第五章 第2节文档格式.docx

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②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1），||＝.

4.平面向量共线的坐标表示

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

[常用结论与微点提醒]

1.若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2.

2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“√”或“×

”）

（1）平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.（　　）

（2）同一向量在不同基底下的表示是相同的.（　　）

（3）设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.（　　）

（4）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件可以表示成＝.（　　）

解析　

（1）共线向量不可以作为基底.

（2）同一向量在不同基底下的表示不相同.

（4）若b＝（0，0），则＝无意义.

答案　

（1）×

（2）×

　（3）√　（4）×

2.（2018·

三明月考）已知向量a＝（2，4），b＝（－1，1），则2a＋b等于（　　）

A.（5，7）B.（5，9）

C.（3，7）D.（3，9）

解析　2a＋b＝2（2，4）＋（－1，1）＝（3，9），故选D.

答案　D

3.（2015·

全国Ⅰ卷）已知点A（0，1），B（3，2），向量＝（－4，－3），则向量＝（　　）

A.（－7，－4）B.（7，4）

C.（－1，4）D.（1，4）

解析　根据题意得＝（3，1），∴＝－＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，

－4），故选A.

答案　A

4.（2017·

山东卷）已知向量a＝（2，6），b＝（－1，λ），若a∥b，则λ＝________.

解析　∵a∥b，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3.

答案　－3

5.（必修4P101A3改编）已知▱ABCD的顶点A（－1，－2），B（3，－1），C（5，6），则顶点D的坐标为________.

解析　设D（x，y），则由＝，得（4，1）＝（5－x，6－y），即解得

答案　（1，5）

考点一　平面向量基本定理及其应用

【例1】

（1）（2014·

全国Ⅰ卷）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝（　　）

A.B.C.D.

（2）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于（　　）

A.a＋bB.a＋b

C.a＋bD.a＋b

解析　

（1）如图所示，＋＝（－）＋（＋）

＝＋＝＋＝（＋）＝.

（2）∵＝a，＝b，

∴＝＋

＝＋＝a＋b.

∵E是OD的中点，∴＝，

∴DF＝AB.

∴＝＝（－）

＝×

＝－＝a－b，

∴＝＋＝a＋b＋a－b

＝a＋b.

答案　

（1）A　

（2）C

规律方法　1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：

先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

【训练1】

（1）如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝________.

（2）（2017·

南京、盐城模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ＋μ（λ，μ∈R），则λ＋μ＝________.

解析　

（1）＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b.

（2）由题意可得＝＋＝＋，由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.

答案　

（1）a＋b　

（2）

考点二　平面向量的坐标运算

【例2】

（1）向量a，b满足a＋b＝（－1，5），a－b＝（5，－3），则b为（　　）

A.（－3，4）B.（3，4）

C.（3，－4）D.（－3，－4）

北京西城模拟）向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则＝（　　）

A.1B.2C.3D.4

解析　

（1）由a＋b＝（－1，5），a－b＝（5，－3），

得2b＝（－1，5）－（5，－3）＝（－6，8），

∴b＝（－6，8）＝（－3，4），故选A.

（2）以向量a，b的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系（设每个小正方形边长为1），A（1，－1），B（6，2），C（5，－1），所以a＝（－1，1），b＝（6，2），c＝（－1，－3），∵c＝λa＋μb，∴解之得λ＝－2且μ＝－，因此，＝＝4，故选D.

答案　

（1）A　

（2）D

规律方法　1.巧借方程思想求坐标：

若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.

2.向量问题坐标化：

向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.

【训练2】

（1）已知点A（－1，5）和向量a＝（2，3），若＝3a，则点B的坐标为（　　）

A.（7，4）B.（7，14）

C.（5，4）D.（5，14）

（2）已知向量a＝（2，1），b＝（1，－2）.若ma＋nb＝（9，－8）（m，n∈R），则m－n的值为________.

解析　

（1）设点B的坐标为（x，y），则＝（x＋1，y－5）.

由＝3a，得解得

（2）由向量a＝（2，1），b＝（1，－2），得ma＋nb＝（2m＋n，m－2n）＝（9，－8），则解得故m－n＝－3.

