届一轮复习人教A版不等式的性质与一元二次不等式学案 1Word格式文档下载.docx
- 文档编号:14904870
- 上传时间:2022-10-25
- 格式:DOCX
- 页数:16
- 大小:181.89KB
届一轮复习人教A版不等式的性质与一元二次不等式学案 1Word格式文档下载.docx
《届一轮复习人教A版不等式的性质与一元二次不等式学案 1Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《届一轮复习人教A版不等式的性质与一元二次不等式学案 1Word格式文档下载.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1);
(6)可开方:
a>b>0⇒>(n∈N,n≥2).
3.三个“二次”间的关系
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两相异实根
x1,x2(x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=-
没有实
数根
ax2+bx+c>0(a>0)的解集
R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
∅
[常用结论与微点提醒]
1.对于不等式ax2+bx+c>
0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形.
2.当Δ<
0时,ax2+bx+c>
0(a≠0)的解集为R还是∅,要注意区别.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×
”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.( )
(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( )
(3)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( )
(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.( )
解析
(1)由不等式的性质,ac2>bc2⇒a>b;
反之,c=0时,a>b⇒/ac2>bc2.
(3)若方程ax2+bx+c=0(a<
0)没有实根.则不等式ax2+bx+c>
0的解集为∅.
(4)当a=b=0,c≤0时,不等式ax2+bx+c≤0也在R上恒成立.
答案
(1)×
(2)√ (3)×
(4)×
2.若a>b>0,c<d<0,则一定有( )
A.>B.<C.>D.<
解析 因为c<d<0,所以0>>,两边同乘-1,得->->0,又a>b>0,故由不等式的性质可知->->0.两边同乘-1,得<.故选B.
答案 B
3.当x>0时,若不等式x2+ax+1≥0恒成立,则a的最小值为( )
A.-2B.-3C.-1D.-
解析 当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,不等式x2+ax+1≥0对任意x>0恒成立,当Δ=a2-4>0,则需解得a>2,所以使不等式x2+ax+1≥0对任意x>0恒成立的实数a的最小值是-2.
答案 A
4.(2018·
诸暨质检)已知A={x|-2≤x≤0},B={x|x2-x-2≤0},则A∪B=________,(∁RA)∩B=________.
解析 ∵A={x|-2≤x≤0},∴∁RA={x|x<-2或x>0},又B={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},∴A∪B={x|-2≤x≤2},∴(∁RA)∩B={x|0<x≤2}.
答案 [-2,2] (0,2]
5.(2017·
金华模拟)若不等式ax2+bx+2>
0的解集为,则a=________,b=________.
解析 由题意知,方程ax2+bx+2=0的两根为x1=-,x2=,又即
解得
答案 -12 -2
6.(必修5P80A3改编)若关于x的一元二次方程x2-(m+1)x-m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是________.
解析 由题意知Δ=[(m+1)]2+4m>0.即m2+6m+1>0,
解得m>-3+2或m<-3-2.
答案 (-∞,-3-2)∪(-3+2,+∞)
考点一 比较大小及不等式的性质的应用
【例1】
(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是( )
A.c≥b>
aB.a>
c≥bC.c>
b>
aD.a>
c>
b
(2)(一题多解)若<<0,给出下列不等式:
①<;
②|a|+b>0;
③a->b-;
④lna2>lnb2.其中正确的不等式是( )
A.①④B.②③C.①③D.②④
解析
(1)∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.
又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2,∴b=a2+1,
∴b-a=a2-a+1=+>
0,
∴b>
a,∴c≥b>
a.
(2)法一 因为<<0,故可取a=-1,b=-2.
显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;
因为lna2=ln(-1)2=0,lnb2=
ln(-2)2=ln4>0,所以④错误.综上所述,可排除A,B,D.
法二 由<<0,可知b<a<0.①中,因为a+b<0,ab>0,所以<0,>0.故有<,即①正确;
②中,因为b<a<0,所以-b>-a>0.故-b>|a|,
即|a|+b<0,故②错误;
③中,因为b<a<0,又<<0,则->->0,
所以a->b-,故③正确;
④中,因为b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上为减函数,可得b2>a2>0,而y=lnx在定义域(0,+∞)上为增函数,所以lnb2>lna2,故④错误.由以上分析,知①③正确.
