中考数学第三单元函数第15课时二次函数综合题含近9年中考真题试题2Word格式.docx
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x<
时,比较y1与y2的大小.
4.(2017杭州22题12分)在平面直角坐标系中,设二次函数y1=(x+a)(x-a-1),其中a≠0.
(1)若函数y1的图象经过点(1,-2),求函数y1的表达式;
(2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点,探究实数a,b满足的关系式;
(3)已知点P(x0,m)和Q(1,n)在函数y1的图象上.若m<
n,求x0的取值范围.
命题点 2 与几何图形结合
类型一 与线段有关的综合题(温州2012.24)
5.(2012温州24题14分)如图,经过原点的抛物线y=-x2+2mx(m>
0)与x轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PM⊥x轴于点M,交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B、C不重合).连接CB,CP.
(1)当m=3时,求点A的坐标及BC的长;
(2)当m>
1时,连接CA,问m为何值时CA⊥CP?
(3)过点P作PE⊥PC且PE=PC,问是否存在m,使得点E落在坐标轴上?
若存在,求出所有满足要求的m的值,并求出相对应的点E坐标;
若不存在,请说明理由.
第5题图
类型二 与角度有关的综合题(绍兴2考)
6.(2013绍兴24题14分)抛物线y=(x-3)(x+1)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D为顶点.
(1)求点B及点D的坐标;
(2)连接BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.
①若线段BD上一点P,使∠DCP=∠BDE,求点P的坐标;
②若抛物线上一点M,作MN⊥CD,交直线CD于点N,使∠CMN=∠BDE,求点M的坐标.
类型三 与面积有关的综合题(温州2考)
7.(2016温州23题10分)如图,抛物线y=x2-mx-3(m>
0)交y轴于点C,CA⊥y轴,交抛物线于点A,点B在抛物线上,且在第一象限内,BE⊥y轴,交y轴于点E,交AO的延长线于点D,BE=2AC.
(1)用含m的代数式表示BE的长;
(2)当m=时,判断点D是否落在抛物线上,并说明理由;
(3)作AG∥y轴,交OB于点F,交BD于点G.
①若△DOE与△BGF的面积相等,求m的值.
②连接AE,交OB于点M.若△AMF与△BGF的面积相等,则m的值是________.
第7题图
类型四 与三角形相似有关的综合题
8.(2017宁波25题12分)如图,抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点B,连接AB,点C(6,)在抛物线上,直线AC与y轴交于点D.
(1)求c的值及直线AC的函数表达式;
(2)点P在x轴正半轴上,点Q在y轴正半轴上,连接PQ与直线AC交于点M,连接MO并延长交AB于点N,若M为PQ的中点.
△APM∽△AON;
②设点M的横坐标为m,求AN的长(用含m的代数式表示).
第8题图
答案
1.解:
∵点C在一次函数y2=x+n的图象上,线段OC长为8,
∴n=±
8;
(2分)
①当n=8时一次函数为y2=x+8,y=0时,x=-6,求得点A的坐标为A(-6,0),
第1题解图①
∵抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A,B(点A,B在原点O两侧),与y轴相交于点C,且线段AB长为16,
∴这时抛物线开口向下,B(10,0),
如解图①所示,抛物线的对称轴是x=2,由图象可知:
当y1随着x的增大而减小时,自变量x的取值范围是x≥2;
(5分)
②当n=-8时一次函数为y2=x-8,y=0时,x=6,求得点A的坐标为A(6,0),
∴这时抛物线开口向上,B(-10,0),
如解图②所示,抛物线的对称轴是x=-2,由图象可知:
当y1随着x的增大而减小时,自变量x的取值范围是x≤-2;
(8分)
第1题解图②
综上所述,当y1随着x的增大而减小时,自变量x的取值范围是x≥2或x≤-2.(10分)
2.解:
①是真命题;
②是假命题;
③是假命题;
④是真命题.(2分)
理由如下:
①当k=0时,原函数变形为y=-x+1,当x=1时,y=0,即存在函数y=-x+1,其图象过(1,0)点,故是真命题;
②当k=0时,原函数变形为y=-x+1,图象为直线且过第一、二、四象限,与坐标轴只有两个不同的交点,与总有三个不同交点矛盾,故是假命题;
③由题可知当k=1时,函数解析式为y=2x2-5x,又x=-=>
1时,由图象可知当x>
1时,y随x先减小再增大,故是假命题;
④当k≠0时,y==-,
当k>
0时,函数图象开口向上,y有最小值,最小值为负数;
当k<
0时,函数图象开口向下,y有最大值,最大值为正数,故是真命题.(12分)
3.