答案　

（1）D　

（2）－3

考点三　平面向量共线的坐标表示

【例3】

（1）（2018·

安徽江南十校联考）已知平面向量a＝（1，m），b＝（2，5），c＝（m，3），且（a＋c）∥（a－b），则m＝________.

（2）（必修4P101练习7改编）已知A（2，3），B（4，－3），点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝|BP|，则点P的坐标为________.

解析　

（1）a＝（1，m），b＝（2，5），c＝（m，3），

∴a＋c＝（m＋1，m＋3），a－b＝（－1，m－5），

又（a＋c）∥（a－b），

∴（m＋1）（m－5）＋m＋3＝0，即m2－3m－2＝0，

解之得m＝.

（2）设P（x，y），由点P在线段AB的延长线上，

则＝，得（x－2，y－3）＝（x－4，y＋3），

即解得

所以点P的坐标为（8，－15）.

答案　

（1）　

（2）（8，－15）

规律方法　1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：

（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；

（2）若a∥b（b≠0），则a＝λb.

2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.

【训练3】

（1）（2017·

河南三市联考）已知点A（1，3），B（4，－1），则与同方向的单位向量是（　　）

A.B.

C.D.

（2）（2018·

福州质检）设向量＝（1，－2），＝（a，－1），＝（－b，0），其中O为坐标原点，a>

0，b>

0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为（　　）

A.4B.6C.8D.9

解析　

（1）＝－＝（4，－1）－（1，3）＝（3，－4），

∴与同方向的单位向量为＝.

（2）∵＝（1，－2），＝（a，－1），＝（－b，0），

∴＝－＝（a－1，1），＝－＝（－b－1，2），

∵A，B，C三点共线，

∴＝λ，即（a－1，1）＝λ（－b－1，2），

∴可得2a＋b＝1.

∵a>

0，∴＋＝（2a＋b）

＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，

当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故＋的最小值为8，故选C.

基础巩固题组

（建议用时：

25分钟）

一、选择题

1.（必修4P118A组2（6））下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）

A.e1＝（0，0），e2＝（1，－2）

B.e1＝（－1，2），e2＝（5，7）

C.e1＝（3，5），e2＝（6，10）

D.e1＝（2，－3），e2＝

解析　两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.

答案　B

2.已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），c＝（x，y），若3a－2b＋c＝0，则c＝（　　）

A.（－23，－12）B.（23，12）

C.（7，0）D.（－7，0）

解析　3a－2b＋c＝（23＋x，12＋y）＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A.

3.已知向量a＝（－1，2），b＝（3，m），m∈R，则“m＝－6”是“a∥（a＋b）”的（　　）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

解析　由题意得a＋b＝（2，2＋m），由a∥（a＋b），得－1×

（2＋m）＝2×

2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥（a＋b）”的充要条件，故选A.

4.（2018·

淮南质检）已知平行四边形ABCD中，＝（3，7），＝（－2，3），对角线AC与BD交于点O，则的坐标为（　　）

解析　∵＝＋＝（－2，3）＋（3，7）＝（1，10），

∴＝＝，∴＝.

5.（2017·

衡水中学月考）在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s等于（　　）

A.B.C.－3D.0

解析　因为＝2，所以＝＝（－）＝－，则r＋s＝＋＝0，故选D.

6.在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝（4，3），＝（1，5），则等于（　　）

A.（－2，7）B.（－6，21）

C.（2，－7）D.（6，－21）

解析　＝－＝（－3，2），∵Q是AC的中点，

∴＝2＝（－6，4），＝＋＝（－2，7），

∵＝2，∴＝3＝（－6，21）.

7.如右图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为（　　）

A.e1＋e2B.－2e1＋e2

C.2e1－e2D.2e1＋e2

解析　以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由题意可得e1＝（1，0），e2＝（－1，1），a＝（－3，1），

因为a＝xe1＋ye2＝x（1，0）＋y（－1，1）＝（x－y，y），则解得

故a＝－2e1＋e2.

答案