第1章12回归分析 学案 高中数学选修12 苏教版.docx
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第1章12回归分析 学案 高中数学选修12 苏教版.docx
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第1章12回归分析学案高中数学选修12苏教版
学习目标 1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.2.能通过相关系数判断两个变量间的线性相关程度.3.了解非线性回归分析.
知识点一 线性回归方程
思考 某电脑公司有5名产品推销员,其工作年限与年推销金额数据如下表:
推销员编号
1
2
3
4
5
工作年限x/年
3
5
6
7
9
推销金额y/万元
2
3
3
4
5
请问如何表示推销金额y与工作年限x之间的相关关系?
y关于x的线性回归方程是什么?
答 画出散点图,由图可知,样本点散布在一条直线附近,因此可用回归方程直线表示变量之间的相关关系.
设所求的线性回归方程为=x+,
则===0.5,
=-=0.4.
所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为
=0.5x+0.4.
1.函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系.
2.回归分析是对具有线性相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
3.对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为==,=-.
知识点二 相关系数
1.相关系数的计算公式
对于x,y随机取到的n对数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),样本相关系数r的计算公式为
r=
=.
2.相关系数r的性质
(1)|r|≤1;
(2)|r|越接近于1,x,y的线性相关程度越强;
(3)|r|越接近于0,x,y的线性相关程度越弱.
知识点三 非线性回归分析
1.常见的非线性回归模型
幂函数曲线y=axb,指数曲线y=aebx.
倒指数曲线y=,对数曲线y=a+blnx.
2.非线性函数可以通过变换转化成线性函数,得到线性回归方程,再通过相应变换得到非线性回归方程.
类型一 求线性回归方程
例1 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得下表数据:
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图(要求:
点要描粗);
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+;
(3)试根据求出的线性回归方程,预测记忆力为9的同学的判断力.(相关公式:
=,=-)
解
(1)如图:
(2)xiyi=6×2+8×3+10×5+12×6=158,
==9,
==4,
x=62+82+102+122=344,
===0.7,
=-=4-0.7×9=-2.3,
故线性回归方程为=0.7x-2.3.
(3)由
(2)中线性回归方程知,当x=9时,=0.7×9-2.3=4,预测记忆力为9的同学的判断力约为4.
反思与感悟
(1)求线性回归方程的基本步骤:
①列出散点图,从直观上分析数据间是否存在线性相关关系;
②计算:
,,,,iyi;
③代入公式求出=x+中参数,的值;
④写出线性回归方程并对实际问题作出估计.
(2)需特别注意的是,只有在散点图大致呈线性时,求出的回归方程才有实际意义,否则求出的回归方程毫无意义.
跟踪训练1
(1)三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程为________.
①=1.75x-5.75;
②=1.75x+5.75;
③=-1.75x+5.75;
④=-1.75x-5.75.
答案 ②
解析 回归直线恒过(,),
==7,
==18.
则①,②,③,④四条回归直线中只有②过点(7,18).
(2)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:
千元)的数据如下表:
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
①求y关于t的线性回归方程;
②利用①中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
=,=-.
解 ①由所给数据计算得
=(1+2+3+4+5+6+7)=4,
=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
(ti-)2=9+4+1+0+1+4+9=28,
(ti-)(yi-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
===0.5,
=-=4.3-0.5×4=2.3.
所求回归方程为=0.5t+2.3.
②由①知,=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号t=9代入①中的回归方程,得=0.5×9+2.3=6.8,
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
类型二 相关性检验
例2 下面的数据是从年龄在40到60岁的男子中随机抽出的6个样本,分别测定了心脏的功能水平y(满分100)以及每天花在看电视上的平均时间x(小时).
看电视的平均时间x(小时)
4.4
4.6
2.7
5.8
0.2
4.6
心脏的功能水平y(分)
52
53
69
57
89
65
(1)求心脏的功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的样本相关系数r;
(2)求心脏的功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x的线性回归方程,并讨论方程是否有意义;
(3)估计平均每天看电视3小时的男子的心脏的功能水平.
解 n=6,=(4.4+4.6+…+4.6)≈3.7167,
=(52+53+…+65)≈64.1667,
-6()2=(4.42+4.62+…+4.62)-6×3.71672
≈19.7668,
-6()2=(522+532+…+652)-6×64.16672
≈964.8077,
iyi-6=(4.4×52+4.6×53+…+4.6×65)-6×3.7167×64.1667≈-124.6302.
