九年级数学上册第一章特殊平行四边形特殊平行四边形复习新版北师大版Word文件下载.docx
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5.矩形具有而平行四边形不具有的性质是()
A.对角线互相平分B.对角线相等
C.对角线互相垂直D.四边相等
6.在四边形ABCD中,AC、BD交于点O,在下列各组条件中,不能判定四边形ABCD为矩形的是()
A.AB=CD,AD=BC,AC=BD
B.AO=CO,BO=DO,∠A=90°
C.∠A=∠C,∠B+∠C=180°
,AC⊥BD
D.∠A=∠B=90°
,AC=BD
7.如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E、F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为()
A.6
B.3
C.2
D.1
8.如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=CO,BO=DO中,且∠ABC+∠ADC=180°
.
(1)求证:
四边形ABCD是矩形;
(2)若∠ADF∶∠FDC=3∶2,DF⊥AC,则∠BDF的度数是多少
知识点3 正方形的性质与判定
9.下列对正方形的描述错误的是()
A.正方形的四个角都是直角
B.正方形的对角线互相垂直
C.邻边相等的矩形是正方形
D.对角线相等的平行四边形是正方形
10.下列条件能使菱形ABCD是正方形的有()
①AC⊥BD;
②∠BAD=90°
;
③AB=BC;
④AC=BD.
A.①③B.②③
C.②④D.①②③
11.(泸州中考)如图,正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD上的点,且AE⊥BF,垂足为G,求证:
AE=BF.
12.已知ABCD为正方形,△AEF为等边三角形,求证:
(1)BE=DF;
(2)∠BAE=15°
中档题
13.菱形,矩形,正方形都具有的性质是()
A.对角线相等且互相平分
B.对角线相等且互相垂直平分
C.对角线互相平分
D.四条边相等,四个角相等
14.如图,菱形ABCD中,E是AD的中点,将△CDE沿CE折叠后,点A和点D恰好重合,若菱形ABCD的面积为4,则菱形ABCD的周长是()
A.8B.16C.8D.16
15.(哈尔滨中考)在矩形ABCD中,AD=5,AB=4,点E,F在直线AD上,且四边形BCFE为菱形.若线段EF的中点为点M,则线段AM的长为________.
16.正方形ABCD的边长为4,点E是正方形边上的点,AE=5,BF⊥AE,垂足为点F,求BF的长.
17.已知四边形ABCD是矩形,对角线AC和BD相交于点P,若在矩形的上方加一个△DEA,且使DE∥AC,AE∥BD.
四边形DEAP是菱形;
(2)若AE=CD,求∠DPC的度数.
18.如图,在矩形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,P、Q分别是BM、DN的中点.
四边形MPNQ是菱形;
(2)若AB=2,BC=4,求四边形MPNQ的面积.
19.(厦门中考)如图,在平面直角坐标系中,点A(2,n),B(m,n)(m>2),D(p,q)(q<n),点B,D在直线y=x+1上.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,且AB∥CD,CD=4,BE=DE,△AEB的面积是2.求证:
四边形ABCD是矩形.
20.(南京中考)如图,AB∥CD,点E、F分别在AB、CD上,连接EF,∠AEF、∠CFE的平分线交于点G,∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.
四边形EGFH是矩形;
(2)小明在完成
(1)的证明后继续进行了探索,过G作MN∥EF,分别交AB、CD于点M、N,过H作PQ∥EF,分别交AB、CD于点P、Q,得到四边形MNQP,此时,他猜想四边形MNQP是菱形,请在下列框中补全他的证明思路.
由AB∥CD,MN∥EF,PQ∥EF,易证四边形MNQP是平行四边形,要证平行四边形MNQP是菱形,只要证MN=NQ,由已知条件:
______________,MN∥EF,故只要证GM=FQ,即证△MGE≌△QFH,易证________________,________________,故只要证∠EMG=∠QFH,易证∠MGE=∠GEF,∠QFH=∠EFH,________________,即可得证.
综合题
21.如图,矩形A1B1C1D1的边长A1D1=8,A1B1=6,顺次连接A1B1C1D1各边的中点得到A2B2C2D2,顺次连接A2B2C2D2各边的中点得到A3B3C3D3,…,依此类推.
(1)求四边形A2B2C2D2的边长,并证明四边形A2B2C2D2是菱形;
(2)四边形A10B10C10D10是矩形还是菱形A10B10的长是多少(第
(2)问写出结果即可)
参考答案
4.证明:
∵AD∥BC,∴∠BAD+∠B=180°
∵∠BAD=∠BCD,∴∠BCD+∠B=180°
.∴AB∥CD.∴四边形ABCD为平行四边形.∴∠B=∠D.
∵AM⊥BC,AN⊥DC,∴∠AMB=∠AND=90°
∵AM=AN,∴△AMB≌△AND.∴AB=AD.∴四边形ABCD是菱形.
8.
(1)证明:
∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形.∴∠ABC=∠ADC.
∵∠ABC+∠ADC=180°
,∴∠ABC=∠ADC=90°
.∴四边形ABCD是矩形.
