中考数学解题技法28角平分线和高线的夹角模型问题含答案及解析中考数学二Word文档下载推荐.docx

中考数学解题技法28角平分线和高线的夹角模型问题含答案及解析中考数学二Word文档下载推荐.docx

《中考数学解题技法28角平分线和高线的夹角模型问题含答案及解析中考数学二Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学解题技法28角平分线和高线的夹角模型问题含答案及解析中考数学二Word文档下载推荐.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

－（∠ABC＋∠ACB）=70°

∵边上的高相交于点F，

∴∠AEC=∠FDC=90°

，

∴∠ACE=180°

－∠AEC－∠A=20°

∴∠FDC＋∠ACE=110°

故答案为：

110°

．

【点睛】

此题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高的定义和角平分线的定义是解题关键．

例2．（2020·

湖北恩施土家族苗族自治州·

八年级期中）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，．求和的度数．

【答案】，

根据三角形内角和定理求出∠BAC=180°

-60°

-70°

=50°

，再由AE是角平分线，求出∠EAC=∠BAC=30°

，由AD是高，求出∠CAD=90°

-∠C=20°

，最后即可求出∠EAD=∠EAC-∠CAD=10°

；

根据角平分线的性质，得∠OAB=∠BAC，∠OBA=∠ABC，所以∠BOE=∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC）=（180°

-∠C）=×

（180°

）=55°

∠BAC=60°

，∠C=70°

∴∠ABC=180°

−∠ABC−∠C=180°

−60°

∵AE是角平分线，

∴∠EAC=∠BAC=×

60°

=30°

∵AD是高，

∴∠ADC=90°

∴∠CAD=90°

−∠C=90°

−70°

=20°

∴∠DAE=∠EAC−∠CAD=30°

−20°

=10°

∵AE，BF是角平分线，

∴∠OAB=∠BAC,∠OBA=∠ABC，

∴∠BOE=∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC）=（180°

−∠C）=12×

）=55°

本题考查了三角形内角和定理、角平分线性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

例3．（2020·

山东淄博市·

七年级期中）中，是的角平分线，是的高．

（1）如图1，若，请说明的度数；

（2）如图2（），试说明的数量关系；

（3）如图3，延长到点，和的角平分线交于点，请求出的度数．

【答案】

（1）；

（2）；

（3）．

（1）先根据三角形的内角和定理求得、，再根据角平分线的定义得到，最后根据角的和差解答即可；

（2）先根据三角形的内角和定理求得、，再根据角平分线的定义得到，然后根据角的和差表示出来即可；

（3）先根据角平分线的定义得到，再结合三角形外角的性质得到，然后根据题意得到，最后算出∠G即可．

（1）

是的高，

是的角平分线，

（2）

即；

（3）和的角平分线交于点，

，即，

本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．

【好题演练】

一、填空题

1．（2020·

哈尔滨市第四十七中学七年级期中）如图，在中，、分别是的高和角平分线，，，则__________度．

【答案】5

先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠EAC=∠BAC，而∠DAC=90°

-∠C，然后利用∠DAE=∠EAC-∠DAC进行计算即可．

在△ABC中，

∵∠B=50°

，∠C=60°

∴∠BAC=180°

-∠B-∠C=180°

-50°

=70°

∵AE是的角平分线，

70°

=35°

∵AD是△ABC的高，

∴在△ADC中，∠DAC=180°

-∠ADC-∠C=180°

-90°

∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=35°

-30°

=5°

5.

本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°

是解答此题的关键．

2．（2019·

上海市市西初级中学八年级期末）如图，中，一内角和一外角的平分线交于点连结，_______________________.

【答案】66°

过D作，DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H，由BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠CBD，DH=DF，同理CD平分∠ACE，∠ACD=∠DCF=，DG=DF，由∠ACE是△ABC的外角，可得2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，由∠DCE是△DBC的外角，可得∠DCE=∠CDB+∠DBC②，两者结合，得∠BAC=2∠CDB，则∠HAC=180º

-∠BAC，在证AD平分∠HAC，即可求出∠CAD．

过D作，DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H，

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，DH=DF，

∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCF=∠ACE，DG=DF，

∵∠ACE是△ABC的外角，

∴∠ACE=∠BAC+∠ABC，

∴2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，

∵∠DCE是△DBC的外角，

∴∠DCE=∠CDB+∠DBC②，

由①②得，∠BAC=2∠CDB=2×

24º

=48º

∴∠HAC=180º

-∠BAC=180º

-48º

=132º

∵DH=DF，DG=DF，

∴DH=DG，

∵DG⊥AC，DH⊥BA，

AD平分∠HAC，

∠CAD=∠HAD=∠HAC=×

132º

=66º

66．

本题考查角的求法，关键是掌握点D为两角平分线交点，可知AD为角平分线，利用好外角与内角的关系，找到∠BAC=2∠CDB是解题关键．

二、解答题

3．（2020·

山西晋城市·

七年级期末）

（1）如图1，的内角的平分线与外角的平分线相交于P点，请探究与的关系，并说明理由

（2）如图②③，四边形ABCD中，设为四边形ABCD的内角与外角的平分线所在直线相交而形成锐角，请利用

（1）中的结论完成下列问题：

①如图②，若，求的度数（用的代数式表示，记得把图转化为图）

②如图③，若，请在图③中画出，并直接写出=______（用的代数式表示）

（1）2∠P＝∠A；

理由见解析；

（2）①∠P＝（α+β）﹣90°

②∠P＝90°

﹣．

（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，再根据角平分线的性质可得2∠PCD＝∠ACD，2∠PBC＝∠ABC，运用等量代换即可得解；

（2）①添加辅助线，延长BA交CD的延长线于F，利用

（1）中结论解决问题即可；

②添加辅助线，延长AB交DC的延长线于F，同①的思路求解即可．

（1）如图1中，结论：

2∠P＝∠A．

理由：

∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，

∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，

∴2∠PCD＝∠ACD，2∠PBC＝∠ABC，

∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC，

2∠P+2∠PBC＝∠A+∠ABC，

2∠P+∠ABC＝∠A+∠ABC，

∴2∠P＝∠A；

（2）①延长BA交CD的延长线于F．

∵∠F＝180°

﹣∠FAD﹣∠FDA＝180°

﹣（180°

﹣α）﹣（180°

﹣β）＝α+β﹣180°

由

（1）可知：

∠P＝∠F，

∴∠P＝（α+β）﹣90°

②如图3，延长AB交DC的延长线于F．

﹣α﹣β，∠P＝∠F，

∴∠P＝（180°

﹣α﹣β）＝90°

本题考查了三角形的外角性质的应用和角平分线的定义，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

4．（2018·

七年级期末）在△ABC中，已知∠A＝α．

（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．

①当α＝70°

时，∠BDC度数＝　　度（直接写出结果）；

②∠BDC的度数为　　（用含α的代数式表示）；

（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．

（3）在

（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．

（1）

（1）①125°

②，

（2）；

（3）

（1）①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°

，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；

②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°

-∠A，采用①的推导方法即可求解；

（2）由三角形外角性质得，然后结合角平分线的定义求解；

（3）由折叠的对称性得，结合

（1）②的结论可得答案．

（1）①∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，

∴∠BDC＝180°

﹣∠DBC﹣∠DCB

＝180°

﹣（∠ABC+∠ACB）

﹣70°

）

＝125°

②∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，

﹣∠A）

＝90°

+∠A

+α．

故答案分别为125°

，90°

（2）∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE

∴，，

∴＝

即．

（3）由轴对称性质知：

由

（1）②可得，

∴．

本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．