年秋季学期新人教版九年级数学上册2124一元二次方程的根与系数的关系第一课时导学案含答案解析Word文件下载.docx
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1、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,它们与系数a、b、c的关系是x1+x2=________,x1x2=__________.
一元二次方程的根与系数的关系:
如果一元二次方程有实数根,那么两根的和等于_______________,两根的积等于____________________.
2、运用一元二次方程根与系数的关系的前提条件是方程有实数根,即△______0.
典例探究
1.不解方程求两个根之和与积
【例1】不解方程,求方程3x2+2=1﹣4x两根的和与积.
总结:
在使用根与系数的关系时,应注意:
不是一般式的要先化成一般式;
前提条件是;
在使用时,注意“-”不要漏掉.
练1.(2014•碑林区校级模拟)方程2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2,则x1+x2和x1x2的值分别是( )
A.﹣3和﹣B.﹣3和C.3和D.3和
2.已知一元二次方程的两根求系数
【例2】
(2014春•富阳市校级期末)关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根是0和﹣3,求p和q的值.
对于含有字母系数的一元二次方程,已知两根的值求字母系数的值,通常根据一元二次方程根与系数的关系求解,并用根的判别式进行检验.此方法要比直接将根代入求系数方便快捷得多.
练2.(2015•枣庄)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4,则m+n的值是( )
A.﹣10B.10C.﹣6D.2
3.已知一元二次方程的一个根求另一个根
【例3】
(2015•北塘区二模)已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2,则另一根为 .
已知含字母系数的一元二次方程的一根求另一根,一般有两种方法:
把已知根代入方程,求得字母的值,解一元二次方程求出另一根;
(2)根据方程系数中的已知数,利用根与系数的关系,选用两根之和或两根之积,直接求另一根.
练3.(2014秋•秭归县校级期中)已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x﹣c=0的一个根,求另一个根及c的值.
4.根据一元二次方程的系数判断两根的正负
【例4】
(2008•南汇区二模)方程2x2+3x﹣5=0的两根的符号( )
A.同号B.异号C.两根都为正D.两根都为负
不解方程判别根的符号,需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定;
首先计算判别式,看是大于0还是等于0,如果是等于0,则两根相等,同号;
如果判别式大于0,则计算的值,如果,可判断方程的根为一正一负;
如果,再计算的值,若为正,则两根同为正,若为负,则两根同为负.
练4.(2014秋•夷陵区校级月考)方程ax2+bx﹣c=0(a>0、b>0、c>0)的两个根的符号为( )
A.同号B.异号C.两根都为正D.不能确定
夯实基础
一、选择题
1.(2015•溧水县一模)一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2,则x1+x2的值为( )
A.B.﹣C.﹣D.
2.(2015•金华)一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2,则x1•x2的值是( )
A.4B.﹣4C.3D.﹣3
3.(2014•浠水县校级模拟)已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两根,则( )
A.x1+x2=﹣3,x1•x2=﹣1B.x1+x2=﹣3,x1•x2=1
C.x1+x2=3,x1•x2=﹣1D.x1+x2=3,x1•x2=1
4.(2015•衡阳)若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1,则另一个根为( )
A.﹣2B.2C.4D.﹣3
5.(2015•广西)已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方程是( )
A.x2﹣7x+12=0B.x2+7x+12=0C.x2+7x﹣12=0D.x2﹣7x﹣12=0
6.(2015•平南县一模)一元二次方程x2+px=2的两根为x1,x2,且x1=﹣2x2,则p的值为( )
A.2B.1C.1或﹣1D.﹣1
7.(2015•东西湖区校级模拟)已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根,则该方程的另一根为( )
A.2B.3C.4D.8
8.关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解,下列叙述正确的是( )
A.无解B.有两正根C.有两负根D.有一正根及一负根
二、填空题
9.(2015•滨湖区一模)已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2,则x1+x2的值为 .
10.(2015•南京)已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是 ,m的值是 .
11.(2015春•遂宁校级期中)已知关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根是m和n,则mn= ,m+n= .
三、解答题
12.(2015•东莞模拟)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2﹣4q≥0)的两个根x1、x2;
求证:
x1+x2=﹣p,x1•x2=q.
13.(2014秋•番禺区校级月考)已知方程x2﹣kx﹣6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
14.(2013•防城港)已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2,m.求m,n的值.
典例探究答案:
【例1】不解方程,求方程3x2+2=1﹣4x两个根的和与积.
分析:
先把方程化为一般式,然后根据根与系数的关系求解.
解答:
解:
设x1,x2是方程的两实数根,
方程化为一般式为3x2+4x+1=0,
根据题意得,x1+x2=﹣,x1x2=.
点评:
本题考查了根与系数的关系:
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=,x1x2=.
A.﹣3和B.﹣3和C.3和D.3和
根据根与系数关系,已知方程2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2.x1+x2=;
x1x2=即可.
已知方程为2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2,
根据根与系数的关系:
x1+x2==3;
x1x2==.
故选D.
本题主要考查根与系数关系,已知系数确定根的相关问题,属于基础题,关键熟练掌握x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q.
根据根与系数的关系得到0﹣3=p,0×
(﹣3)=q,然后解两个方程即可.
根据题意得0﹣3=p,0×
(﹣3)=q,
所以p=﹣3,q=0.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系.
根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m,﹣2×
4=n,求出即可.
∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4,
∴﹣2+4=﹣m,﹣2×
4=n,
解得:
m=﹣2,n=﹣8,
∴m+n=﹣10,
故选A.
本题考查了根与系数的关系的应用,能根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m,﹣2×
4=n是解此题的关键.
(2015•北塘区二模)已知:
一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2,则另一根为 .
设方程另一根为t,根据根与系数的关系得到2+t=6,然后解一次方程即可.
设方程另一根为t,
根据题意得2+t=6,
解得t=4.
故答案为4.
设方程另一个根为x1,先利用两根之和计算出x1,然后利用两根之积求出c的值.
设方程另一个根为x1,
根据题意得x1+2﹣=4,x1•(2﹣)=c,
∴x1=2+,
∴c=(2﹣)(2+)=4﹣3=1.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:
若方程两个为x1,x2,则x1+x2=,x1x2=..
根据一元二次方程根与系数的关系,得到方程的两根之和与两根之积,再进一步结合有理数的运算法则进行分析.
设方程的两根是a,b,根据一元二次方程根与系数的关系,得
a+b=>0,ab=﹣<0,
根据两数的积为负数,则两数必异号,则a,b异号.
故选B.
此题考查了一元二次方程的根与系数的关系,同时能够结合有理数的运算法则判断方程的两根的符号.
首先由△=b2+4ac>0,可知方程有两个不等的实数根,再由x1x2=﹣<0可知两根异号.
∵ax2+bx﹣c=0(a>0、b>0、c>0),
∴△=b2+4ac>0,
∴方程有两个不等的实数根,
设方程ax2+bx﹣c=0(a>0、b>0、c>0)的两个根为x1,x2,
∵x1x2=﹣<0,
∴两根异号.
x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=,x1x2=.同时考查了根的判别式.
夯实基础答案:
根据题意得x1+x2=﹣=.
A.4B.﹣4
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- 秋季 学期 新人 九年级 数学 上册 2124 一元 二次方程 系数 关系 第一 课时 导学案含 答案 解析
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