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具体点说是以数学语言为工具进行科学研究的方法。
数学思想与数学方法既有区别又有密切的联系。
差异性:
数学思想具有概括性和普遍性,而数学方法则具有操作性和具体性。
数学思想是数学方法实施的依据,数学方法是数学思想得以实现的手段。
同一性:
表现在“数学思想与数学方法同属方法论的范畴”它们有时是等同的。
人们一般将数学思想与数学方法统称为数学思想方法。
二、小学数学教学中应渗透哪些基本数学思想方法。
在数学领域中数学思想方法很多,每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花。
但小学生的年龄特点决定有些数学思想方法他们不易接受,而且要想把那么多的数学思想方法都渗透给学生也不现实。
因此,应该有选择地渗透一些数学思想方法。
(一)符号化思想
西方较早地在数学研究中引进了符号,十六世纪数学家韦达对数学符号作了很多改进,并且第一个有意识地系统地用字母表示已知数、未知数及其乘幂,带来了代数研究的重大拓展,奠定了符号代数的基础,后来大数学家笛卡儿对韦达使用的字母又作了改进。
什么是符号化思想呢?
用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学的内容,这就是符号化思想。
1、符号化思想的含义
①人们有意识地、普遍地运用符号去概括、表述、研究数学;
②研究符号能够生存的条件,即反复选择用怎样的符号才能简洁、准确地反映数学概念的本质,有利于数学的发现和发展,且方便于打字、印刷等等;
③数学符号经过人工筛选与改造,形成一种约定的、规范的、形式化的系统。
运用一套合适的符号,可以清晰、准确、简洁地表达数学思想、概念、方法和法则,避免日常语言的繁复、冗长或含混不清,从而简化数学运算或推理过程,加快数学思维的速度,促进数学思想的交流。
如乘法分配律(a+b)×
c=a×
c+b×
c。
这就把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来,便于记忆、便于运用。
正如华罗庚所说的“数学的特点是抽象,正因为如此,用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性。
”
2.小学数学中常用的数学符号
●元素符号:
表示数和几何图形的符号。
如:
阿拉伯数字;
表示数的字母,表示常数的字母π;
“∠”表示角,“△”表示三角形等。
●运算符号:
+、-、×
、÷
。
●关系符号:
表示数、式、图形或集合之间的关系的符号称为关系符号。
如:
=,≈,>
<
等。
●性质符号:
表示数或形的性质符号。
正号“+”负号“-”。
●结合符号:
( )〔〕{}等。
3.符号化思想在小学数学教材中的体现。
●在概念的形成过程中,体现出数学符号对概念本质反映的特点。
●在表示一些关系式时,渗透符号抽象、简明、易记的特点。
a+b=b+aS=ab
●教学用字母表示数,体现代数式的特点
a÷
2、5(b+c)、m、-4
4.在教学中渗透符号化思想。
—从概念的本质揭示符号的意义。
10以内数的认识。
负数的认识。
—适当介绍符号的形成过程。
—采取适宜方式,帮助学生理解用代数式表示数量关系的概括性。
(二)方程思想
1.什么是方程思想?
在解决问题时,将已知量和未知量之间的数量关系,通过适当设元建立方程,然后求解使问题得到解决的思维方式。
方程思想是解决问题的重要思想方法
2.算术思维与方程思维的特点。
算术思维
—未知量、已知量地位不同。
—思考过程往往是逆向的。
方程思维
—未知量、已知量地位同等,便于分析数量关系。
—具有形式化、一般化的特点。
—思考过程往往是顺向的。
3.克服方程思维学习的障碍。
(1)适当加强文字语言与代数式“互译”的训练。
a列代数式。
b说出代数式表示的具体含义。
c设定字母,列代数式。
(2)采用多种方法引导学生找出等量关系。
a直观呈现数量关系。
b半独立写等量关系。
c设定未知量,列方程。
(三)化归思想
1.什么是化归思想?
