高考数学专题复习 数列的综合应用教案 文文档格式.docx
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(1)对于等差数列,由an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),当d≠0时,an是关于n的一次函数,对应的点(n,an)是位于直线上的若干个离散的点.当d>
0时,函数是增函数,对应的数列是递增数列;
同理,d=0时,函数是常函数,对应的数列是常数列;
d<
0时,函数是减函数,对应的数列是递减数列.
若等差数列的前n项和为Sn,则Sn=pn2+qn(p、q∈R).当p=0时,{an}为常数列;
当p≠0时,可用二次函数的方法解决等差数列问题.
(2)对于等比数列:
an=a1qn-1.可用指数函数的性质来理解.
①当a1>
0,q>
1或a1<
0,0<
q<
1时,等比数列是递增数列;
②当a1>
1时,等比数列{an}是递减数列.
③当q=1时,是一个常数列.
④当q<
0时,无法判断数列的单调性,它是一个摆动数列.
2.解答数列综合问题的注意事项
(1)要重视审题、精心联想、沟通联系;
(2)将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来.
题型一 等差数列与等比数列的综合应用
例1 在等比数列{an}(n∈N*)中,a1>
1,公比q>
0,设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.
(1)求证:
数列{bn}是等差数列;
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an;
(3)试比较an与Sn的大小.
探究提高 在解决等差数列和等比数列综合题时,恰当地运用等差数列和等比数列的性质可以减少运算量,提高解题速度和准确度,如本例中就合理地应用了等差中项.
已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0).
(1)设bn=an+1-an(n∈N*),证明:
{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)若a3是a6与a9的等差中项,求q的值,并证明:
对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.
题型二 数列与函数的综合应用
例2 已知函数f(x)=log2x-logx2(0<
x<
1),数列{an}满足f(2an)=2n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)判断数列{an}的单调性.
探究提高 本题融数列、方程、函数单调性等知识为一体,结构巧妙、形式新颖,着重考查学生的逻辑分析能力.
已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0,且有f(1+x)=f(1-x),直线g(x)=4(x-1)的图象被f(x)的图象截得的弦长为4,数列{an}满足a1=2,(an+1-an)g(an)+f(an)=0(n∈N*).
(1)求函数f(x)的解析式;
(3)设bn=3f(an)-g(an+1),求数列{bn}的最值及相应的n.
题型三 数列与不等式的综合应用
例3 已知数列{an},{bn}满足a1=,an+bn=1,bn+1=.
(1)求b1,b2,b3,b4;
(2)求数列{bn}的通项公式;
(3)设Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,求实数a为何值时,4aSn<
bn.
探究提高 由an+bn=1得到an的表达式,然后利用裂项相消法求得Sn,将4aSn<
bn转化为(a-1)n2+(3a-6)n-8<
0对任意n∈N*恒成立.利用二次函数的性质进行分析,设f(x)=(a-1)x2+3(a-2)x-8,对x2的系数分a=1,a>
1及a<
1三种情况进行分类讨论,从而求得使不等式成立的a的取值范围.
已知函数f(x)=,数列{an}满足a1=1,an+1=f,n∈N*,
(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1,求Tn;
(3)令bn=(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若Sn<
对一切n∈N*成立,求最小正整数m.
题型四 数列的实际应用
例4 某市2008年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
(参考数据:
1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)
探究提高 解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题,通过反复读题,列出有关信息,转化为数列的有关问题,这恰好是数学实际应用的具体体现.
从社会效益和经济效益出发,某旅游县区计划投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,2010年投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业有促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设n年内(2010年为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式;
(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?
lg2=0.3010)
15.用构造新数列的思想解题
试题:
(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=,an=-2Sn·
Sn-1(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)求证:
S+S+…+S≤-.
审题视角
(1)从求证内容来看,首先要求出Sn.
(2)从Sn与Sn-1的递推关系看,可考虑构造新数列.(3)可考虑用放缩法证明.
规范解答
(1)解 ∵an=-2Sn·
Sn-1(n≥2),
∴Sn-Sn-1=-2Sn·
Sn-1.
两边同除以Sn·
Sn-1,得-=2(n≥2),[2分]
∴数列是以==2为首项,以d=2为公差的等差数列,[3分]
∴=+(n-1)·
d=2+2(n-1)=2n,
∴Sn=.[5分]
将Sn=代入an=-2Sn·
Sn-1,
得an=[6分]
(2)证明 ∵S=<
=(n≥2),S=,
∴当n≥2时,S+S+…+S
=++…+
<
++…+
=-;
[10分]
当n=1时,S==-.
综上,S+S+…+S≤-.[12分]
批阅笔记
(1)在数列的解题过程中,常常要构造新数列,使新数列成为等差或等比数列.构造新数列可以使题目变得简单,而构造新数列要抓住题目信息,不能乱变形.
(2)本题首先要构造新数列,其次应用放缩法,并且发现只有应用放缩法才能用裂项相消法求和,从而把问题解决.事实上:
<
,也可以看成一个新构造:
bn=.
(3)易错分析:
构造不出新数列,从而使思维受阻.不会作不等式的放缩.
方法与技巧
1.深刻理解等差(比)数列的性质,熟悉它们的推导过程是解题的关键.两类数列性质既有相似之处,又有区别,要在应用中加强记忆.同时,用好性质也会降低解题的运算量,从而减少差错.
2.在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组)求解,在解方程组时,仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处.
3.数列的渗透力很强,它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系,优化组合,无形中加大了综合的力度.解决此类题目,必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解,深刻领悟它在解题中的重大作用,常用的数学思想方法有:
“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等.
4.在现实生活中,人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等,都可以利用数列来解决,因此要会在实际问题中抽象出数学模型,并用它解决实际问题.
失误与防范
1.等比数列的前n项和公式要分两种情况:
公比等于1和公比不等于1.最容易忽视公比等于1的情况,要注意这方面的练习.
2.数列的应用还包括实际问题,要学会建模,对应哪一类数列,进而求解.
专题四 数列的综合应用
(时间:
60分钟)
A组 专项基础训练题组
一、选择题
1.(2011·
安徽)若数列{an}的通项公式是an=(-1)n·
(3n-2),则a1+a2+…+a10等于( )
A.15B.12C.-12D.-15
2.(2010·
福建)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于( )
A.6B.7C.8D.9
3.设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则数列(n∈N*)的前n项和是( )
A.B.
C.D.
二、填空题
4.(2011·
江苏)设1=a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数列,则q的最小值是________.
5.已知数列{an}满足a1=1,a2=-2,an+2=-,则该数列前26项的和为_____________.
6.在等差数列{an}中,满足3a4=7a7,且a1>
0,Sn是数列{an}前n项的和,若Sn取得最大值,则n=________.
三、解答题
7.已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.
(2)若bn=anlogan,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n·
2n+1>
50成立的最小正整数n的值.
8.某人有人民币1万元,若存入银行,年利率为6%;
若购买某种股票,年分红利为24%,每年储蓄的利息和买股票所分的红利都存入银行.
(1)问买股票多少年后,所得红利才能和原来的投资款相等?
(2)经过多少年,买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等?
(精确到整年)
lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,lg1.06≈0.0253)
B组 专项能力提升题组
1.{an}是等差数列,a2=8,S10=185,从{an}中依次取出第3项,第9项,第27项,…,第3n项,按原来的顺序排成一个新数列{bn},则bn等于( )
A.3n+1+2B.3n+1-2
C.3n+2D.3n-2
2.已知数列{an}的通项公式为an=log2(n∈N*),设其前n项和为Sn,则使Sn<
-5成立的自然数n( )
A.有最小值63B.有最大
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