届高考数学复习导数的应用一练习题文档格式.docx
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A.B.1
C.0D.不存在
f′(x)=x-=,且x>
0.令f′(x)>
0,得x>
1;
令f′(x)<
0,得0<
x<
1.
∴f(x)在x=1处取得最小值,且f
(1)=-ln1=.
6.已知常数a,b,c都是实数,f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f′(x),f′(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤3},若f(x)的极小值等于-115,则a的值是( )
A.-B.
C.2D.5
由题意知,f′(x)=3ax2+2bx+c≤0的解集为[-2,3],且在x=3处取得极小值-115,
故有
解得a=2.
C
7.当函数y=x·
2x取极小值时,x=( )
A.B.-
C.-ln2D.ln2
令y′=2x+x·
2xln2=0,∴x=-.
8.已知函数f(x)的导函数为f′(x),若x2f′(x)+xf(x)=sinx(x∈(0,6)),f(π)=2,则下列结论正确的是( )
A.xf(x)在(0,6)上单调递减
B.xf(x)在(0,6)上单调递增
C.xf(x)在(0,6)上有极小值2π
D.xf(x)在(0,6)上有极大值2π
因为x2f′(x)+xf(x)=sinx,x∈(0,6),所以xf′(x)+f(x)=,设g(x)=xf(x),x∈(0,6),则g′(x)=f(x)+xf′(x)=,由g′(x)>
0得0<
π,g′(x)<
0得π<
6,所以当x=π时,函数g(x)=xf(x)取得极大值g(π)=πf(π)=2π.
D
二、填空题
9.曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为________.
∵y′=2x-,∴y′|x=1=1,
即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k=1,
∴切线方程为y-2=x-1,
即x-y+1=0.
x-y+1=0
10.设函数f(x)=x(ex-1)-x2,则函数f(x)的单调增区间为________.
因为f(x)=x(ex-1)-x2,所以f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).令f′(x)>
0,即(ex-1)·
(x+1)>
0,解得x∈(-∞,-1)或x∈(0,+∞).所以函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(0,+∞).
(-∞,-1)和(0,+∞)
11.函数f(x)=x3-3x2+6在x=________时取得极小值.
依题意得f′(x)=3x(x-2).当x<
0或x>
2时,f′(x)>
0;
当0<
2时,f′(x)<
0.因此,函数f(x)在x=2时取得极小值.
2
12.(2017·
高考全国卷Ⅰ)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:
cm3)的最大值为________.
如图,连接OD,交BC于点G,
由题意,知OD⊥BC,OG=BC.
设OG=x,则BC=2x,DG=5-x,
三棱锥的高h=
==,
S△ABC=×
2x×
3x=3x2,则三棱锥的体积
V=S△ABC·
h=x2·
=·
.
令f(x)=25x4-10x5,x∈,则f′(x)=100x3-50x4.
令f′(x)=0得x=2.当x∈(0,2)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,故当x=2时,f(x)取得最大值80,则V≤×
=4.
∴三棱锥体积的最大值为4cm3.
4cm3
三、解答题
13.已知函数f(x)=+-lnx-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线垂直于直线y=x.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
(1)对f(x)求导得f′(x)=--,由f(x)在点(1,f
(1))处的切线垂直于直线y=x知f′
(1)=--a=-2,解得a=.
(2)由
(1)知f(x)=+-lnx-,
则f′(x)=,
令f′(x)=0,解得x=-1或x=5.
因x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去.
当x∈(0,5)时,f′(x)<
0,故f(x)在(0,5)内为减函数;
当x∈(5,+∞)时,f′(x)>
0,故f(x)在(5,+∞)内为增函数.由此知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln5.
14.设函数f(x)=(a∈R).
(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围.
(1)对f(x)求导得f′(x)==,
因为f(x)在x=0处取得极值,所以f′(0)=0,即a=0.
当a=0时,f(x)=,f′(x)=,
故f
(1)=,f′
(1)=,
从而f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y-=(x-1),
化简得3x-ey=0.
