湖南省学年高二上学期期末考试 数学理 Word版含答案Word格式文档下载.docx
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A.1B.0C.π+1D.π
5.若a,b为实数,则“0<
ab<
1”是“b<
”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.执行如图所示的程序框图,会输出一列数,则这个数列的第3项是
A.870B.30C.6D.3
7.在某次测量中得到的A样本数据如下:
82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是
A.众数B.平均数C.中位数D.标准差
8.已知f=ex+2xf′,则f′等于
A.1+2eB.1-2eC.-2eD.2e
9.已知双曲线-=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为
A.5x2-=1B.-=1
C.-=1D.5x2-=1
10.若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是
A.[-1,1]B.
答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题:
本大题共3个小题,每小题5分,共15分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.
11.若命题p:
x∈R,x2+x+1<
0,则綈p为____________命题(填真,假).
12.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作出一步调查,则在[2500,3000](元)/月收入段应抽出________人.
13.对于定义域为R的函数f,若存在非零实数x0,使函数f在和上均有零点,则称x0为函数f的一个“给力点”.现给出下列四个函数:
(1)f=3+;
(2)f=2+lg;
(3)f=-x-1;
(4)f=x2+ax-1(a∈R).
则存在“给力点”的函数是____________.
三、解答题:
本大题共3小题,共35分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
14.(本小题满分11分)
数列满足Sn=2n-an,其中Sn=a1+a2+a3+…+an.
(1)求a1,a2,a3,a4的值并猜想an的表达式;
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
15.(本小题满分12分)
在一个盒子里装有6张卡片,上面分别写着如下定义域为R的函数:
f1(x)=x+1,f2(x)=x2,f3(x)=sinx,f4(x)=log2(+x),f5(x)=cosx+|x|,f6(x)=xsinx-2.
(1)现在从盒子中任意取1张卡片,记事件A为“这张卡片上函数是偶函数”,求事件A的概率;
(2)现在从盒子中任意取两张卡片,记事件B为“这两张卡片上函数相加,所得新函数是奇函数”,求事件B的概率;
(3)从盒中不放回逐一抽取卡片,若取到一张卡片上的函数是偶函数则停止抽取,否则继续进行,记事件C为“停止时抽取次数为2”,求事件C的概率.
16.(本小题满分12分)
在直角坐标系xOy中,直线l:
y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:
y2=2px(p>
0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.
(1)求;
(2)除H以外,直线MH与抛物线C是否有其它公共点?
说明理由.
必考试卷Ⅱ(满分50分)
本大题共2个小题,每小题5分,共10分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
17.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:
他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;
类似地,称图2中的1,4,9,16,…,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A.289B.1024
C.1225D.1378
18.已知函数f(x)=若g(x)=|f(x)|-ax-a的图象与x轴有3个不同的交点,则实数a的取值范围是( )
本大题共1个小题,每小题5分,共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.
19.已知点F(c,0)为双曲线的-=1(a,b>
0)右焦点,点P为双曲线左支上一点,线段PF与圆+y2=相切于点Q,且=2,则双曲线的离心率为__________.
20.(本小题满分10分)
如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,AC∩BD=O,A1O⊥底面ABCD,AB=AA1=2.
(1)证明:
平面A1CO⊥平面BB1D1D;
(2)若∠BAD=60°
,求二面角B-OB1-C的余弦值.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆+=1(a>
b>
0)的右焦点为F,A为短轴的一个端点且==(其中O为坐标原点).
(1)求椭圆的方程;
(2)若C、D分别是椭圆长轴的左右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P,试问x轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点,若存在,求出点Q的坐标;
若不存在,说明理由.
22.(本小题满分13分)
已知函数g=xe(2-a)x,e为自然对数的底数.
(1)讨论g的单调性;
(2)若函数f=lng-ax2的图象与直线y=m交于A、B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:
f′<
0(f′为函数f的导函数).
理科数学参考答案
必考试卷Ⅰ
一、选择题.
题 号
答 案
A
B
D
C
10.C 【解析】f′(x)=1-cos2x+acosx≥0对x∈R恒成立,
故1-(2cos2x-1)+acosx≥0,即acosx-cos2x+≥0恒成立,
即-t2+at+≥0对t∈[-1,1]恒成立,构造f(t)=-t2+at+,开口向下的二次函数f(t)的最小值的可能值为端点值,故只需保证解得-≤a≤.
