第6届周培源全国大学生力学竞赛样题Word下载.docx
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(3)当地居民过桥时两人需要进行配合,你认为两人应如何配合才能安全过桥?
图1奇怪的独木桥
二、模特儿与新型舞台(35分)
有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。
该舞台类似长方形桌子,长为,宽为,有6条等长的桌腿(图2)。
每条桌腿都与水平地面有接触开关,如果接触处有压力就会使对应的一盏灯亮起来。
该模特儿发现,站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来,如图2,她站在舞台右上角附近时,左下角的灯就不亮。
如果把模特儿的重量认为是集中载荷,把舞台认为是刚体且不计质量,则
(2)如果模特儿站在舞台的正中央,会有几盏灯亮起来?
(3)模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来,请在长方形舞台上确定各区域的
边界并画出示意图,然后在该区域内写上亮灯的数目(提示,亮灯的数目有可能为6、5、4、3、2、1)。
图2模特儿的新舞台
三、魔术师的表演(25分)
魔术师要表演一个节目。
其中一个道具是边长为a的不透明立方体箱子,质量为M1;
另一个道具是长为L的均质刚性板AB,质量为M2,可绕光滑的A铰转动;
最后一个道具是半径为R的刚性球,质量为M3,放在刚性的水平面上。
魔术师首先把刚性板AB水平放q置在圆球上,板和圆球都可以保持平衡,且圆心O和接触点B的连线与垂线夹角为?
。
然后魔术师又把箱子固定在AB板的中间位置,系统仍可以保持平衡,如图3所示。
魔术师用魔棒轻轻向右推了一下圆球,竟然轻易地就把圆球推开了。
更令人惊讶的是,当圆球离开AB板后,AB板及其箱子仍能在水平位置保持平衡。
图3魔术师的箱子
(1)为什么在AB板上加很重的箱子不会把圆球挤压出去,而魔术师用很小的力却可以推开圆球?
这其中涉及了什么力学内容?
(2)根据上述介绍,你能否求出AB板与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系?
(3)AB板只在A处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。
魔术师让观众来检查,证明这时平板有且只有A点与地面接触,排除了看不见的支撑或悬挂等情况。
你认为这可能吗?
请指出其中可能涉及的奥秘,并分析其中可能涉及的参数。
四、出人意料的交线(35分)
设Oxy是固定坐标系。
系统由三根不计半径的细杆构成,初始时刻CD杆沿轴;
OB杆长为,沿x轴正方向;
AB杆长为l,开始时先与轴平行,绕x轴负方向转动β角后,把这三根杆件焊成一个整体,如图4所示。
假设在平面内有一张纸存在,为了能让系统持续地绕轴以匀角速度yzzω转动,需要在纸上挖出某种形状的空隙让AB杆通过(这里只考虑AB杆)。
(1)如果a=0,求空隙的函数表达式Γ0,并画出示意图。
(2)如果a>
0,求空隙的函数表达式Γa,并画出示意图。
Γ0与Γa有何关系?
(3)当a>
0时,设P点是AB杆与yz平面的交点,当P点位于AB杆中点且时,如果要求点的速度和加速度,你如何考虑?
取速度和加速度是多少?
图4初始时刻的系统位置
第6届周培源全国大学生力学竞赛初赛样题解答
一、奇怪的独木桥
关键词:
梁的弯曲、弯矩。
该问题简化为下图,设人从B向A走去,载荷P与B点距离为x,AB间的距离为L。
易求出支座B点的约束力为RB=P(L-x)/L
则AB间最大弯矩为M(x)=P(L-x)/L
根据允许最大弯矩为[M]600Nm,有P(L-x)x/L≤M
代入数据,解出x≤1,x≥3
即一个人最远可以向前走1米(另一解略去)。
若两人同时上桥,一人在右侧外伸段距右端支座为x1处,另一个人在桥上,行至离左端支座x2处,其弯矩如图所示。
这时支座的反力为
RA=P(L-x1-x2)/L,RB=P(L+x1+x2)/L
弯矩极大值为M1=Px1,M2=P(L-x1-x1)x1/L
欲要安全通过,要求,M1≤[M]M2≤[M],代如数据得
欲使上式恒成立,则需
解得0.536≤x1≤7.46
考虑到M1≤[M],得x1≤7.5m
所以当一个人立于右侧外伸段离右支座的距离为(0.536-0.75)m之间时,另一人可安全通过独木桥。
通过独木桥的人再立于左外伸段离左支座距离为(0.536-0.75)m之间,另一个人亦可安全通过。
(本题改写自:
周道祥,《力学与实践》小问题第120题,1986,No.3)
二、模特儿与新型舞台
受力平衡,变形的协调条件。
利用对称性及反证法。
设坐标系及各灯的标号如下。
由于结构与载荷对称,如果1灯不亮,则根据左右(y轴)对称,3灯也不会亮。
又根据上下(x轴)对称,4灯和6灯不亮。
所以1、3、4、6灯的状态总是相同的,而2与5灯的状态也相同。
灯亮表示对应的桌腿受压,长度变短,而灯不亮表示对应的桌腿不受压,长度不变。
如果假设有部分灯亮,另一部分灯不亮,就会引起矛盾。