(1)心脏的功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的相关系数
(2)=≈≈-6.3050,
=-≈64.1667+6.3050×3.7167≈87.6005,
所以心脏的功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x的线性回归方程为=-6.3050x+87.6005.
查表n-2=4,r0.05=0.811,
因为|r|≈0.9025>0.811,
所以有95%以上的把握认为y与x之间有线性关系,这个方程是有意义的.
(3)将x=3代入线性回归方程=-6.3050x+87.6005可得≈69(分).
因此估计平均每天看电视3小时的男子的心脏的功能水平为69分.
反思与感悟 解决这一类问题时,首先应对问题进行必要的相关性检验,如果不作相关性检验,我们仍然可以求出x与y的线性回归方程,但不知道这时的线性回归方程是否有意义,也就不知道能否反映变量x与y之间的变化规律,只有在x与y之间具有相关关系时,求得的线性回归方程才有意义.
跟踪训练2 观察两个变量x,y,得到的数据如下表:
x
2
4
6
8
10
y
64
138
205
285
360
(1)对变量y与x进行相关性检验;
(2)如果y与x之间具有线性相关关系,求回归直线方程.
解
(1)由相关系数的计算公式得r≈≈0.9997,
由r0.05=0.878得r>r0.05,故y与x之间显然具有线性相关关系.
(2)设回归直线方程=x+,根据公式得
∴=36.95x-11.3.
类型三 非线性回归分析
例3 下表为收集到的一组数据:
x
21
23
25
27
29
32
35
y
7
11
21
24
66
115
325
(1)作出x与y的散点图,并猜测x与y之间的关系;
(2)建立x与y的关系,预报回归模型;
(3)利用所得模型,预报x=40时y的值.
解
(1)作出散点图如图,从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系,根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线y=的周围,其中c1、c2为特定的参数.
(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系,令z=lny,则有变换后的样本点应分布在直线z=bx+a,a=lnc1,b=c2的周围,这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线型回归方程了,数据可以转换为:
x
21
23
25
27
29
32
35
z
1.946
2.398
3.045
3.178
4.190
4.745
5.784
求得回归直线方程为
=0.272x-3.849,
∴=e0.272x-3.849.
(3)当x=40时,y=e0.272x-3.849≈1131.
反思与感悟 非线型回归问题的处理方法
(1)指数函数型y=ebx+a
①函数y=ebx+a的图象:
②处理方法:
两边取对数得lny=lnebx+a,即lny=bx+a,令z=lny,把原始数据(x,y)转化为(x,z),再根据线性回归模型的方法求出a,b.
(2)对数函数型y=blnx+a
①函数y=blnx+a的图象:
②处理方法:
设x′=lnx,原方程可化为y=bx′+a,再根据线性回归模型的方法求出a,b.
(3)y=bx2+a型
处理方法:
设x′=x2,原方程可化为y=bx′+a,再根据线性回归模型的方法求出a,b.
跟踪训练3 某电容器充电后,电压达到100V,然后开始放电,由经验知道,此后电压U随时间t变化的规律用公式U=Aebt(b<0)表示,现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表:
t/s
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
U/(V)
100
75
55
40
30
20
15
10
10
5
5
试求:
电压U对时间t的回归方程.(提示:
对公式两边取自然对数,把问题转化为线性回归分析问题)
解 对U=Aebt两边取对数得lnU=lnA+bt,令y=lnU,a=lnA,x=t,则y=a+bx,y与x的数据如下表:
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
4.6
4.3
4.0
3.7
3.4
3.0
2.7
2.3
2.3
1.6
1.6
根据表中数据画出散点图,如图所示,从图中可以看出,y与x具有较好的线性相关关系,由表中数据求得=5,≈3.045,由公式计算得≈-0.313,=-=4.61,所以y对x的线性回归方程为=-0.313x+4.61.所以ln=-0.313t+4.61,即=e-0.313t+4.61=e-0.313t·e4.61,因此电压U对时间t的回归方程为=e-0.313t·e4.61.
1.关于回归分析,下列说法错误的是__________.(填序号)
①在回归分析中,变量间的关系若是非确定性关系,那么因变量不能由自变量唯一确定;
②散点图反映变量间的线性相关关系,误差较大;
③散点图中,解释变量在x轴,预报变量在y轴;
④散点图能明
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