二、填空题.
11.真
12.25
13.
(2)(4) 【解析】对于
(1),f=3+>
0,不存在“给力点”;
对于
(2),取x0=1,f在(-∞,1)上有零点x=,在(1,+∞)上有零点x=,所以f存在“给力点”1.
对于(3),f′(x)=(x+1)(x-1),易知f(x)只有一个零点.
三、解答题.
14.【解析】
(1)a1=1,a2=,a3=,a4=.(3分)
猜想:
an=.(5分)
(2)证明如下:
①当n=1时,a1=1,猜想成立;
(6分)
②假设n=k(k≥2)时猜想成立,即ak=,(7分)
此时,Sk=2k-,Sk+1=2(k+1)-ak+1,
即Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1,
ak+1=[2(k+1)-Sk]=[2(k+1)-]=,
因此,n=k+1时,猜想也成立,(10分)
由①②知,an=对n∈N*成立.(11分)
15.【解析】
(1)由题意知,f3(x),f4(x)是奇函数,f2(x),f5(x),f6(x)是偶函数,f1(x)是非奇非偶函数,(3分)
故P(A)=.(4分)
(2)因为基本事件总数为15,其中两个函数相加为奇函数的只有f3(x)+f4(x),即事件B所包含的基本事件总数为1,
故P(B)=.(8分)
(3)因为基本事件总数为6×
5=30,事件C发生当且仅当第一次取的卡片上是奇函数或非奇非偶函数,第二次取的卡片上是偶函数,故事件C,
所包含的基本事件总数为3×
3=9,P(C)==.(12分)
16.【解析】
(1)由已知得M(0,t),P.(2分)
又N为M关于点P的对称点,故N,(3分)
ON的方程为y=x,(4分)
代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=,(5分)
因此H.(6分)
所以N为OH的中点,即=2.(8分)
(2)直线MH与抛物线C除H以外没有其它公共点.(9分)
直线MH的方程为y-t=x,(10分)
即x=(y-t).代入y2=2px得:
y2-4ty+4t2=0,
解得y1=y2=2t,(11分)
即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.(12分)
必考试卷Ⅱ
17.C 【解析】观察三角形数:
1,3,6,10,…,记该数列为{an},则a1=1,
a2=a1+2,
a3=a2+3,
…
an=an-1+n.
∴a1+a2+…+an=(a1+a2+…+an-1)+(1+2+3+…+n),
∴an=1+2+3+…+n=,
观察正方形数:
1,4,9,16,…,记该数列为{bn},则bn=n2.把四个选项的数字,分别代入上述两个通项公式,可知使得n都为正整数的只有1225.
18.C 【解析】问题化为|f(x)|=ax+a,即两个函数图象有3个交点,分别作出图象,分析交点个数情况,求出切线斜率即可.
19. 【解析】如图,设左焦点为F1,连接PF1,QC,显然CF1=2CF,
由已知=2,
则PF1平行于CQ,
故PF1=3CQ=b,
又根据双曲线的定义得:
PF-PF1=2aPF=2a+b,
在直角三角形PF1F中,(2c)2=b2+(2a+b)2b=2a,
即:
b2=4a2c2=5a2e=.
20.【解析】
(1)因为A1O⊥平面ABCD,BD平面ABCD,
所以A1O⊥BD.(1分)
因为ABCD是菱形,
所以CO⊥BD.
因为A1O∩CO=O,
所以BD⊥平面A1CO.(2分)
因为BD平面BB1D1D,
所以平面BB1D1D⊥平面A1CO.(3分)
(2)解法一:
因为A1O⊥平面ABCD,CO⊥BD,以O为原点,,,方向为x,y,z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.
因为AB=AA1=2,
∠BAD=60°
,
所以OB=OD=1,
OA=OC=,
OA1==1.(4分)
则B,C,A,A1,
所以==,=+=.(5分)
设平面OBB1的法向量为n=,
因为=,=,
所以
令y=1,
得n=.(7分)
同理可求得平面OCB1的法向量为m=.
所以cosn,m==.(8分)
因为二面角B-OB1-C的平面角为钝角,
所以二面角B-OB1-C的余弦值为-.(10分)
解法二:
由
(1)知平面A1CO
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