广东省茂名市届高三第二次高考模拟二模数学文试题Word格式.docx
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因为Z===1+,Z的共轭复数为1-,在第四象限。
3.已知非零向量与向量平行,则实数的值为()
A.或B.或C.D.
因为两向量平行,所以,,解得m=-1或,当m=-1时,为零向量,不符合题意,故选D。
4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为()
A.1B.
C.D.
C
执行步骤如下:
第1步:
S=,=1;
第2步:
S=,=2;
退出循环。
5.设的内角,,的对边分别为,,.
若,,,且,则()
A. B.
C.D.
A
由正弦定理,得:
,即,C=60°
或120°
,
而A=30°
,当C=60°
时,B=90°
,不符合b<c°
当C=120°
时,B=30°
符合,故选A。
6.设数列是等差数列,为其前项和.若,,则()
A.B.C.D.
依题意,得:
,解得:
,所以,=-74
7.设函数,则()
A.7B.9C.11D.13
=3,
因为,所以==4
所以,3+4=7。
8.已知命题:
存在∈(1,2)使得,若是真命题,则实数的取值范围为()
A.(-∞,)B.(-∞,]
C.(,+∞)D.[,+∞)
因为是真命题,所以,为假命题,所以,,有,
即,又在(1,2)上的最大值为,所以。
9.已知函数的部分图象如图所示,
若将图像上的所有点向右平移个单位得到函数的图像,
则函数的单调递增区间为()
A.,B.,
C.,D.,
由图可知:
A=2,T==,所以,,
又,得,
所以,,向右平移个单位得到函数=,
由,得,所以,选A
10.如图为某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为()
A.31πB.32π
C.34πD.36π
由三视图知,该几何为一侧棱垂直于底面的四棱锥,底面为正方形,它这个四棱锥补回长方体,知其外接球半径为长方体的对角线的一半,
长方体的对角线长为:
,所以,外接球表面积为:
=.
11.《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:
置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为()
A.B.C.D.
设圆锥底面圆的半径为,高为,则,所以.故选B
12.已知抛物线的焦点为,、为抛物线上两点,若,为坐标原点,则△的面积为()
A.B.C.D.
抛物线的焦点为,设直线的方程为:
,代入抛物线方程可得.设,则,
由,得,则,=故选C
第二部分非选择题(共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13.已知直线过圆的圆心,且与直线垂直,则直线的方程为.
直线化为,所直线与它垂直,所以,所求直线的斜率为:
=1,又圆心为(0,3),由点斜式可得:
14.实数满足,则的最大值为.
4
画出不等式组表示的平面区域,如下图所示,三角形ABC为所求,目标函数化为
,当经过点B(1,2)时,最大值为4。
15.设△ABC的内角为A,B,C,所对的边分别是,,.若,则角C=__________.
由,得,
,所以,C=
16.设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是.
记函数,则,因为当时,,故当时,,所以在单调递减;
又因为函数是奇函数,故函数是偶函数,所以在单调递减,且.当时,,则;
当时,,则,综上所述,使得成立的的取值范围是.
三、解答题:
本大题共8小题,满分70分。
解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知数列为等差数列,为其前项和,且,,数列满足.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
(Ⅰ)设数列的公差为,由得
由……………………………………………………………………2分
解得,………………………………………………………………………4分
故数列的通项公式为:
………………………………5分
(Ⅱ)由
(1)可得①…………………………………………6分
所以当时,②……………………………7分
①-②得,即………………………………………………………………8分
又也满足,所以.………………………………9分
…………………………………………………10分
………………………12分
18.(本小题满分12分)
2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故,造成重大人员和经济损失.某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检,已知消防安全等级共分为四个等级(一级为优,二级为良,三级为中等,四级为差),该港口消防安全等级的统计结果如下表所示:
等级
一级
二级
三级
四级
频率
0.30
0.10
现从该港口随机抽取了家公司,其中消防安全等级为三级的恰有20家.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)按消防安全等级利用分层抽样的方法从这家公司中抽取10家,除去消防安全等级为一级和四级的公司后,再从剩余公司中任意抽取2家,求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率.
