届高考数学一轮复习 第9章 第43课 直线的方程Word文档下载推荐.docx
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3.直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y-y0=k(x-x0)
不含直线x=x0
斜截式
y=kx+b
不含垂直于x轴的直线
两点式
=
不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)
截距式
+=1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0,A2+B2≠0
平面内所有直线都适用
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( )
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( )
(3)过定点P0(x0,y0)的直线都可用方程y-y0=k(x-x0)表示.( )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( )
[答案]
(1)√
(2)×
(3)×
(4)√
2.(教材改编)直线x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为________.
60°
[直线的斜率为k=tanα=,
又因为0°
≤α<180°
,则α=60°
.]
3.已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-.则直线l的方程为________.
3x+4y-14=0 [直线l的方程为y-5=-(x+2),即3x+4y-14=0.]
4.如果A·
C<
0,且B·
0,那么直线Ax+By+C=0不通过第________象限.
三 [Ax+By+C=0可变形为y=-x-.
又A·
0,B·
0,故A,B同号.
所以-<
0,->
0,
所以Ax+By+C=0不通过第三象限.]
5.过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为________.
3x-2y=0或x-y+1=0 [当直线过原点时,方程为y=x,即3x-2y=0.
当直线l不过原点时,设直线方程为-=1.
将P(2,3)代入方程,得a=-1,
所以直线l的方程为x-y+1=0.
综上,所求直线l的方程为3x-2y=0或x-y+1=0.]
直线的倾斜角和斜率
(1)直线x-ycosθ+1=0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围是________.
【导学号:
62172235】
(2)若直线l过点P(-3,2),且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围是________.
(1)
(2) [
(1)当θ=kπ+(k∈Z)时,cosθ=0,直线为x+1=0,其倾斜角为.
当θ≠kπ+(k∈Z)时,直线l的斜率为
tanα=∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.
综上,α的取值范围是.
(2)因为P(-3,2),A(-2,-3),B(3,0),则kPA==-5,
kPB==-.
如图所示,当直线l与线段AB相交时,直线l的斜率的取值范围为.]
[规律方法] 1.
(1)任一直线都有倾斜角,但斜率不一定都存在;
直线倾斜角的范围是[0,π),斜率的取值范围是R.
(2)正切函数在[0,π)上不单调,借助图象或单位圆数形结合,确定倾斜角α的取值范围.
2.第
(2)问求解要注意两点:
(1)斜率公式的正确计算;
(2)数形结合写出斜率的范围,切莫误认为k≤-5或k≥-.
[变式训练1]
(1)直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率k的取值范围是________.
(2)直线l经过点A(3,1),B(2,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是________.
(1)k<-1或k>
(2) [
(1)设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),直线在x轴上的截距为1-.
令-3<1-<3,解不等式得k<-1或k>.
(2)直线l的斜率k==1+m2≥1,所以k=tanα≥1.
又y=tanα在上是增函数,因此≤α<.]
求直线的方程
(1)过点A(1,3),斜率是直线y=-4x的斜率的的直线方程为________.
(2)若A(1,-2),B(5,6),直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.
(1)4x+3y-13=0 [设所求直线的斜率为k,依题意
k=-4×
=-.
又直线经过点A(1,3),因此所求直线方程为
y-3=-(x-1),即4x+3y-13=0.]
(2)法一:
设直线l在x轴,y轴上的截距均为a.
由题意得M(3,2).
若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),
所以直线l的方程为y=x,即2x-3y=0.
若a≠0,设直线l的方程为+=1,
因为直线l过点M(3,2),所以+=1,
所以a=5,此时直线l的方程为+=1,即x+y-5=0.
综上,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.
法二:
易知M(3,2),由题意知所求直线l的斜率k存在且k≠0,则直线l的方程为y-2=k(x-3).
令y=0,得x=3-;
令x=0,得y=2-3k.
所以3-=2-3k,解得k=-1或k=.
所以直线l的方程为y-2=-(x-3)或y-2=(x-3),
即x+y-5=0或2x-3y=0.
[规律方法] 1.截距可正、可负、可为0,因此在解与截距有关的问题时,一定要注意“截距为0”的情况,以防漏解.
2.求直线方程的方法主要有两种:
直接法与待定系数法.运用待定系数法要先设出直线方程,再根据条件求出待定系数.利用此方法,注意各种形式的适用条件,选择适当的直线方程的形式至关重要.
