南京市高三年级第三次模拟考试数学试题解析版Word下载.docx
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其中所有真命题的序号是.②
9.将函数f(x)=sin(3x+)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)在[,]上的最小值为.-
10.已知数列{an}满足an=an-1-an-2(n≥3,n∈N*),它的前n项和为Sn.若S9=6,S10=5,则a1的值为.1
11.已知函数f(x)=,则关于x的不等式f(x2)>f(3-2x)的解集是.
(-∞,-3)∪(1,3)
12.在Rt△ABC中,CA=CB=2,M,N是斜边AB上的两个动点,且MN=,则·
的取值范围为.[,2]
13.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x-1)2+y2=4,P为圆C上一点.若存在一个定圆M,过P作圆M的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,当P在圆C上运动时,使得∠APB恒为60︒,则圆M的方程为.(x-1)2+y2=1
14.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的导函数为f′(x).对任意x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,则的最大值为.2-2
二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)
15.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且+1=.
(1)求B;
(2)若cos(C+)=,求sinA的值.
解:
(1)由+1=及正弦定理,得+1=,
所以=,即=,则=.
因为在△ABC中,sinA≠0,sinC≠0,
所以cosB=.
因为B(0,π),所以B=.
(2)因为0<C<,所以<C+<.
因为cos(C+)=,所以sin(C+)=.
所以sinA=sin(B+C)=sin(C+)=sin[(C+)+]
=sin(C+)cos+cos(C+)sin
=.
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,O为AC与BD的交点,AB⊥平面PAD,△PAD是正三角形,
DC//AB,DA=DC=2AB.
(1)若点E为棱PA上一点,且OE∥平面PBC,求的值;
(2)求证:
平面PBC⊥平面PDC.
证
(1)因为OE∥平面PBC,OE⊂平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC,所以OE∥PC,
所以AO∶OC=AE∶EP.
因为DC//AB,DC=2AB,所以AO∶OC=AB∶DC=1∶2.
所以=.
(2)法一:
取PC的中点F,连结FB,FD.
因为△PAD是正三角形,DA=DC,所以DP=DC.
因为F为PC的中点,所以DF⊥PC.
因为AB⊥平面PAD,所以AB⊥PA,AB⊥AD,AB⊥PD.
因为DC//AB,所以DC⊥DP,DC⊥DA.
设AB=a,在等腰直角三角形PCD中,DF=PF=a.
在Rt△PAB中,PB=a.
在直角梯形ABCD中,BD=BC=a.
因为BC=PB=a,点F为PC的中点,所以PC⊥FB.
在Rt△PFB中,FB=a.
在△FDB中,由DF=a,FB=a,BD=a,可知DF2+FB2=BD2,所以FB⊥DF.
由DF⊥PC,DF⊥FB,PC∩FB=F,PC、FB⊂平面PBC,所以DF⊥平面PBC.
又DF⊂平面PCD,所以平面PBC⊥平面PDC.
法二:
取PD,PC的中点,分别为M,F,连结AM,FB,MF,
所以MF∥DC,MF=DC.
因为DC//AB,AB=DC,所以MF∥AB,MF=AB,
即四边形ABFM为平行四边形,所以AM∥BF.
在正三角形PAD中,M为PD中点,所以AM⊥PD.
因为AB⊥平面PAD,所以AB⊥AM.
又因为DC//AB,所以DC⊥AM.
因为BF//AM,所以BF⊥PD,BF⊥CD.
又因为PD∩DC=D,PD、DC⊂平面PCD,所以BF⊥平面PCD.
因为BF⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PDC.
17.(本小题满分14分)
某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米,栽种n年后的高度记为f(n).经研究发现f(n)近似地满足f(n)=,其中t=2,a,b为常数,n∈N,f(0)=A.已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍.
(1)栽种多少年后,该树木的高度是栽种时高度的8倍;
(2)该树木在栽种后哪一年的增长高度最大.
(1)由题意知f(0)=A,f(3)=3A.
所以解得a=1,b=8.
所以f(n)=,其中t=2.
令f(n)=8A,得=8A,解得tn=,
即2=,所以n=9.
所以栽种9年后,该树木的高度是栽种时高度的8倍.
(2)由
(1)知f(n)=.
第n年的增长高度为△=f(n)-f(n-1)=-.
所以△==
=
≤==.
当且仅当64tn=,即2=时取等号,此时n=5.
所以该树木栽种后第5年的增长高度最大.
18.(本小题满分16分)
已知椭圆C:
+=1(a>b>0)过点P(-1,-1),c为椭圆的半焦距,且c=b.过点P作
两条互相垂直的直线l1,l2与椭圆C分别交于另两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l1的斜率为-1,求△PMN的面积;
(3)若线段MN的中点在x轴上,求直线MN的方程.
