鸡兔同笼盈亏平均数问题含答案DOCWord文档下载推荐.docx
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46=184(足),而实际上是128足,多了184-128=56(足),为什么多了56足呢?
因为我们把一只鸡当作一只兔来算时,就多算了2足,所以有56÷
2=28(只)鸡被我们当作兔来算,所以有兔46-28=18(只)。
3.“砍足法”
鸡兔同笼,头共46,足共128,鸡兔各几只?
假如砍去每只鸡、每只兔一半的足,则鸡就变成了“独脚鸡”,兔就变成了“双脚兔”,则鸡和兔足的总数就由128变成了64,而且有一只兔子,则足的总数就比头的总数多1,所以足的总数64与总头数46的差,就是兔子的只数,即64-46=18(只),则鸡的只数就是46-18=28(只)。
(二)盈亏问题
盈亏问题,顾名思义有剩余就叫盈,不够分就叫亏,不同的方法分配物品时,经常会产生这种盈亏现象。
盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化,我们把盈亏问题分为三类:
“一盈一亏”、“两盈”、“两亏”。
1.“盈亏”型
学而思学校提高班的同学分糖果,如果每人分4粒就多9粒,如果每人分5粒则少6粒,问:
有多少位同学分多少粒糖果?
为什么第一次多9粒,而第二次还少6粒呢?
因为两次分配数量不一样,第二次分配时不仅把第一次多出来的9粒分了,还要再添6粒才够分,也就是说按第二种分配方案比第一次总共要多分9+6=15(粒),那为什么会有这种变化产生呢?
因为第二次比第一次每人多分了5-4=1(粒),那么要分15粒,就需要有15÷
1=15(人),共有15×
4+9=69(粒)。
2.“盈盈”型
明明过生日,同学们给他买蛋糕,如果每人出8元,就多出了8元;
每人出7元,就多出了4元。
那么有多少个同学?
蛋糕的价钱是多少?
为什么第一次多8元,第二次就只多4元了呢?
因为两次分配数量不一样,第二次分配时每人少出1元,也就是在第一次分配的基础上给每个人退了1元钱,总共退回了8-4=4(元),所以共有4÷
1=4(人),蛋糕价钱是8×
4-8=24(元)。
3.“亏亏”型
学而思学校新近一批书,将它们分给几位老师,如果每人发10本,还差9本,每人发9本,还差2本,请问有多少老师?
多少本书?
为什么第一次差9本,第二次就只差2本了呢?
因为两次分配数量不一样,第二次分配时每人少发1本,也就是在第一次分配的基础上从每个人那里拿回了1本书,总共拿回了9-2=7(本)书,所以共有7÷
1=7(人),书有7×
10-9=61(本)。
(三)平均数问题
(1)平均数=总数÷
参与平均的事物个数
平均数增量=总数增量÷
平均数减量=总数减量÷
(2)平均数问题最基本的原理是“移多补少”
几个数的平均数一定比其中最大的一个小且比其中最小的一个大
三、经典透析
【例1】从前有座山,山里有个庙,庙里有许多小和尚,两个小和尚用一根扁担一个桶抬水,一个小和尚用一根扁担两个桶挑水,共用了38根扁担和58个桶,那么有多少个小和尚抬水?
多少个挑水?
[审题要点]鸡兔同笼问题,假设法
[详解过程]假设全是抬水,38根扁担应担38个桶,而实际上是58个桶,为什么少了58-38=20(个)桶呢?
因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算2-1=1(个)桶,所以有20÷
1=20(人)在挑水,抬水的扁担数是38-20=18(根),抬水的人数是18×
2=36人。
专家点评:
可以结合分析工具矩形图,来看鸡兔同笼问题:
左图假设全是抬水:
(58-38×
1)÷
(2-1)=20(根)……20(人)挑水
(38-20)×
2=36(人)……36(人)抬水
右图假设全是挑水:
(38×
2-58)÷
(2-1)=18(根)……18×
2=36(人)抬水
38-18=20(根)……20(人)挑水
【例2】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖,儿童票的价格为30元,成人票的价格为40元,如果是团体还可以买平均32元一位的团体票,一个由8个家庭组成的旅游团(每个家庭由两位大人,或两个大人、一个小孩组成)来景点旅游,如果他们买团体票可以比他们各买各的少花120元,问这个旅游团一共有多少人?
[审题要点]鸡兔同笼问题的变形题
[详解过程]每个三口之家可以少花30+40+40-32×
3=14元,每个二口之家可以少花40+40-64=16元,如果这8个家庭都是三口之家,那么一共少花14×
8=112元,所以这8个家庭中有(120-112)÷
(16-14)=4个家庭是二口之家,所以这个旅游团一共有4×
2+(8-4)×
3=20人。
这道题,首先要考虑的是,怎么理解“少花120元”?
跟单位少花情况有关,这里的单位:
可以不同家庭为单位,也可以成人与小孩为单位。
一方面,我们可以对两种家庭的“少花”情况进行计算并比较,可以如题所解;
另一方面,我们不妨以成人与孩子的“少花”情况进行计算并比较,可以另解如下:
8个家庭,成人必有16人,则每个成人将“少花”40-32=8元。
所以应该总共少花16×
8=128(元)
而实际少花相差128-120=8(元)
是因为每个小孩多花了32-30=2(元)
所以,8÷
2=4(人)……小孩人数
16+4=20(人)……旅游团一共人数
还有一点值得强调的是,我们在使用假设法的过程中,所采用的比较思想非常重要,在一种证明方法——反证法中,假设法会又一次充当主角。
【例3】蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀。
现有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种小虫16只,共有110条腿和14对翅膀,每种小虫各有几只?
