《数学分析》14无穷小量与无穷大量Word下载.doc
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我们给这类函数一个名称——“无穷小量”。
既然有“无穷小量”,与之对应的也应有“无穷大量”,那么什么时“无穷大量”?
进一步,这些“量”有哪些性质呢?
以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。
一、无穷小量
1.定义1:
设在某内有定义。
若,则称为当时的无穷小量。
记作:
.
(类似地可以定义当时的无穷小量)。
例:
都是当时的无穷小量;
是当时的无穷小量;
是时的无穷小量。
2.无穷小量的性质
(1)先引进以下概念
定义2(有界量)若函数在某内有界,则称为当时的有界量,记作:
是当时的有界量,即;
是当时的有界量,即.
注:
任何无穷小量都是有界量(局部有界性),即若,则.
区别:
“有界量”与“有界函数”。
一般在谈到函数是有界函数或函数是有界的,意味着存在M>
0,在定义域内每一点,都有。
这里“有界”与点无关:
而有界是与“点有关”,是在某点的周围(且除去此点)有界,是一种“局部”的有界。
(2)性质
性质1 两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。
性质2 无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。
性质3 是当时的无穷小量.
例如;
,.
问题:
两个(相同类型的)无穷小量之商是否仍为无穷小量?
考虑:
引申:
同为无穷小量,,而不存在?
这说明“无穷小量”是有“级别”的。
这个“级别”表现在收敛于0(或趋近于0)的速度有快不慢。
就上述例子而言,这个“级别”的标志是的“指数”,当时,的指数越大,它接近于0的速度越快。
这样看来,当时,的收敛速度快于的收敛速度。
所以其变化结果以为主。
此时称是(当时)的高阶无穷小量,或称时,是的低阶无穷小量。
一般地,有下面定义:
1.无穷小量阶的比较(主要对叙述,对其它类似)
设当时,均为无穷小量。
(1)若,则称时为的高阶无穷小量,或称为的低阶无穷小量,记作.即.
例,.
问题,此时是可说?
引申与上述记法:
相对应有如下记法:
,这是什么意思?
含义如下:
若无穷小量与满足关系式,则记作.
例如,(1),.
(2)若.
注等式,等与通常等式的含义不同的。
这里的等式左边是一个函数,右边是一个函数类(一类函数),而中间的“=”叫的含义是“”。
,其中,而上述等式表示函数。
为方便起见,记作
(2)若存在正数K和L,使得在某上有,则称与为当时的同阶无穷小量。
但需要注意:
不存在,并不意味着与不全为同阶无穷小量。
如,不存在。
但,所以与为当时的同阶无穷小量。
由上述记号可知:
若与是当时的同阶无穷小量,则一定有:
。
(3)若,则称与是当时的等价无穷小量,记作.
1);
2).
对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论,它在求极限问题中有重要作用,称为求极限的“等价量法”。
定理设函数、、在内有定义,且有.
(1)若,则;
(2)若,则
例1.求.
例2.求极限.
在利用等价无穷小量代换求极限时,应注意:
只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代,而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代。
3.小结
以上讨论了无穷小量,无穷小量性质。
无穷小量比较。
两个无穷小量可比较的特征——其商是有界量。
但应指出,并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。
例如.
二、无穷大量
1.问题“无穷小量是以0为极限的函数”。
能否仿此说“无穷大量是以为极限的函数”。
答:
按已学过的极限的定义,这种说法是不严格的,讲A为函数当时的极限,意味着A是一个确定的数,而“”不具有这种属性,它仅仅是一个记号。
所以不能简单地讲“无穷大量是以为极限的函数”。
但是,确实存在着这样的函数,当时,与无限接近。
1),当时,与越来越接近,而且只要与0充分接近,就会无限增大;
2),当时,也具有上述特性。
在分析中把这类函数称为当时有非正常极限。
其精确定义如下:
2.非正常极限
定义2(非正常极限) 设函数在某内有定义,若对任给的M>
0,存在,当时有,则称函数当时有非正常极限,记作。
1)若“”换成“”,则称当时有非正常极限;
若换成则称当时有非正常极限,分别记作.
2)关于函数在自变量的其它不同趋向的非正常极限的定义,以及数列 当时的非正常极限的定义,都可类似地给出。
,当时,;
,,当时,.
3.无穷大量的定义
定义3.对于自变量的某种趋向(或),所有以为非正常极限的函数(包括数列),都称为无穷大量。
当时是无穷大量;
当时是无穷大量。
1)无穷大量不是很大的数,而是具有非正常极限的函数;
2)若为时的无穷大量,则易见为上的无界函数,但无界函数却不一定是无穷大量。
在上无界,但;
3)如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样,对两个无穷大量,也可以定义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念。
4.利用非正常极限定义验证极限等式
例3 证明.
例4 证明;
当时,。
三、无穷小量与无穷大量的关系
定理 (1)设在内有定义且不等于0,若为当时的无穷小量,则为时的无穷大量;
(2)若为时的无穷大量,则为时的无穷小量。
四、曲线的渐近线
1.引言
作为函数极限的一个应用。
我们讨论曲线的渐近线问题。
由平面解析几何知:
双曲线有两条渐近线。
那么,什么是渐近线呢?
它有何特征呢?
2.曲线的渐近线定义
定义4 若曲线C上的动点沿着曲线无限地远离原点时,点与某实直线L的距离趋于零,则称直线L为曲线C的渐近线。
形如的渐近线称为曲线C的斜渐近线;
形如的渐近线称为曲线C的垂直渐近线。
3.曲线的渐近线何时存在?
存在时如何求出其方程?
(1)斜渐近线
假设曲线有斜渐近线,曲线上动点到渐近线的距离为依渐近线定义,当时(或类似),,即有,——③
又由
.——④
由上面的讨论知,若曲线有斜渐近线,则常数与可相继由④和③式求出;
反之,若由④和③求得与,则可知(),从而为曲线的渐近线。
(2)垂直渐近线
若函数满足),则按渐近线定义可知有垂直于x轴的渐近线,称为垂直渐近线。
例5 求曲线的渐近线。
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