高中数学学年最新北师大版数学必修四教学案第一章5第2课时正弦函数的性质文档格式.docx
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为什么?
提示:
不正确.事实上,“第一象限”是由所有的区间(k∈Z)构成的,在这样若干个区间所构成的集合的并集内,显然函数值不是随着x值的增加而增加的.
2.正弦曲线有对称轴和对称中心吗?
分别有多少个?
正弦函数曲线既是轴对称图形,又是中心对称图形.函数y=sinx,(x∈R)的对称轴是x=kπ+(k∈Z),有无数条;
对称中心是点(kπ,0)(k∈Z),有无穷多个.
讲一讲
1.求函数y=lg的定义域.
[尝试解答] 要使函数y=lg有意义,
则sinx->
0,即sinx>
.
作出正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像.
如图,由图像可以得到满足条件的x的集合为
,k∈Z.
∴函数y=lg的定义域为
1.求由三角函数参与构成的函数定义域,对于自变量必须满足:
(1)使三角函数有意义.
(2)分式形式的分母不等于零.
(3)偶次根式的被开方数不小于零.
(4)对数的真数大于0.
2.求三角函数定义域时,常常归结为解三角不等式(组),这时可利用三角函数的图像直观地求得解集.
练一练
1.求函数y=的定义域.
解:
要使函数有意义,必须使-3sinx≥0.即sinx≤0,
∴(2k-1)π≤x≤2kπ,k∈Z.
∴函数的定义域为[(2k-1)π,2kπ],k∈Z.
2.求下列函数的值域.
(1)y=2-sinx;
(2)y=lgsinx;
(3)y=sin2x-4sinx+5,x∈.
[尝试解答]
(1)正弦函数y=sinx的值域为[-1,1].所以函数y=2-sinx的值域为[1,3].
(2)∵0<
sinx≤1,
∴y=lgsinx≤0.
∴函数y=lgsinx的值域为(-∞,0].
(3)令t=sinx,由x∈,得0≤t≤1.
y=t2-4t+5=(t-2)2+1.
当t=0,即sinx=0时,最大值为5,
当t=1,即sinx=1时,最小值为2.
∴该函数的值域是[2,5].
1.对于形如f(x)=asinx+b的函数的值域可以利用正弦函数图像或有界性直接解决.
2.对于形如f(x)=Asin2x+Bsinx+C的函数,可用配方法求其值域,注意当x有具体限制范围时,需要考虑sinx的范围.
2.求函数y=a-2sinx(a∈R)取得最大值、最小值时x的集合.
当sinx=1时,y最小,此时x=+2kπ,k∈Z,
当sinx=-1时,y最大,此时x=-+2kπ,k∈Z,
所以,函数y=a-2sinx取得最大值时x的集合为,
取得最小值时x的集合为.
3.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=xsin(π+x);
(2)f(x)=lg(1-sinx)-lg(1+sinx).
[尝试解答]
(1)函数的定义域为R,关于原点对称.
f(x)=xsin(π+x)=-xsinx,
f(-x)=-(-x)sin(-x)
=-xsinx=f(x).
∴f(x)是偶函数.
(2)由⇒-1<
sinx<
1,得函数定义域为
{x|x∈R,且x≠+kπ,k∈Z},关于原点对称.
又f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)]
=lg(1+sinx)-lg(1-sinx)=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数.
3.判断函数y=的奇偶性.
函数应满足1+sinx≠0,∴函数的定义域为.∵函数的定义域不关于原点对称,∴该函数既不是奇函数也不是偶函数.
4.求下列函数的单调增区间.
(1)y=2sin(-x);
(2)y=a+bsinx(a,b∈R且b≠0).
[尝试解答]
(1)y=2sin(-x)=-2sinx,
∴函数y=2sin(-x)的递增区间就是函数
u=2sinx的递减区间.
∴函数y=2sin(-x)的递增区间为
(k∈Z).
(2)∵y=sinx的单调递增区间为
(k∈Z),减区间为(k∈Z).
∴当b>
0时,y=a+bsinx的单调递增区间为
(k∈Z);
当b<
0时,y=a+bsinx的单调增区间为
求形如y=a+bsinx的函数的单调区间,只需考察y=sinx的单调区间,当b>
0时,y=a+bsinx与y=sinx的单调区间相同,当b<
0时,则y=sinx的单调递增(减)区间是y=a+bsinx的递减(增)区间.
4.求函数y=2-sinx的单调区间.
∵y=2-sinx=,
∴所求函数的单调性与y=sinx的单调性正好相反.
∴所求函数的单调增区间是,(k∈Z).单调减区间是,(k∈Z).