[审题要点]经典鸡兔同笼问题,用两次假设法
[详解过程]因为有三种动物,没有办法直接用鸡兔同笼解,所以我们想转化为两种动物就可以直接用了。
我们先来看腿,发现蜻蜓和蝉有个共同点——都是6条腿,那我们就把蜻蜓和蝉合并在一起,分为两种动物:
一种是6条腿,一种是8条腿。
假设全是6条腿的,共有腿6×
16=96(条),而实际上是110条,为什么少了110-96=14(条)腿呢?
因为当我们把8条腿的蜘蛛当作6条腿算的,有一只蜘蛛就少算2条腿,所以有蜘蛛14÷
2=7(只),所以蜻蜓和蝉有16-7=9(只);
我们再来看翅膀:
假设这9只全是蜻蜓,则应该有9×
2=18(对)翅膀,比实际多了18-14=4(对),所以有蝉4÷
1=4(只),则蜻蜓9-4=5(只)。
如果我们感觉这样的算术解法有点烦,不妨看看美丽的方程:
设:
蜘蛛有只,蜻蜓有y只,蝉有z只,得:
(1)×
6:
(2)-(4):
2=14
=7
代入
(1)式:
y+z=9…(5)
(3)-(5):
y=5。
代入(5)式:
z=4。
很多时候,我们发现清晰的等量关系,一定要用,从而可以减少“算理”的思考量,把这种思考量转嫁给方程演算。
对于方程演算,不需要掌握太多的技巧,就能轻松把握。
请参见本书第十九讲《方程》。
【例4】老师给同学们分苹果,每人分10个,就多出8个,每人分11个则正好分完,那么一共有多少名学生?
多少个苹果?
[审题要点]盈亏问题
[详解过程]为什么第一次多8个,第二次不多也不少了呢?
因为第二次每人多分了1个,所以有8÷
1=8(人),苹果8×
10+8=88(个)。
请注意体会差量分析的应用。
这是两种方案之间的差异,而假设法是实际与假设之间的差异,两者有着异曲同工之妙。
【例5】皮皮从家到学校,如果每分钟走50米,上课就要迟到3分钟;
如果每分钟60米,就可以比上课时间提前2分钟到校,那么皮皮家距离学校多远?
[审题要点]需要转化条件的盈亏问题
[详解过程]根据题意,每分钟走50米,迟到3分钟,实际上就是还差50×
3=150(米)到校;
如果每分钟60米,提前2分钟到校,即到校后还可以多走60×
2=120(米),第一次与第二次相差150+120=270(米),也就是第二次比第一次多走了270米,所以皮皮从家到学校所用时间是270÷
(60-50)=27(分钟),皮皮家到学校的距离是50×
(27+3)=50×
30=1500(米)。
两种方案,除了速度差,更要感受到路程差,从而看到,这里的数量关系,竟然就是追及关系。
从中体会一下“柳暗花明又一村”的数学美感吧。
数学是好玩的!
【例6】国庆节快到了,学而思学校的少先队员去摆花盆。
如果每人摆5盆花,还有3盆没人摆;
如果其中2人各摆4盆,其余的人各摆6盆,这些花盆正好摆完。
问有多少少先队员参加摆花盆活动,一共摆多少花盆?
[详解过程]我们可以把第二个条件转化为如果每人摆6盆花,还缺4盆,那么就是简单的“一盈一亏”。
人数:
[3+(6-4)×
2]÷
(6-5)=7(人),盆数:
5×
7+3=38(盆)或6×
7-4=38(盆)。
转化思想似乎有点玄,为什么我一定会想到:
“把第二个条件转化为如果每人摆6盆花,还缺4盆”?
答案在于,我们应该在大方向上有感觉,这道题“每人摆5盆,还有3盆没人摆;
每人摆6盆,还……”,“还”字后面的下文怎么接?
接上了,转化成功!
记住:
转化的关键在于我需要什么样的条件!
现有条件能否转化为我要的条件?
【例7】有四个数,每次去掉一个数,将其余三个数求平均数,这样算了四次,得下面四个数:
36.4,47.8,46.2,41.6,那么原来四个数的平均数是多少?
[审题要点]平均数问题
[详解过程]设这四个数分别为A、B、C、D,根据条件则有:
所以
[专家点评]实际上,本题的情境可以换成“小明语文、数学、英语等几门功课的平均分”,也可以换成“某四个小朋友称体重,每三个人称一次”,数量关系不变。
这里要注意所求问题,不一定最后求平均数,也可能求这四个数各是多少。
只要用四数总和与三数之和求差就行。
【例8】某次数学竞赛原定一等奖10人,二等奖20人,现在将一等奖中最后4人调整为二等奖,这样得二等奖的学生的平均分提高了1分,得一等奖的学生的平均分提高了3分,那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多________分。
[审题要点]平均数增量
[详解过程]第一眼看这样的图,可能有点不够清楚。
别急,我们来慢慢欣
赏!
首先从总体来看,矩形横向长度表示人数,竖向长度表示平均分,面积
表示总分。
请注意一下:
d与e分别表示调整前的一等奖与二等奖的平均分;
而a表示一等奖后4名同学的平均分。
b与c表示调整后一等奖与二等奖的平
均分。
我们要求的量是de之间的平均分之差!
我们要想一想,为什么这么一调整,一等奖的平均分高上去了,同时二等奖的平均分也高上去了呢?
原因在于:
前6名的cd之间的面积移补到一等奖后4名da之间的面积部分了。
根据面积相等,长与宽成反比关系,可知:
cd之间的高度差︰da之间的高度差=4︰6=2︰3即3︰da之间的平均分之差=2︰3。
所以da之间的平均分之差=4.5(分
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