李庆扬数值分析第五版第章与第章习题答案Word下载.docx
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为什么说平方根法计算稳定?
具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长,切对角元素恒为正数,因此,是一个稳定的算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定?
对角占优的三对角方程组
6、何谓向量范数?
给出三种常用的向量范数。
向量范数定义见正定性齐次性三角不等式
设x为向量,则三
n
||x||1|xi|
i1
n1
||x||2(xi2)2
||x||m1iaxn|xi|
p53,符合3个运算法则。
种常用的向量范数为:
(第3章p53,第5章p165)
7、何谓矩阵范数?
何谓矩阵的算子范数?
给出矩阵A=(aij)的三种范数||A||1,||A||2,||
A||∞,||A||1与||A||2哪个更容易计算?
为什么?
向量范数定义见p162,需要满足四个条件。
正定条件齐次条件三角不等式相容条件矩阵的算子范数有
||A||1||A||2
||A||
8、什么是矩阵的条件数?
如何判断线性方程组是病态的?
v1,2,)为矩阵A的条件数
设A为非奇异阵,称数cond(A)vA1vAv
当cond(A)?
1时,方程是病态的。
9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异?
(1)矩阵行列式的值很小。
(2)矩阵的范数小。
(3)矩阵的范数大。
(4)矩阵的条件数小。
(5)矩阵的元素绝对值小。
接近奇异阵的有
(1)、
(2)注:
矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。
矩阵的元素绝对值小,不能说明行列式的值小等。
10、判断下列命题是否正确:
(1)只要矩阵A非奇异,则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax=b的解。
错误,主元位置可能为0,导致无法计算结果。
(2)对称正定的线性方程组总是良态的。
答:
正确。
(3)一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。
(4)如果A非奇异,则Ax=b的解的个数是由右端向量b的决定的。
解释:
若A|b与A的秩相同,则A有唯一解。
若不同,则A无解。
(5)如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素,则矩阵必奇异。
6)范数为零的矩阵一定是零矩阵。
7)奇异矩阵的范数一定是零。
错误,?
可以不为0。
(8)如果矩阵对称,则||A||1=||A||∞。
根据范数的定义,正确。
(9)如果线性方程组是良态的,则高斯消去法可以不选主元。
错误,不选主元时,可能除数为0。
(10)在求解非奇异性线性方程组时,即使系数矩阵病态,用列主元消去法产生的误差也很小。
错误。
对于病态方程组,选主元对误差的降低没有影响。
(11)||A||1=||AT||∞。
(12)若A是nn的非奇异矩阵,则
1
cond(A)cond(A1)。
A是nn的非奇异矩阵,则A存在逆矩阵。
根据条件数的定义有:
cond(A)1A?
1A11111cond(A1)A1?
(A1)1A1?
AA?
A1
a12
a1n
a22
...an2
A
(1)
a11
a2n
...ann
...
aa12
an2
ann
习题
a12a.a12.
..aa12
n2
A2
....
.....
..aa1n
a12.
..ann
A约化为A(aij)n,其中A(aij)n
所以A2为对称矩阵。
2、设A是对称正定矩阵,经过高斯消去法一步后,
A2(ai(j2))n1
证明:
(1)A的对角元素aii0(i1,2,L,n);
(2)A2是对称正定矩阵;
(1)依次取xi(0,0,,0,1i,0,,0)T,i1,2,,n,则因为A是对称正定矩阵,
(2)ai1a1ja1iaj1
(2)
jaijaajiaaji
a11a11
即A2是对称矩阵。
3、设Lk为指标为k的初等下三角矩阵(除第k列对角元以下元素外,Lk和单位阵I相同),即
Lk
mk1,k1
mn,k1
求证当i,jk时,L±
kIijLkIij也是一个指标为k的初等下三角矩阵,其中Iij为初等置换矩阵。
4、试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式,其中L为下三角矩阵,U为单位上三角矩阵。
本题不推导。
参见书上例题。
P147页。
5、设Uxd,其中U为三角矩阵。
(1)就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式,并写出算法
(2)计算解三角方程组Uxd的乘除法次数
(3)设U为非奇异矩阵,试推导求U1的计算公式本题考查求解公式的一般方法,可从第n个元素开始,逐步计算n-1,⋯1时对应的求解公式。
解法,略。
6、证明:
(1)如果A是对称正定矩阵,则A1也是对称正定矩阵
(2)如果A是对称正定矩阵,则A可以唯一地写成ALTL,其中L是具有正对角元的下三角矩阵
均是对称正定矩阵的性质。
应予以记住。
7、用列主元消去法解线性方程组
12x13x23x315
18x13x2x315
x1x2x36
并求出系数矩阵A的行列式的值
12
3
A
18
15
A|b18
6
使用列主元消去法,有
A|b
183115
0175
71731
6186
7
17
31
5
66
21
A的行列式为-66方程组的解为X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解(Doolittle分解)求线性方程组的解
9
x1
x2
x3
41
52
8
42
2x3
本题考查LU分解。
解:
9、用追赶法解三对角方程组Axb,其中
21000
12100
A01210
b0
00121
00012
解:
追赶法实际为LU分解的特殊形式。
设U为、单位上三角矩阵。
有
1)计算i的递推公式
1c1/b11/20.5
2c2/(b2a21)1/(2
(1)(0.5))2/3
3c3/(b3a32)1/(2
(1)(2/3))3/4
4c4/(b4a43)1/(2
(1)(3/4))4/5
2)解Ly=f
y1f1/b11/2y2(f2a2y1)/(b2a21)(0
(1)(1/2))/(2
(1)(0.5))1/3y3(f3a3y2)/(b3a32)(0
(1)(1/3))/(2
(1)(2/3))1/4y4(f4a4y3)/(b4a43)(0
(1)(1/4))/(2
(1)(3/4))1/5y5(f5a5y4)/(b5a54)(0
(1)(1/5))/(2
(1)(4/5))1/6
(3)解UX=y
x5y51/6
x4y44x51/5(4/5)1/61/3
x3y33x41/4(3/4)1/31/2
x2y22x31/3(2/3)1/22/3
x1y11x22(1/2)2/35/6
10、用改进的平方根法解方程组
2
11x1
4
23x2
31x3
本题明确要求使用平方根法进行求解。
实际考查的LDU分解。
见P157
10
23
x1,x2
x3
192
93
11、下列矩阵能否分解为LU(其中L为单位下三角阵,U为上三角阵)?
若能分解,那么分解是否唯一。
LU分解存在的条件
一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。
如果要求其中的U矩阵)为单位三角矩阵,那么分解是唯一的。
同理可知,矩阵的并且总是唯一的。
即使矩阵不可逆,L
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- 李庆扬 数值 分析 第五 版第章 习题 答案