(1)解:
由题意,得,
解得,
∴a=1,b=1;
(3分)
(2)①证明:
∵函数y1的图象的顶点坐标为(-,-),
∴a(-)+b=,即b=,
∵ab≠0,∴-b=2a,
即证2a+b=0;
(7分)
②解:
∵b=-2a,∴y1=ax(x-2),y2=a(x-2),
∴y1-y2=a(x-2)(x-1),
∵1<x<,
∴x-2<0,x-1>0,∴(x-2)(x-1)<0,
∴当a>0时,a(x-2)(x-1)<0,即y1<y2,
当a<0时,a(x-2)(x-1)>0,即y1>y2.(12分)
4.解:
(1)∵函数y1=(x+a)(x-a-1)图象经过点(1,-2),
∴把x=1,y=-2代入y1=(x+a)(x-a-1)得,-2=(1+a)(-a),(2分)
化简得,a2+a-2=0,解得,a1=-2,a2=1,
∴y1=x2-x-2;
(4分)
(2)函数y1=(x+a)(x-a-1)图象在x轴的交点为(-a,0),(a+1,0),
①当函数y2=ax+b的图象经过点(-a,0)时,
把x=-a,y=0代入y2=ax+b中,
得a2=b;
(6分)
②当函数y2=ax+b的图象经过点(a+1,0)时,
把x=a+1,y=0代入y2=ax+b中,
得a2+a=-b;
(3)∵抛物线y1=(x+a)(x-a-1)的对称轴是直线x==,m<
n,
∵二次项系数为1,∴抛物线的开口向上,
∴抛物线上的点离对称轴的距离越大,它的纵坐标也越大,
∵m<
∴点Q离对称轴x=的距离比点P离对称轴x=的距离大,(10分)
∴|x0-|<
1-,
∴0<
x0<
1.(12分)
5.解:
(1)当m=3时,y=-x2+6x,
令y=0,得-x2+6x=0,
∴x1=0,x2=6,
∴A(6,0).
当x=1时,y=5,
∴B(1,5).
∵抛物线y=-x2+6x的对称轴为直线x=3,
又∵B,C关于对称轴对称,
∴BC=4;
(2)过点C作CH⊥x轴于点H(如解图①),
第5题解图①
由已知得∠ACP=∠BCH=90°
,
∴∠ACH=∠PCB,
又∵∠AHC=∠PBC=90°
∴△ACH∽△PCB,
∴=.
∵抛物线y=-x2+2mx的对称轴为直线x=m,其中m>1,
∴BC=2(m-1),
∵B(1,2m-1),P(1,m),
∴BP=m-1,
又∵A(2m,0),C(2m-1,2m-1),
∴H(2m-1,0),
∵AH=1,CH=2m-1,
∴=,
∴m=;
(3)∵B,C不重合,∴m≠1.
(Ⅰ)当m>1时,BC=2(m-1),PM=m,
BP=m-1.
(ⅰ)若点E在x轴上(如解图①),
∵∠CPE=90°
∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°
∴∠BPC=∠MEP.
又∵∠CBP=∠PME=90°
,PC=EP,
∴△BPC≌△MEP,
∴BC=PM,
∴2(m-1)=m,
∴m=2,此时点E的坐标是(2,0);
(ⅱ)若点E在y轴上(如解图②),
第5题解图②
过点P作PN⊥y轴于点N,
易证△BPC≌△NPE,
∴BP=NP=OM=1,
∴m-1=1,
∴m=2,
此时点E的坐标是(0,4);
(11分)
(Ⅱ)当0<m<1时,BC=2(1-m),PM=m,BP=1-m,
(ⅰ)若点E在x轴上(如解图③),
第5题解图③
易证△BPC≌△MEP,
∴2(1-m)=m,
∴m=,此时点E的坐标是(,0);
(12分)
(ⅱ)若点E在y轴上(如解图④),
第5题解图④
过点P作PN⊥y轴上点N,
易证△BPC≌△NPE,∴BP=NP=OM=1,
∴1-m=1,
∴m=0(舍去).
综上所述,当m=2时,点E的坐标是(2,0)或(0,4),
当m=时,点E的坐标是(,0).(14分)
6.解:
(1)∵抛物线y=(x-3)(x+1)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),
∴当y=0时,(x-3)(x+1)=0,
解得x=3或-1,
∴点B的坐标为(3,0).
∵y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴顶点D的坐标为(1,-4);
(2)①∵抛物线y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3与y轴交于点C,
∴C点坐标为(0,-3).
∵对称轴为直线x=1,
∴点E的坐标为(1,0).
连接BC,过点C作CH⊥DE于H,如解图①所示,则H点坐标为(1,-3),
第6题解图①
∴CH=DH=1,
∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°
∴CD=,CB=3,BD=2,∴△BCD为直角三角形.
分别延长PC、DC,与x轴相交于点Q,R.
∵∠BDE=∠DCP=∠QCR,
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°
+∠DCP,
∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°
∴∠CDB=∠QCO,
∴△BCD∽△QOC,
∴==,
∴OQ=3OC=9,即Q(-9,0).
∴直线CQ的解析式为y=-x-3,
直线BD的解析式为y=2x-6,
由方程组,
∴点P的坐标为(,-);
(9分)
②(Ⅰ)当点
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