88mm间的零件大约占总数的百分之几? 11.(14分)在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正 态分布N(60,100),已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人. (1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人? (2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生,问受奖学生的分数线是多少? 学案69 正态分布 自主梳理 1. (1),x∈(-∞,+∞) (2)①上方 ②x=μ ③x=μ ④1 ⑤μ ⑥越小 越大 2. (1)φμ,σ(x)dx X~N(μ,σ2) (2)①0.6826 ②0.9544 ③0.9974 自我检测 1.C 2.D [由正态分布图象知,μ=3为该图象的对称轴, P(ξ<3)=P(ξ>3)=.] 3.C [ ∵P(ξ<4)=0.8, ∴P(ξ>4)=0.2, 由题意知图象的对称轴为直线x=2, P(ξ<0)=P(ξ>4)=0.2, ∴P(0<ξ<4)=1-P(ξ<0)-P(ξ>4)=0.6. ∴P(0<ξ<2)=P(0<ξ<4)=0.3.] 4.D [由φ(x)==对照得σ=2,μ=0,∴E(ξ)=μ=0,σ==2.] 5.A [由正态分布N(μ,σ2)性质知,x=μ为正态分布密度函数图象的对称轴,故μ1<μ2;又σ越小,图象越高瘦,故σ1<σ2.] 课堂活动区 例1 解题导引 要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式,关键是求解析式中的两个参数μ,σ的值,其中μ决定曲线的对称轴的位置,σ则与曲线的形状和最大值有关. 解 从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值为,所以μ=20. 由=,解得σ=. 于是正态分布密度曲线的解析式是 φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞). 均值和方差分别是20和2. 变式迁移1 解 (1)由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数,所以其图象关于y轴对称,即μ=0.由=, 得σ=4, 故该正态分布的正态分布密度函数的解析式是 φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞). (2)P(-4 =P(μ-σ 例2 解题导引 求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率,只需借助于正态曲线的性质,把所求问题转化为已知概率的三个区间上. 解 由已知μ=5,σ=1. ∵P(4 P(3 ∴P(3 =0.9544-0.6826=0.2718. 如图,由正态曲线的对称性可得 P(3 ∴P(6 变式迁移2 解 ∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2. (1)P(-1 =P(μ-σ =0.6826. (2)∵P(3 ∴P(3 =[P(1-4 =[P(μ-2σ =×(0.9544-0.6826)=0.1359. (3)∵P(X≥5)=P(X≤-3), ∴P(X≥5)=[1-P(-3 =[1-P(1-4 =[1-P(μ-2σ =(1-0.9544)=0.0228. 例3 解题导引 正态分布已经确定,则总体的期望μ和标准差σ就可以求出,这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解. 解 ∵ξ~N(90,100),∴μ=90,σ==10. (1)由于正态变量在区间(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率是0.9544,而该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.9544. (2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100. 由于正态变量在区间(μ-σ,μ+σ)内取值的概率是0.6826, 所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.6826. 一共有2000名考生,所以考试成绩在(
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