(2)∵∠ADC=90°
,∠ADF∶∠FDC=3∶2,∴∠FDC=36°
∵DF⊥AC,∴∠DCO=90°
-36°
=54°
∵四边形ABCD是矩形,∴OC=OD.∴∠ODC=54°
.∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=18°
11.证明:
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠BCF=90°
.∴∠BAE+∠AEB=90°
又∵AE⊥BF,∴∠CBF+∠AEB=90°
.∴∠BAE=∠CBF.
在△ABE与△BCF中,
∴△ABE≌△BCF(ASA).∴AE=BF.
12.证明:
(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠B=∠D.
∵△AEF为等边三角形,∴AE=AF.
在Rt△ABE和Rt△ADF中,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL).
∴BE=DF.
(2)由
(1)可知△ABE≌△ADF,
∴∠BAE=∠DAF.
又∠BAD=90°
,∠EAF=60°
,∴∠BAE+∠DAF=30°
.∴∠BAE=15°
或
16.由勾股定理得BE===3,
∵BF⊥AE,∴S△ABE=AE·
BF=AB·
BE,即×
5×
BF=×
4×
3,解得BF=.
17.
(1)证明:
∵DE∥AC,AE∥BD,∴四边形DEAP为平行四边形.
∵四边形ABCD为矩形,∴AP=AC,DP=BD,AC=BD.∴AP=PD.∴四边形DEAP为菱形.
(2)∵四边形DEAP为菱形,∴AE=PD.∵AE=CD,∴PD=CD=PC.∴△PDC为等边三角形.∴∠DPC=60°
18
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC.
∵M、N分别是AD、BC的中点,∴DM=BN.
又∵DM∥BN,∴四边形DMBN是平行四边形,∴BM=DN,BM∥DN,
∵P、Q分别是BM、DN的中点,∴MP=NQ.
又∵MP∥NQ,∴四边形MPNQ是平行四边形.连接MN.
∵AD∥BC,AD=BC,M、N分别AD、BC的中点,∴DM=CN.∴四边形DMNC是矩形.∴∠DMN=∠C=90°
∵Q是DN中点,∴MQ=NQ.∴四边形MPNQ是菱形.
(2)∵AB=2,BC=4,M为AD中点,Q为DN中点,
∴平行四边形DMBN的面积是×
2×
4=4.∴△DMN的面积是2.∴△MQN的面积是1.
同理:
△MPN的面积是1,∴四边形MPNQ的面积是1+1=2..
19.证明:
∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,∠BAC=∠ACD.
又∵BE=DE,∴△ABE≌△CDE.∴AE=CE.∴四边形ABCD为平行四边形.∴AB=CD=4.∴m=6.
∵点B在直线y=x+1上,∴n=4.∴A(2,4),B(6,4).∴AB∥CD∥x轴.
∵△AEB的面积是2,∴ABCD的面积是8.
又∵CD=4,∴ABCD的高是2.∴q=2.
把q=2代入直线y=x+1得p=2,∴点D(2,2).∴点C(6,2).∴AD∥BC∥y轴.∴四边形ABCD是矩形.
20.
(1)证明:
∵EH平分∠BEF,FH平分∠DFE,∴∠FEH=∠BEF,∠EFH=∠DFE.
∵AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°
.∴∠FEH+∠EFH=(∠BEF+∠DFE)=×
180°
=90°
∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°
,∴∠EHF=180°
-(∠FEH+∠EFH)=180°
-90°
∠EGF=90°
∵EG平分∠AEF,EH平分∠BEF,∴∠FEG=∠AEF,∠FEH=∠BEF.
∵点A、E、B在同一条直线上,∴∠AEB=180°
,即∠AEF+∠BEF=180°
∴∠FEG+∠FEH=(∠AEF+∠BEF)=×
,即∠GEH=90°
∴四边形EGFH是矩形.
(2)答案不唯一,
如:
FG平分∠CFE,MN∥EF,故只要证GM=FQ,即可证△MGE≌△QFH,易证GE=FH,∠GME=∠FQH.故只要证∠MGE=∠QFH,易证∠MGE=∠GEF,∠QFH=∠EFH,∠GEF=∠EFH,即可得证.
21.
(1)连接A1C1,B1D1.已知A1B1C1D1是矩形,∴A1C1=B1D1.
又A2,B2,C2,D2是中点,根据三角形中位线性质得:
A2B2=C2D2=A1C1,A2D2=B2C2=B1D1,
∴A2B2=C2D2=A2D2=B2C2.∴四边形A2B2C2D2是菱形.
在直角三角形A1B1C1中,根据勾股定理得A1C1===10,
∴A2B2=A1C1=×
10=5.
所以四边形A2B2C2D2的边长为5.
(2)通过观察分析总结各个图形有如下关系:
An+2Bn+2Cn+2Dn+2与AnBnCnDn相似,An+2Bn+2Cn+2Dn+2的边长是AnBnCnDn边长的一半.
例如,A3B3C3D3的边长是A1B1C1D1边长的一半,A4B4C4D4的边长是A2B2C2D2边长的一半,…因此A10B10C10D10的边长是A2B2C2D2的()4=,
所以A10B10C10D10也是菱形,A10B10==.
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- 九年级 数学 上册 第一章 特殊 平行四边形 复习 新版 北师大