求函数y=sin2x-4sinx-1的值域.
[错解] ∵y=sin2x-4sinx-1=(sinx-2)2-5,
∴y≥-5.
∴此函数的值域为[-5,+∞).
[错因] 在探讨y=(sinx-2)2-5的值域时,误认为sinx∈R,而忽略了正弦函数的有界性,即|sinx|≤1.这也是此类问题的常见错误.
[正解] ∵y=sin2x-4sinx-1
=(sinx-2)2-5,
且-1≤sinx≤1
∴当sinx=-1时,函数的最大值是4.
当sinx=1时,函数的最小值是-4.
∴此函数的值域为[-4,4].
1.正弦函数y=sinx,x∈R的图像的一条对称轴是( )
A.y轴B.x轴
C.直线x=D.直线x=π
答案:
C
2.函数f(x)=1+sinx的最小正周期是( )
A.B.πC.D.2π
D
3.(天津高考)函数f(x)=sin在区间上的最小值为( )
A.-1B.-C.D.0
解析:
选B 由已知x∈,得2x-∈,所以sin∈,故函数f(x)=sin在区间上的最小值为-.
4.函数f(x)=sin2x+1的奇偶性是________.
f(-x)=sin2(-x)+1=sin2x+1=f(x)
偶函数
5.设函数y=sin(x-)取得最大值的x的集合是________.
当且仅当x-=+2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,y=sin(x-)取最大值.故x的集合为.
{x|x=+2kπ,k∈Z}
6.比较下列各组数的大小.
(1)sin2012°
和cos160°
;
(2)sin和cos;
=sin(360°
×
5+212°
)=sin212°
=sin(180°
+32°
)=-sin32°
cos160°
=cos(180°
-20°
)=-cos20°
=-sin70°
∵sin32°
<
sin70°
,∴-sin32°
>
-sin70°
,
即sin2012°
(2)cos=sin,又<
+<
y=sinx在上是减少的,
∴sin>
sin=cos,即sin>
cos.
一、选择题
1.函数y=4sinx,x∈[-π,π]的单调性是( )
A.在[-π,0]上是增加的,在[0,π]上是减少的
B.在上是增加的,在和上是减少的
C.在[0,π]上是增加的,在[-π,0]上是减少的
D.在∪上是增加的,在上是减少的
选B 由正弦函数y=4sinx,x∈[-π,π]的图像,可知它在上是增加的,在和上是减少的.
2.函数y=|sinx|的最小正周期是( )
A.2πB.πC.D.
选B 画出函数y=|sinx|的图像,易知函数y=|sinx|的最小正周期是π.
3.下列关系式中正确的是( )
A.sin11°
<cos10°
<sin168°
B.sin168°
<sin11°
C.sin11°
D.sin168°
选C ∵sin168°
-12°
)=sin12°
cos10°
=sin(90°
-10°
)=sin80°
又∵y=sinx在上是增加的,
∴sin11°
<sin12°
<sin80°
,即sin11°
4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sinx,则f的值为( )
A.-B.C.-D.
选D ∵f(x)的最小正周期为π,
∴f()=f(-)=f()=sin=.
二、填空题
5.y=a+bsinx的最大值是,最小值是-,则a=________,b=________.
由得a=,b=±
1.
±
1
6.函数y=的定义域是________.
要使有意义,则有1+sinx≠0.
∴x≠-+2kπ,k∈Z
{x|x≠-+2kπ,k∈Z}.
7.函数f(x)=x3+sinx+1,(x∈R).若f(a)=2,则f(-a)的值为________.
∵f(a)=2,∴a3+sina+1=2.∴a3+sina=1.
∴f(-a)=(-a)3+sin(-a)+1=-(a3+sina)+1=-1+1=0.
8.函数f(x)=3sinx-x的零点个数为________.
由f(x)=0得sinx=画出y=sinx和y=的图像如右图,可知有3个交点,则f(x)=3sinx-x有3个零点.
3
三、解答题
9.求函数y=2sin(x+),x∈的值域.
∵x∈,∴x+∈.
则当x+=,即x=时,y最大为2,
当x+=即x=时,y最小为1.
∴函数y=2sin(x+),x∈的值域是[1,2].
10.已知函数y=sinx+|sinx|.
(1)画出这个函数的图像;
(2)这个函数是周期函数吗?
如果是,求出它的最小正周期;
(3)指出这个函数的单调增区间.
(1)y=sinx+|sinx|
=
其图像如图所示.
(2)由图像知函数是周期函数,且函数的最小正周期是2π.
(3)由图像知函数的单调增区间为
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