几种构造辅助函数的方法及应用Word文档格式.docx
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将结论中的或看作变量,作恒等变形后与中值定理的公式相对照,即可看出辅助函数的结构。
例3:
设函数在且在内可导,且.试证明:
分析:
欲证等式
将均看作变量,则上式写成
辅助函数可取:
证明:
则由题设可知上满足柯西中值定理,于是,
因为
所以,
再令上满足柯西中值定理,于是,
由
(1),
(2)得=
2.4几何直观法
对于某些证明题可以先从结论的几何意义进行分析,作为符合已知定义、定理的辅助曲线,再利用解析几何知识列出辅助曲线方程进而找出证明题所需要的辅助函数,打开证明思路。
例4设函数在内可导,试证明:
在
分析:
由知,是下凸函数.
由图1知:
切线总在曲线的下方(几何意义).
由图2知:
证明:
方法一:
有分析及
(1)知
取时
方法二:
由
(2)知,令,则
(2)式变为
再次引进辅助函数,
则递增,
即:
2.5微分方程法
所谓“微分方程法”是指遇到诸如“求证存在,使得”之类的问题时,可先解微分方程,得其通解:
,则可构造辅助函数
例5设在上连续,在内可导,且
对.
分析:
将结论中的换成,得可分离变量的微分方程:
,
即
其通解为,即:
于是可是辅助函数为
则
由Rolle定理知,至少存在一点使得
2.6常数k值法
此法适用于从结论中可分离出常数部分的命题,构造出辅助函数的具体步骤如下:
(1)从结论中分离出常数部分,将它令为k;
(2)做恒等变化,是等式(或不等式)一端为a及f(a)构成的代数式,另一端为b和f(b)构成的代数式;
(3)分析端点a,b的表达式是否为对称式或轮换式。
若是将端点改为x,相应的函数值f(a)(或f(b))改为f(x),则关于x,f(x)的表达式即为索求的辅助函数F(x).
例6:
分离a,b与,则待证式
则上式的左端显然是关于a,b的对称式.令其为k,得
于是,可令
作辅助函数
(其中)
由题设条件可知
并且
可见,于是,
即.
亦即
2.7弧弦差法
利用弧弦差来构造辅助函数,称为弧弦差构造函数法。
微分中值定理的相关证明就采用种方法,现以拉格朗日中值定理为例:
(原定理叙述略)
题7:
有向线段的函数,设直线AB的方程为
则
由于点的纵坐标分别为
有向线段的重数
于是就有拉格朗日中值定理的结论
参考文献:
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:
高等教育出版社,2001.
[2]杨根学.待证结论构造辅助函数法[J].天水师院学报,2001,(5):
55-56
[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社,1986.
[4]王德利.证题中引进辅助函数的几种方法[J].江汉大学学报,1995,(3):
56
[5]尹必华.运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法[J].自然科学报.2002:
(6)29—31
SeveralMethodsforConstructingtheAuxiliary
FunctionandtheirApplications
XuShenghu
(NorthwestNormalUniversity,GansuLanzhou730070)
Abstract:
Onthebasisofstudyingandanalyzingmathematical,somemethodsaboutconstructionofauxiliaryareproposed.Bythepropertyofthefunction’sgraphandmean-valuetheoremofintegrals,combinedwiththeexample,somemethodsforconstructingtheauxiliaryfunctionandtheirapplicationareillustrated.
Keywords:
auxiliaryfunction,arc-chorddifference,originalfunctionmethod,differentialequationmethod
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