高中数学人教版选修21课后训练323 求空间角空间距离问题Word文档下载推荐.docx
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C.D.
不妨设CB=1,则B(0,0,1),A(2,0,0),C1(0,2,0),B1(0,2,1).
∴=(0,2,-1),=(-2,2,1).
cos〈,〉===,故选A.
A
3.
[2013·
陕西省高新一中期末考试]如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=1,BC=2,AA1=3,则点B到直线A1C的距离为( )
C.D.1
本题主要考查空间点到直线的距离,过点B作BE垂直A1C,垂足为E,设点E的坐标为(x,y,z),则A1(0,0,3),B(1,0,0),C(1,2,0),=(1,2,-3),=(x,y,z-3),=(x-1,y,z).
因为所以解得所以=(-,,),所以点B到直线A1C的距离||=,故选B.
B
4.如图,在空间直角坐标系Dxyz中,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体,AA1=AB=2AD,点E、F分别为C1D1、A1B的中点,则二面角B1-A1B-E的余弦值为( )
A.-B.-
本题考查空间直角坐标系中的线段中点、二面角等基础知识.设AD=1,则A1(1,0,2),B(1,2,0),因为E、F分别为C1D1、A1B的中点,所以E(0,1,2),F(1,1,1),所以=(-1,1,0),=(0,2,-2),设m=(x,y,z)是平面A1BE的法向量,则
所以所以取x=1,则y=z=1,所以平面A1BE的一个法向量为m=(1,1,1),又DA⊥平面A1B1B,所以=(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量,所以cos〈m,〉===,又二面角B1-A1B-E为锐二面角,所以二面角B1-A1B-E的余弦值为,故选C.
C
5.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点.则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( )
A.60°
B.90°
C.45°
D.以上都不正确
结合图形,以点D为原点,DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如下图.
由题意知,A1(1,0,2)、E(1,1,1)、D1(0,0,2),A(1,0,0),∴=(0,1,-1),=(1,1,-1),=(0,-1,-1).
设平面A1ED1的一个法向量为n=(x,y,z),
则⇒
令z=1,得y=1,x=0.
所以n=(0,1,1),cos〈n,〉===-1.
所以〈n,〉=180°
.所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°
.
6.P是二面角α-AB-β棱上的一点,分别在α、β半平面上引射线PM、PN,如果∠BPM=∠BPN=45°
,∠MPN=60°
,那么二面角的大小为( )
B.70°
C.80°
D.90°
不妨设PM=a,PN=b,作ME⊥AB于点E,NF⊥AB于点F,如下图所示.
∵∠BPM=∠BPN=45°
,
∴PE=,PF=,
∴·
=(-)·
(-)
=·
-·
+·
=abcos60°
-a·
cos45°
bcos45°
=--+=0.
∴⊥.
∵EM、FN分别是α、β内与棱AB垂直的直线,
∴EM与FN之间的夹角就是所求二面角,
即α-AB-β的大小为90°
二、填空题
7.空间四点A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(3,1,0),则点D到平面ABC的距离是________.
本题主要考查空间向量的坐标运算以及空间点到平面的距离的求法.由已知得=(2,-2,1),=(4,0,6),设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则,即,令x=3,则y=2,z=-2,所以n=(3,2,-2),=(1,-2,-1),所以点D到平面ABC的距离==.
8.[2013·
辽宁大连一模]长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________.
建立坐标系如图,则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2).
=(-1,0,2),=(-1,2,1),
cos〈,〉==.
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.
9.四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,ABCD是正方形,且PD=AB=1,G为△ABC的重心,则PG与底面ABCD所成的角θ的正弦值为________.
本题主要考查向量法求线面角,考查三角形重心坐标公式.分别以DA,DC,DP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,由已知P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),则重心G(,,0),因而=(0,0,1),=(-,-,1),那么sinθ=|cos〈,〉|==.
三、解答题
10.已知正四棱锥R-ABCD的底面边长为4,高为6,点P是高的中点,点Q是侧面RBC的重心.求:
(1)异面直线PQ与BR所成的角的余弦值;
(2)直线PQ与底面ABCD所成的角的余弦值.
解:
以正四棱锥的底面
中心O为原点,过O平行于AD的直线为x轴,过O平行于AB的直线为y轴,OR为z轴建立空间直角坐标系,如右图所示.
则R(0,0,6),B(2,2,0),C(-2,2,0),因为P是RO的中点,Q是△RBC的重心,所以P(0,0,3),Q(0,,2).
(1)=(0,,-1),=(-2,-2,6),
所以|cos〈,〉|==,所以异面直线PQ与BR所成角的余弦值为.
(2)因为RO⊥底面ABCD,所以RE在底面的射影为OE,因为Q∈RE,所以Q在底面上的射影在OE上,所以直线PQ在底面上的射影为直线OE,所以PQ所在的直线与OE的夹角为PQ与底面ABCD所成的角,因为E(0,2,0),所以=(0,2,0),所以cos〈,〉==,所以直线PQ与底面ABCD所成的角的余弦值是.
11.[2014·
福建高考]在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.
(1)求证:
AB⊥CD;
(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
(1)∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,
AB⊥BD,∴AB⊥平面BCD.
又CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.
(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.
由
(1)知AB⊥平面BCD,BE⊂平面BCD,BD⊂平面BCD,∴AB⊥BE,AB⊥BD.
以B为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.
依题意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M(0,,),
则=(1,1,0),=(0,,),=(0,1,-1).
设平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0),
则即
取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).
设直线AD与平面MBC所成角为θ,
则sinθ=|cos〈n,〉|==,
即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.
12.[2014·
天津高考]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(1)证明:
BE⊥DC;
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(3)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.
依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).
(1)向量=(0,1,1),=(2,0,0),故·
=0.
所以,BE⊥DC.
(2)向量=(-1,2,0),=(1,0,-2).设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量.
则即不妨令y=1,可得n=(2,1,1)为平面PBD的一个法向量,于是有
cos〈n,〉===.
所以,直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)向量=(1,2,0),=(-2,-2,2),=(2,2,0),=(1,0,0).由点F在棱PC上,设=λ,0≤λ≤1.
故=+=+λ=(1-2λ,2-2λ,2λ).由BF⊥AC,得·
=0,因此,2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=.即=(-,,).设n1=(x,y,z)为平面FAB的法向量,则
即不妨令z=1,可得n1=(0,-3,1)为平面FAB的一个法向量.取平面ABP的法向量n2=(0,1,0),则
cos〈n1,n2〉===-.
易知,二面角F-AB-P是锐角,所以其余弦值为.
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