[变式训练2] 求过点A(-1,-3)且倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍的直线方程.
[解] 由已知设直线y=3x的倾斜角为α,
则所求直线的倾斜角为2α.
∵tanα=3,
∴tan2α==-.
又直线经过点A(-1,-3),
因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.
直线方程的综合应用
已知直线l过点M(1,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.求:
(1)当OA+OB取得最小值时,直线l的方程;
(2)当MA2+MB2取得最小值时,直线l的方程.【导学号:
62172236】
[解]
(1)设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).
设直线l的方程为+=1,则+=1,
所以OA+OB=a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,
当且仅当a=b=2时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0.
(2)设直线l的斜率为k,则k<0,直线l的方程为y-1=k(x-1),
则A,B(0,1-k),
所以MA2+MB2=2+12+12+(1-1+k)2=2+k2+≥2+2=4.
当且仅当k2=,即k=-1时,上式等号成立.
∴当MA2+MB2取得最小值时,直线l的方程为x+y-2=0.
[规律方法] 1.求解本题的关键是找出OA+OB与MA2+MB2取得最小值的求法,恰当设出方程的形式,利用均值不等式求解,但一定要注意等号成立的条件.
2.利用直线方程解决问题,为简化运算可灵活选用直线方程的形式.一般地,已知一点通常选择点斜式;
已知斜率选择斜截式或点斜式;
已知截距选择截距式.
[变式训练3] 已知直线l1:
ax-2y=2a-4,l2:
2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形,则当a为何值时,四边形的面积最小?
[解] 由得x=y=2,
∴直线l1与l2交于点A(2,2)(如图).
易知OB=a2+2,OC=2-a,
则S四边形OBAC=S△AOB+S△AOC=×
2(a2+2)+×
2(2-a)=a2-a+4=2+,a∈(0,2),
∴当a=时,四边形OBAC的面积最小.
[思想与方法]
1.求直线方程的两种常见方法:
(1)直接法:
根据已知条件选择恰当的直线方程形式,直接求出直线方程.
(2)待定系数法:
先根据已知条件设出直线方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组),求出待定系数,从而求出直线方程.
2.5种形式的直线方程都有不同的适用条件,当条件不具备时,要注意分类讨论思想的应用.
[易错与防范]
1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;
每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.
2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;
二是要考虑正切函数的单调性.
3.应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点,截距是否为0.
4.由一般式Ax+By+C=0确定斜率k时,易忽视判定B是否为0.当B=0时,k不存在;
当B≠0时,k=-.
课时分层训练(四十三)
A组 基础达标
(建议用时:
30分钟)
一、填空题
1.倾斜角为135°
,在y轴上的截距为-1的直线方程是________.
x+y+1=0 [直线的斜率为k=tan135°
=-1,所以直线方程为y=-x-1,即x+y+1=0.]
2.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sinα+cosα=0,则a,b满足的等量关系式为________.
a=b [由sinα+cosα=0,得=-1,即tanα=-1.
又因为tanα=-,所以-=-1,则a=b.]
3.直线l:
xsin30°
+ycos150°
+1=0的斜率是________.
[直线l可化简为:
x-y+1=0.
即y=x+,故斜率k=.]
4.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是________.
[由x+(a2+1)y+1=0得y=-x-.
∵a2+1≥1,∴-∈[-1,0).
设直线的倾斜角为α,则-1≤tanα<
又α∈[0,π),故≤α<
π.]
5.斜率为2的直线经过(3,5),(a,7),(-1,b)三点,则a+b=________.
【导学号:
62172237】
1 [由题意可知==2,
解得a=4,b=-3,∴a+b=1.]
6.若直线l的斜率为k,倾斜角为α,而α∈∪,则k的取值范围是________.
[-,0)∪ [∵k=tanα,
∴当α∈时,tan≤k≤tan,即≤k≤1;
当α∈时,tan≤k<
tanπ,即[-,0).
综上可知,k∈[-,0)∪.
7.直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于P,Q两点,线段PQ中点是(1,-1),则l的斜率是________.
- [设P(m,1),则Q(2-m,-3),
∴(2-m)+3-7=0,∴m=-2,
∴P(-2,1),
∴k==-.]
8.设点A(-1,0),B(1,0),直线2x+y-b=0与线段AB相交,则b的取值范围是________.【导学号:
62172238】
[-2,2] [b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,
如图,当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时,b分别取得最小值和最大值,
∴b的取值
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