(1)由条件得+=1,且c2=2b2,所以a2=3b2,解得b2=,a2=4.
所以椭圆方程为:
+=1.
(2)设l1方程为y+1=k(x+1),
联立消去y得(1+3k2)x2+6k(k-1)x+3(k-1)2-4=0.
因为P为(-1,1),解得M(,).
当k≠0时,用-代替k,得N(,).
将k=-1代入,得M(-2,0),N(1,1).
因为P(-1,-1),所以PM=,PN=2,
所以△PMN的面积为×
×
2=2.
(3)解法一:
设M(x1,y1),N(x2,y2),则
两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0,
因为线段MN的中点在x轴上,所以y1+y2=0,从而可得(x1+x2)(x1-x2)=0.
若x1+x2=0,则N(-x1,-y1).
因为PM⊥PN,所以·
=0,得x12+y12=2.
又因为x12+3y12=4,所以解得x1=±
1,所以M(-1,1),N(1,-1)或M(1,-1),N(-1,1).
所以直线MN的方程为y=-x.
若x1-x2=0,则N(x1,-y1),
因为PM⊥PN,所以·
=0,得y12=(x1+1)2+1.
又因为x12+3y12=4,所以解得x1=-或-1,
经检验:
x=-满足条件,x=-1不满足条件.
综上,直线MN的方程为x+y=0或x=-.
解法二:
由
(2)知,当k≠0时,因为线段MN的中点在x轴上,所以=-,
化简得4k(k2-4k-1)=0,解得k=2±
.
若k=2+,则M(-,),N(-,-),此时直线MN的方程为x=-.
若k=2-,则M(-,-),N(-,),此时直线MN的方程为x=-.
当k=0时,M(1,-1),N(-1,1),满足题意,此时直线MN的方程为x+y=0.
综上,直线MN的方程为x=-或x+y=0.
19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=lnx-mx(mR).
(1)若曲线y=f(x)过点P(1,-1),求曲线y=f(x)在点P处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;
(3)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,求证:
x1x2>e2.
(1)因为点P(1,-1)在曲线y=f(x)上,所以-m=-1,解得m=1.
因为f′(x)=-1,所以切线的斜率为0,所以切线方程为y=-1.
(2)因为f′(x)=-m=.
①当m≤0时,x∈(1,e),f′(x)>0,所以函数f(x)在(1,e)上单调递增,则f(x)max=f(e)=1-me.
②当≥e,即0<m≤时,x∈(1,e),f′(x)>0,所以函数f(x)在(1,e)上单调递增,则f(x)max=f(e)=1-me.
③当1<<e,即<m<1时,函数f(x)在(1,)上单调递增,在(,e)上单调递减,
则f(x)max=f()=-lnm-1.
④当≤1,即m≥1时,x∈(1,e),f′(x)<0,函数f(x)在(1,e)上单调递减,则f(x)max=f
(1)=-m.
综上,①当m≤时,f(x)max=1-me;
②当<m<1时,f(x)max=-lnm-1;
③当m≥1时,f(x)max=-m.
(3)不妨设x1>x2>0.因为f(x1)=f(x2)=0,所以lnx1-mx1=0,lnx2-mx2=0,
可得lnx1+lnx2=m(x1+x2),lnx1-lnx2=m(x1-x2).
要证明x1x2>e2,即证明lnx1+lnx2>2,也就是m(x1+x2)>2.
因为m=,所以即证明>,即ln>.
令=t,则t>1,于是lnt>.
令ϕ(t)=lnt-(t>1),则ϕ′(t)=-=>0.
故函数ϕ(t)在(1,+∞)上是增函数,所以ϕ(t)>ϕ
(1)=0,即lnt>成立.
所以原不等式成立.
20.(本小题满分16分)
已知a,b是不相等的正数,在a,b之间分别插入m个正数a1,a2,…,am和正数b1,b2,…,
bm,使a,a1,a2,…,am,b是等差数列,a,b1,b2,…,bm,b是等比数列.
(1)若m=5,=,求的值;
(2)若b=λa(λ∈N*,λ≥2),如果存在n(n∈N*,6≤n≤m)使得an-5=bn,求λ的最小值及此时m的值;
(3)求证:
an>bn(n∈N*,n≤m).
(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
则d=,q=.
a3=a+3d=,b3=aq3=.
因为=,所以2a-5+2b=0,解得=4或.
(2)因为λa=a+(m+1)d,所以d=a,从而得an=a+a×
n.
因为λa=a×
qm+1,所以q=λ,从而得bn=a×
λ.
因为an-5=bn,所以a+×
a=a×
因为a>0,所以1+=λ(*).
因为λ,m,n∈N*,所以1+为有理数.
要使(*)成立,则λ必须为有理数.
因为n≤m,所以n<m+1.
若λ=2,则λ为无理数,不满足条件.
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