(2)由
(1)知f′(x)
=
令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,
由g(x)=0解得x1=,
x2=.
当x<
x1时,g(x)<
0,即f′(x)<
0,故f(x)为减函数;
当x1<
x2时,g(x)>
0,即f′(x)>
0,
故f(x)为增函数;
当x>
x2时,g(x)<
0,故f(x)为减函数.
由f(x)在[3,+∞)上为减函数,知x2=≤3,解得a≥-,故a的取值范围为.
15.(2017·
高考北京卷)已知函数f(x)=excosx-x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
(1)因为f(x)=excosx-x,
所以f′(x)=ex(cosx-sinx)-1,f′(0)=0.
又因为f(0)=1,
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(2)设h(x)=ex(cosx-sinx)-1,则
h′(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.
当x∈时,h′(x)<0,
所以h(x)在区间上单调递减.
所以对任意x∈有h(x)<h(0)=0,即f′(x)<0.
所以函数f(x)在区间上单调递减.
因此f(x)在区间上的最大值为f(0)=1,最小值为f=-.
B组——高考能力提速练
1.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是( )
A.a>
0,b<
0,c>
0,d>
B.a>
0,c<
C.a<
D.a>
0,b>
0,d<
∵函数f(x)的图象在y轴上的截距为正值,∴d>
0.∵f′(x)=3ax2+2bx+c,且函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在(-∞,x1)上单调递增,(x1,x2)上单调递减,(x2,+∞)上单调递增,∴f′(x)<
0的解集为(x1,x2),∴a>
0,又x1,x2均为正数,∴>
0,->
0,可得c>
0.
2.设函数f(x)=x-2sinx是区间上的减函数,则实数t的取值范围是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
由题意得f′(x)=1-2cosx≤0,即cosx≥,解得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),∵f(x)=x-2sinx是区间上的减函数,∴⊆,∴2kπ-≤t≤2kπ-(k∈Z),故选A.
3.(2017·
重庆模拟)若直线y=ax是曲线y=2lnx+1的一条切线,则实数a=( )
依题意,设直线y=ax与曲线y=2lnx+1的切点的横坐标为x0,则有y′|x=x0=,于是有
解得x0=,a==2,选B.
4.已知函数f(x)=x3+3x2-9x+1,若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则实数k的取值范围为( )
A.[-3,+∞)B.(-3,+∞)
C.(-∞,-3)D.(-∞,-3]
由题意知f′(x)=3x2+6x-9,令f′(x)=0,解得x=1或x=-3,所以f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x
(-∞,-3)
-3
(-3,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
-
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
又f(-3)=28,f
(1)=-4,f
(2)=3,f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,所以k≤-3.
5.(2017·
湖南四校联考)已知S1=xdx,S2=exdx,S3=x2dx,则S1,S2,S3的大小关系为( )
A.S1<
S2<
S3B.S1<
S3<
S2
C.S3<
S1D.S2<
S1
本题考查定积分的几何意义.由题意得xdx,exdx,x2dx分别表示函数y=x,y=ex,y=x2与x轴,x=1,x=2所围成的封闭图形的面积,由图(图略)易得xdx<
x2dx<
exdx,即S1<
S2,故选B.
6.若函数f(x)=xex-a有两个零点,则实数a的取值范围为( )
A.-<
a<
0B.a>
C.-e<
0D.0<
e
构造函数g(x)=xex,则g′(x)=ex(x+1),因为ex>
0,所以由g′(x)=0,解得x=-1,
-1时,g′(x)>
0,函数g(x)为增函数;
-1时,g′(x)<
0,函数g(x)为减函数,所以当x=-1时函数g(x)有最小值:
g(-1)=-e-1=-.画出函数y=xex的图象,如图所示,显然当-<
0时,函数f(x)=xex-a有两个零点,故选A.
7.设函数f(x)=在[-2,2]上的最大值为2,则实数a的取值范围是( )
C.(-∞,
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