(Ⅰ)由已知可得;
0.30+2m+m+0.10=1,解得:
m=0.20.……………………2分
所以.……………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,利用分层抽样的方法从中抽取10家公司,则消防安全等级为一级的有3家,二级的有4家,三级的有2家,四级的有1家.……………………6分
记消防安全等级为二级的4家公司分别为A,B,C,D,三级的2家公司分别记为,,则从中抽取2家公司,不同的结果为(A,B)(A,C)(A,D)(B,C)(B,D)(C,D)(A,)(A,)(B,)(B,)(C,)(C,)(D,)(D,)(,)…共15种,………8分
记“抽取的2家公司的消防安全等级都是二级”为事件M,则事件M包含的结果有:
(A,B)(A,C)(A,D)(B,C)(B,D)(C,D)…共6种,……………………10分
所以.……………………12分
19.(本小题满分12分)
如图,三棱柱中,,
,.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)若,,求三棱锥的体积.
取的中点,连接,,.
,,………………………………………….2分
又,.
为等边三角形.
,………….…….3分
又因为平面,平面,.
平面.………………………………………..………….5分
又平面,因此;
…………………………….6分
(Ⅱ)解:
在等边中,在等边中;
在中.
是直角三角形,且,故.……….….8分
由(Ⅰ)得
又平面,平面,,
平面.
故是三棱锥的高.……………………………..…………….9分
又.
……………….12分
(其他解法酌情给分)
20.(本小题满分12分)
如图,圆与轴相切于点,与轴正半轴相交于两点(点在点的下方),且.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)过点任作一条直线与椭圆相交于两点,
连接,求证:
.
解:
(Ⅰ)设圆的半径为(),依题意,圆心坐标为.
∵ ∴ ,解得.2分
∴ 圆的方程为.4分
(Ⅱ)把代入方程,解得或,
即点.6分
(1)当轴时,可知=0.
(2)当与轴不垂直时,可设直线的方程为.
联立方程,消去得,.8分
设直线交椭圆于两点,则
,.
∴
若,即10分
∵,
∴.12分
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数的图象在点(1,)处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数的单调区间;
(Ⅲ)已知,对于函数图象上任意不同的两点,其中,直线的斜率为,记,若求证
(Ⅰ)当时,
1分
又2分
函数的图象在点(1,)处的切线方程为:
即3分
(Ⅱ)的定义域为
4分
当时,在上恒成立,在定义域内单调递增;
5分
当时,令解得,
则时,,单调递增;
时,,单调递减;
6分
综上,时,的单调递增区间为;
时,的单调递增区间为,
的单调递增区间为…….7分
(Ⅲ)证明:
又,
要证:
,只需证
即证:
,设
令则
令
对称轴.
,故在内单调递减,则故.
…….12分
请考生在第22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请在答题卡中用2B铅笔把所选做题的后面的方框涂黑,并写清题号再作答.
22.(本题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图所示,AC为⊙O的直径,D为弧BC的中点,E为BC的中点.
(Ⅰ)求证:
DE∥AB;
(Ⅱ)求证:
ACBC=2ADCD.
(Ⅰ)连接,因为为弧BC的中点,
所以.
因为为的中点,所以.
因为为圆的直径,所以,
所以.…5分
(Ⅱ)因为为弧BC的中点,所以,
又,则.又因为,,所以∽.
所以,,.…10分
23.(本题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程是
.
(Ⅰ)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与曲线相交于、两点,且,求直线的倾斜角的值.
(Ⅰ)由
得圆C的方程为……………………………………………4分
(Ⅱ)将代入圆的方程得…………5分
化简得……………………………………………………………6分
设两点对应的参数分别为,则………………………7分
所以……………………8分
所以,,…………………………………10分
24.(本小题满分10分)选修4-5;
不等式选讲
已知函数
(Ⅰ)当时,解不等式;
(Ⅱ)关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围。
(Ⅰ)当时,
1当时,由得,解得,此时;
…3分
2当时,由得,解得,此时;
..4分
3当时,由得,解得,此时……..5分
综上,不等式的解集为………6分
(Ⅱ)由绝对值不等式的性
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