答案
(1)A
(2)C
规律方法
(1)比较大小常用的方法:
①作差法;
②作商法;
③函数的单调性法.
(2)判断多个不等式是否成立,常用方法:
一是直接使用不等式性质,逐个验证;
二是用特殊法排除.
【训练1】
(1)已知p=a+,q=,其中a>
2,x∈R,则p,q的大小关系是( )
A.p≥qB.p>
qC.p<
qD.p≤q
(2)(2017·
山东卷)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( )
A.a+<<log2(a+b)
B.<log2(a+b)<a+
C.a+<log2(a+b)<
D.log2(a+b)<a+<
解析
(1)由于a>
2,故p=a+=(a-2)++2≥2+2=4,当且仅当a=3时取等号.因为x2-2≥-2,所以q=≤=4,当且仅当x=0时取等号,所以p≥q.
(2)令a=2,b=,则a+=4,=,log2(a+b)=log2∈(1,2),则<log2(a+b)<a+.
答案
(1)A
(2)B
考点二 一元二次不等式的解法(多维探究)
命题角度1 不含参的不等式
【例2-1】求不等式-2x2+x+3<
0的解集.
解 化-2x2+x+3<
0为2x2-x-3>
解方程2x2-x-3=0得x1=-1,x2=,
∴不等式2x2-x-3>
0的解集为(-∞,-1)∪,
即原不等式的解集为(-∞,-1)∪.
命题角度2 含参不等式
【例2-2】解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).
解 原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.
①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.
②当a>0时,原不等式化为(x+1)≥0,
解得x≥或x≤-1.
③当a<0时,原不等式化为(x+1)≤0.
当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤;
当=-1,即a=-2时,解得x=-1满足题意;
当<-1,即-2<
a<
0,解得≤x≤-1.
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};
当a>0时,不等式的解集为;
当-2<a<0时,不等式的解集为;
当a=-2时,不等式的解集为{-1};
当a<-2时,不等式的解集为.
规律方法 含有参数的不等式的求解,往往需要比较(相应方程)根的大小,对参数进行分类讨论:
(1)若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;
若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论;
(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
(3)其次对相应方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.
【训练2】
(1)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<
0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于( )
A.-3B.1C.-1D.3
(2)不等式2x2-x<4的解集为________.
解析
(1)由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以A∩B={x|-1<x<2},由题意知,-1,2为方程x2+ax+b=0的两根,由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增,所以2x2-x<4可化为x2-x<2,解得-1<x<2,所以2x2-x<4的解集是{x|-1<x<2}.
答案
(1)A
(2){x|-1<x<2}
考点三 一元二次不等式的恒成立问题(多维探究)
命题角度1 在R上恒成立
【例3-1】若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为( )
A.(-3,0]B.[-3,0)C.[-3,0]D.(-3,0)
解析 2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,
则必有
解之得-3<k<0.
答案 D
命题角度2 在给定区间上恒成立
【例3-2】(一题多解)设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,则m的取值范围是________.
解析 要使f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立,
则mx2-mx+m-6<0,
即m+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
有以下两种方法:
法一 令g(x)=m+m-6,x∈[1,3].
当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
所以g(x)max=g(3)=7m-6<0.
所以m<,则0<m<.
当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,
所以g(x)max=g
(1)=m-6<0.
所以m<6,所以m<0.
综上所述,m的取值范围是.
法二 因为x2-x+1=+>0,
又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.
因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.
因为m≠0,所以m的取值范围是
.
答案
命题角度3 给定参数范围的恒成立问题
【例3-3】已知a∈[-1,1]时不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为( )
A.(-∞,2)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(2,+∞)
C.(-∞,1)∪(3,+∞)D.(1,3)
解析 把不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,
则由f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立,
所以f(-1)=x2-5x+6>0,
且f
(1)=x2-3x+2>0即可,解不等式组
得x<1或x>3.
答案 C
规律方法 恒成立问题求解思路
(1)一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时,结合一元二次方程,利用判别式来求解.
(2)一元二次不等式在x∈[a,b]上恒成立确定参数范围时,要根据函数的单调性,求其最小值,让最小值大于等于0,从而求参数的范围.
(3)一元二次不等式对于参数m∈[a,b]恒成立确定x的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 届一轮复习人教A版 不等式的性质与一元二次不等式 学案 一轮 复习 不等式 性质 一元 二次