将待解决的问题,通过某种转化过程,归结为另一个已解决或较易解决的问题的方法。
化归思想是数学家最擅长的思想方法。
化归是数学中最普遍使用的一种思想方法。
它的核心是以可变的观点对所要解决的问题进行变形,就是在解决数学问题时,不是对问题进行直接进攻,而是采取迂回的战术,通过变形把要解决的问题,化归为某个已经解决的问题,从而求得原问题的解决。
其基本思想是:
将待解决的问题甲,通过某种转化过程,归结为一个已经解决或者比较容易解决的问题乙,然后通过乙问题的解答返回去求得原问题甲的解答。
这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”,它具有不可逆转的单向性。
它的基本形式有:
化难为易,化生为熟,化繁为简,化整为零,化曲为直等。
在小学数学中蕴藏着各种可运用化归的方法进行解答的内容,让学生初步学会化归的思想方法。
2.化归思想常用的几种方法。
(1)分割法:
把要解决的问题分成若干个小问题,然后逐一求解,达到整个问题解决的方法。
(2)变形法:
对不易直接解决的问题,加以适当变形,实现由难到易的化归,达到问题解决。
(3)映射法:
是指在两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立某种“对应关系”,通过映射将原来的问题化归为新问题,在解决新问题的同时,原问题也得以解决。
3.在小学数学教学中渗透化归思想。
Ø
明确渗透化归思想的教材因素。
数与代数
几何图形面积公式的推导
注意在教学中渗透化归思想。
注意应用化归思想解决教学中的问题。
教学圆面积的计算方法,这里要推导出圆面积公式,在推导过程中,采用把圆分成若干等份,然后拼成一个近似长方形,从而推导出圆的面积公式。
这里把圆剪拼成近似长方形的过程,就是把曲线形化归为直线形的过程。
再如平面图形面积的计算都是利用的化归思想来解决问题的。
(四)分类思想
分类是根据教学对象的本质属性的异同按某种标准,将其划分为不同种类,即根据教学对象的共同性与差异性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类进行分析研究。
分类是数学发现的重要手段,在教学中,如果对学过的知识恰当地进行分类,就可以使大量纷繁的知识具有条理性。
1、渗透分类思想,培养分类的意识
每个学生在日常中都具有一定的分类知识,如人群的分类、书籍的分类等,我们利用学生的这一认识基础,把生活中的分类迁移到数学中来,在教学中进行数学分类思想的渗透,挖掘教材提供的机会,把握渗透的契机。
如在五年级“方程的意义”教学中,学生对方程意义的理解就是通过式的二次分类建构对“相等关系”、“含有未知数”的理解,从而把握方程的特质的。
教学时首先出示各种各样的“式”,按照式子中有无等号可分为:
有等号的式子和不含有等号的式子;
按照式子中是否含有未知数又可分为:
含有未知数和不含有未知数的等式。
进一步分别对每种情况中的第一类进行观察,将他们分类,该如何进行?
将有等号的式子按照式子中是否含有未知数,分成两类:
含有未知数的式子和不含有未知数的式子。
将含有未知数的式子按照式子中是否有等号,分成两类:
有等号的式子和没有等号的式子。
此时,满足方程的二要素便很清楚了:
含有未知数、等式。
又如,数的整除中对自然数的分类:
按自然数能否被2整除可分为奇数和偶数;
根据自然数的约数的个数又可分为质数、1和合数;
而这正是本阶段需要学生掌握的重点之一。
通过分类,建构了知识网络,又突出了学习的重点。
结合式的分类、数的分类等教学内容,反复渗透,强化数学分类思想,使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。
并能在分类的时候注意一些基本原则,如分类的对象是确定的,标准是统一的,如若不然,对象混杂,标准不一,就会出现遗漏、重复等错误。
如把自然数分为:
合数、零和奇数,就是犯分类标准不一的错误。
在确定对象和标准之后,还要注意分清层次,不越级讨论。
2、学习分类方法,增强思维的缜密性
在教学中渗透分类思想时,应让学生了解,所谓分类就是选取适当的标准,根据对象的属性,满足互斥、无遗漏、最简便的原则。
让学生认识不同的分类标准会有不同的分类结果,从而产生新的数学概念和数学知识的结构。
掌握合理的分类方法,能够帮助我们理清教学知识中许多“并联”的问题。
分类的方法常有以下几种:
(1)根据数学的概念进行分类
有些数学概念是分类给出的。
因此在整理时也要分类复习。
单名数和复名数,这是按所带计量单位的个数进行分类的,牢记分类的标准可以帮助我们掌握它们各自的特点。
(2)根据图形的特征或相互间的关系进行分类
如三角形按角分类,有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
如果以边的长短关系,三角形可分为不等边三角形和等边三角形;
等边三角形又可分为正三角形和等腰三角形。
(3)根据探索的方向进行分类
直线行程问题和环行行程问题,可以看出来他们在解决问题的方法上有相似性。
speak说spokespoken(五)集合思想
dive跳水,俯冲dived/dovedived集合是近代数学中的一个重要概念。
集合思想是现代数学思想向小学数学渗透的重要标志,在解决某些数学问题时,若是运用集合思想,可以使问题解决得更简单明了。
集合论的创始人是德国的数学家康托,其主要思想方法可归结为三个原则,即概括原则、外延原则、一一对应原则。
英国数学家维恩最早使用了一种图即可以用于表示任意的几个集合,称为“维恩图”,用维恩图表示集合,有助于探索某些数学题的解决思路。
集合思想包括概念、子集思想、交集思想、并集思想、差集思想、空集思想、一一对应思想等,作为数学思想方法的一种,在教学中是具有很大的指导意义。
1、集合概念在小学数学教学中的应用
集合思想的概念在教学中是不必向学生作解释的,教师主要指导学生看懂集合图的意思,会根据集合图来解题或者帮助解题。
图形本身直观地应用了集合的表示方法——图示法,因此在小学低年级中运用这个方法对于教学是很有帮助的。
在认数教学中,教师要结合各种集合图,可以是选用书本上的,也可以是选用一些生活中常见的事物自己画。
同时还可以反过来给学生一个数字,让学生画集合图,这样既可以让学生开动脑筋发挥自己的想象,也可以让学生更了解集合中的元素与基数概念的联系。
在日常教学中,教师还要让学生理解一些用来描述集合的常用术语,如“一些”、“一堆”、“一组”、“一群”等。
比如说,在小学数学教材分类中,就出现了这么一张图,让学生观察,要求把玩具放一堆,文具放一堆,服装鞋帽放一堆,这种把具有同一种属性的东西放在一
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