数学专题04基本不等式高一高二数学名校模拟分项解析汇编必修5WordWord文档下载推荐.docx
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本题选择C选项.
点睛:
在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;
二定——积或和为定值;
三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.4.【山东省济南外国语学校、济南第一中学等四校2017-2018学年高二上学期期末考试】下列函数中最小值为的是()
A.B.()C.D.
【解析】A.,定义域为,故A的最小值不为;
B.令
因此函数单调递减,不成立.
C.当且仅当时取等号,成立.
D.时,不成立.
故选C.5.【山东省济宁市2017-2018学年高二上学期期末考试】若正数,满足,则的最小值为()
【答案】B
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,将条件进行转化,利用1的代换是解决本题的关键.6.【山东省济宁市2017-2018学年高二上学期期末考试】若正数,满足,则的最小值为()
【解析】正数,满足,则,
故答案为:
A.
这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法,解决这类问题一般有以下几种方法,其一,不等式的应用,这个题目用的是均值不等式,注意要满足一正二定三相等;
其二,二元化一元,减少变量的个数;
其三可以应用线线性规划的知识来解决,而线性规划多用于含不等式的题目中。
7.【陕西省咸阳市2017-2018学年高二上学期期末考试】已知,则函数的最小值为()
A.1B.4C.7D.5
利用基本不等式求最值的类型及方法
(1)若已经满足基本不等式的条件,则直接应用基本不等式求解.
(2)若不直接满足基本不等式的条件,需要通过配凑、进行恒等变形,构造成满足条件的形式,常用的方法有:
“1”的代换作用,对不等式进行分拆、组合、添加系数等.
(3)多次使用基本不等式求最值,此时要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号,若等号不成立,一般利用函数单调性求解.8.【河南省新乡市2017-2018学年高二年级上学期期末考试】已知,则的最小值为()
A.3B.2C.4D.1
【解析】
,当时等号成立,即的最小值为,故选A.
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:
一正是,首先要判断参数是否为正;
二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);
三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用或时等号能否同时成立).9.【广西贺州市2017-2018学年高二年级上学期期末质量检测】若直线经过圆的圆心,则的最小值是()
A.16B.9C.12D.8
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:
三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用或时等号能否同时成立).10.【河南省林州市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试】已知,,,则的最小值为()
【解析】,选B11.【广西南宁市第三中学、柳州铁一中学2017-2018学年高二上学期第三次月考】若实数满足,且,则的最小值为()
本题是均值不等式的灵活运用问题,解决此类问题,需要观察条件和结论,结合二者构造新的式子,对待求式子进行变形,方能形成使用均值不等式的条件,本题注意到,
所以把条件构造为,从而解决问题.12.【上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试】直线与双曲线的渐近线交于两点,设为双曲线上任一点,若为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( )
【解析】由题意,双曲线渐近线方程为,联立直线,解得不妨设
,,,为双曲线上的任意一点,,,时等号成立),可得,故选C.
【方法点睛】本题主要考查双曲线的的渐近线、向量相等的应用以及平面向量的坐标运算、不等式的性质,属于难题.向量的运算有两种方法,一是几何运算,往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,运算法则是:
(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);
(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和);
二是坐标运算:
建立坐标系转化为解析几何问题解答,解答本题的关键是根据坐标运算.
13.【新疆兵团第二师华山中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】若直线
经过圆的圆心,则的最小值为___________.
【答案】
14.【浙江省亳州市2017-2018学年度第一学期期末高二质量检测】已知,则的最小值为__________.
【解析】
,当且仅当时取等号
在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.15.已知x,y∈R,且1≤x2+y2≤2,z=x2+xy+y2,则z的取值范围是________.
16.【福建省宁德市2017-2018学年高二上学期期末质量检测】若,,则的最小值为__________.
在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
17.【山西省运城市康杰中学2017-2018学年高二下学期期中考试】已知均为正实数.
(I)求证:
;
(II)求证:
.
(I)见解析;
(II)见解析.
【解析】试题分析:
(I)将分式通分后,在分子中运用基本不等式后可得不等式,
,,然后求和后利用基本不等式可得结论成立.(II)在所给不等式的每个分母中利用基本不等式进行化简,然后再利用基本不等式求解.
由①+②+③得:
,
当且仅当时各个等号同时成立.
∴.
(II)∵
,
∴.18.【2017-2018学年陕西省汉中市汉台中学西乡中学高二上学期期末联考】
(1)若,,,求证:
(2)已知实数,,且,若不等式,对任意的正实数恒成立,求实数的取值范围。
(1)见解析;
(2).
(1)第
(1)问,利用常量代换和基本不等式证明.
(2)第
(2)问,利用基本不等式求解.
所以,当且仅当,,即,时等号成立,故只要即可,所以实数的取值范围是19.【广东省揭阳市第三中学2017-2018学年高二上学期期末考试】已知正数满足;
(1)求的取值范围;
(2)求的最小值.
(1)
(2)4
(1)由,,根据基本不等式,即可求解的取值范围;
(2)由,即可利用基本不等式求解的最小值.
(2),
当且仅当时取等号,
∴的最小值为4.20.
(1)求的最小值;
(2)若,且,求的最大值.
(1);
(1)将原式变形为,令,则,然后利用函数的单调性求解可得最值.
(2)由于为定值,解题时先将原式变形得到的形式,然后利用基本不等式求解,注意等号成立的条件.
试题解析:
(1),
令,则,
又当时,函数单调递增,
∴当时,有最小值,且最小值为,
故的最小值是.
∴的最大值为.
利用基本不等式求最值的方法
(3)多次使用基本不等式求最值,此时要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号;
若等号不成立,一般利用函数单调性求解.21.【山东省垦利第一中学等四校2017-2018学年高二上学期期末考试】十九大指出中国的电动汽车革命早已展开,通过以新能源汽车替代汽/柴油车,中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本万元,每生产(百辆),需另投入成本万元,且.由市场调研知,每辆车售价万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2018年的利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式;
(利润=销售额-成本)
(2)2018年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?
并求出最大利润.
(2)当时,即年生产百辆时,该企业获得利润最大,且最大利润为万元.
解析:
(1)当时,
当时,
∴.
(2)当时,,
∴当时,;
当时,,
当且仅当,即时,;
∴当时,即年生产百辆时,该企业获得利润最大,且最大利润为万元.22.【广东省江门市2017-2018学年高二上学期调研测试】一种设备的单价为元,设备维修和消耗费用第一年为元,以后每年增加元(是常数).用表示设备使用的年数,记设备年平均费用为,即(设备单价设备维修和消耗费用)设备使用的年数.
(Ⅰ)求关于的函数关系式;
(Ⅱ)当,时,求这种设备的最佳更新年限.
(Ⅰ);
(Ⅱ)15年
(Ⅰ)由题意可知设备维修和消耗费用构成以为首项,为公差的等差数列,结合等差数列前n项和公式可得
(Ⅱ)由题意结合均值不等式的结论有,则,当且仅当时,年平均消耗费用取得最小值,即设备的最佳更新年限是15年.
(Ⅱ)∵,所以
,,
当且仅当,即,时,年平均消耗费用取得最小值
所以设备的最佳更新年限是15年
(1)利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.
(2)在求所列函数的最值时,若用基本不等式时,等号取不到,可利用函数单调性求解.
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