因此六盏灯全亮。
(3)模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来,请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图,然后在该区域内写上亮灯的数目(提示,亮灯的数目有可能为6、5、4、3、2、1)。
设模特儿重量为P,所在A点的坐标为(x,y)。
由于灯亮等同于对应的桌腿是否受压,
下面就分析桌腿的受力。
(a)设六条腿的受力分别是Ni(i=1,……,6),有平衡方程
由刚性桌面变形协调条件,可得三个方程,比如可以列出
解上述六个方程,由于桌腿不能提供拉力,令Ni>
0(i=1,……,6),得到不等式
|3x±
4y|<
2a
得到解的区域为菱形BCHI(不含边界),其中B点坐标为
下面设模特儿位于桌面第一象,限讨论其他几种情形。
(b)五腿受力,设腿1不受力,令N1=0,舍去方程(5),求得均自然满足,根据均自然满足,根据得
这两个不等式,加上BC,即得五腿受力区为三角形BCD(包含BC,但不包含边界BD和CD),其中D点坐标为
(c)四腿受力有两种情况,第一种情况是2、3、5、6腿受力。
舍去方程(5)、(6),并令N1=N4=0,再令N2>
0,得-x-y+a>
即知三角形BDF为四腿(2,3,5,6)受力区(包含BD,但不包含边界DF),其中F点的坐标为(a,0)。
四腿受力的第二种情况是3、4、5、6受力。
舍去方程(4)、(5),且令N1=N2=0,令N4>
0,得
-6x-2y+5a>
0
即知三角形CDE为四腿(3,4,5,6)受力区(包含CD,但不包含边界DE),其中E点的坐标为.
(d)剩下的四边形DEGF为三腿(3,5,6)受力区。
另外对于桌子的边界,CE表示亮三盏灯的区域(不含E点)。
(e)如果要两盏灯亮,则是不稳定平衡。
在第一象限内,两盏灯亮对应的区域是EG和GF边表示亮两盏灯的区域(不含G点)。
(f)一盏灯亮对应的区域是G点。
最后根据x轴和y轴的对称性,即可作出整个桌面的亮灯数目区域图。
陈嘉,《力学与实践》小问题第29题,1982,No.3;
秦寿珪,《力学与实践》小问题第100题,1985,No.4)
三、魔术师的表演
(1)为什么在AB板上加很重的箱子圆球不会被挤压出去,而魔术师用很小的力却可以推开圆球?
摩擦,自锁。
当AB板压在圆球上时,圆球在自重,地面反力和B处反力作用下平衡。
这时圆球处于摩擦自锁,再增加箱子不破坏圆球的平衡条件。
但是魔术师用水平力推圆球时,这时圆球从受三个力变为受四个力。
如果摩擦力已达最大值,水平力虽然很小,仍可破坏圆球的平衡。
(2)根据上述介绍,你能否求出AB杆与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系?
利用三力平衡条件,圆球受力如图。
利用几何法,有,由于BR要在摩擦角θ内,有
由于魔术师用很小的水平力就可以破坏圆球的平衡,所以BR要在摩擦角的边缘,因此
(3)AB板只在A处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。
魔术师让观众来检查,证明时平板有且只有A点与地面接触,排除了看不见的支撑或悬挂等情况。
指出其中可能涉及的奥秘,并分析其中可能涉及的参数。
系统只有A铰而平衡,这从静力学角度是难以想象的,但是从动力学角度就可以实现。
中一种可能是:
箱子中有一个转子,圆球离开时接通开关使圆轮加速转动。
设飞轮转动惯量为J,可在箱内电机驱动下以角加速度ε顺时针转动。
为说明问题,暂时设B处是铰链。
用动静法,飞轮上作用有力矩
系统对点取矩,有A
可以看出,如果
B处的约束反力就为零(由于转子的转动与电流有关,而ε是常数,因此事先设计好电流的大小即可),这时撤去B处的约束不影响板的平衡。
AB在表演魔术时,可以让B点与圆球接触时不通电,而圆球离开时通电。
四、出人意料的交线
(1)如果a,求空隙的函数表达式0=0Γ,并画出示意图。
容易看出,时0a=AB杆在一个圆锥上运动,圆锥与平面的交线为yz
(2)如果a,求空隙的函数表达式0>
Γa,并画出示意图。
Γ0与Γa有何关系?
设AB与yz平面的交点是P,BP的长度为ξ。
则根据几何关系,P点的坐标为
消去参变量ξ,有
所以点的轨迹是抛物线(的一部分),这也就是空隙的方程。
而曲线Γ0是Γa的渐进线。
(3)当时,设P点是AB杆与yz平面的交点,当P点位于AB杆中点且时,如果要求P点的速度和加速度,你如何考虑?
如果取
速度和加速度是多少?
思路:
采用点的复合运动关系,以p为动点,AB杆为动系。
相对运动沿AB杆,牵连运动作定轴转动,绝对运动是在
yz平面内的抛物线上运动。
当P为AB杆中点时,设P点的坐标为(xp,yp,zp),B点的坐标为(xB,yB,zB)∠BOC=θ。
其中
其中
由于点在平面内运动,因此有
(ii)加速度分析:
因此
由于p点在yz平面内运动,因此有
代入数据,有
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