人教版高中数学必修432《三角恒等变换》章末复习课Word文件下载.docx
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例2.已知函数.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
【知识点】三角恒等变换,三角函数的周期、最值.
【解题过程】
(1)∵=4cosx-1=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x=2sin.∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵-≤x≤,∴-≤2x+≤,故:
当2x+=时,即x=,f(x)取得最大值2;
当2x+=-时,即x=-,f(x)取得最小值-1.
【思路点拨】
(1)将f(x)变形成三角函数的标准型进而求最小正周期为;
(2)三角函数求最值.
【答案】
(1)f(x)的最小正周期为π;
(2)f(x)的最大值为2,最小值为-1.
例3.求函数y=sinx+sin2x-cosx(x∈R)的值域.
【知识点】三角恒等变换,二次函数和三角函数的值域.
【数学思想】换元的思想.
【解题过程】令sinx-cosx=t,则由t=sin知t∈[-,],
又sin2x=1-(sinx-cosx)2=1-t2.∴y=(sinx-cosx)+sin2x=t+1-t2=+.
当t=时,ymax=;
当t=-时,ymin=--1.
∴函数的值域为:
.
【思路点拨】将sinx-cosx看作整体进行换元,将函数用sinx-cosx表示,进而换元求值域.
【答案】函数的值域为:
3.章末检测题
第I卷(选择题,共60分)
一.选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.cos215°
-sin215°
的值是()
A.B.-C.D.-
【知识点】二倍角的余弦值.
【解题过程】cos215°
=cos30°
=.
【思路点拨】熟悉二倍角的余弦公式及其逆用.
【答案】C.
2.已知则()
A.B.C.D.
【知识点】两角和的正切公式.
【解题过程】由已知得.
【思路点拨】明确两角和的正切公式.
【答案】B.
3.若sin2α=,<
α<
,则cosα-sinα的值是()
【知识点】
(cosα-sinα)2=1-sin2α
(cosα-sinα)2=1-sin2α=1-=.又∵<
,∴cosα<
sinα,
故cosα-sinα=-=-.
【思路点拨】观察所求式子和已知式子并找到两者的关系,建立方程求解,同时要考虑结果的符号.
4.函数的最小正周期是()
A.B.C.πD.2π
【知识点】三角恒等变换,三角函数的周期.
【数学思想】计算能力
【解题过程】∵,
又∵,∴函数的最小正周期是.
【思路点拨】先利用三角恒等变换化简函数,再求周期.
5.tan19°
+tan41°
+tan19°
tan41°
的值为()
A.1B.C.-D.
【知识点】两角和的正切值得应用.
【解题过程】∵tan19°
+tan41°
=tan60°
(1-tan19°
tan41°
)=-tan19°
,
∴原式=-tan19°
+tan19°
【思路点拨】掌握两角和差正切公式的变形应用.
【答案】D.
6.已知tanθ=,则cos2θ+sin2θ等于()
A.-B.-C.D.
【知识点】利用三角恒等变换化简求值.
【解题过程】原式===.
【思路点拨】cos2θ+sin2θ==再带值.
7.在△ABC中,已知sinAcosA=sinBcosB,则△ABC是()
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
【知识点】二倍角正弦的应用.
【解题过程】∵sin2A=sin2B,∴∠A=∠B,或∠A+∠B=.
【思路点拨】利用二倍角的余弦值化简方程,再确定角的关系进而得到三角形的特征.
8.要得到函数的图像,只需要将函数的图像()
A.向右平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向左平移个单位
【知识点】三角恒等变换,三角函数图像的平移.
∴将函数的图像向左平移个单位可以得到函数的图像.
【思路点拨】利用三角恒等变换将函数变形成的形式,再利用函数图像平移解题.
9.的值为()
A.B.C.2D.4
【知识点】三角恒等变换.
【解题过程】原式=.
【思路点拨】观察式子形式并利用三角恒等变换合理变形,进而化简求值.
10.若,则等于()
A.B.C.D.
【知识点】二倍角公式,互余角的正弦和余弦的关系.
【思路点拨】先找两角的关系,再利用三角恒等变换化简求值.
【答案】A.
11.已知θ为第二象限角,sin(π-θ)=,则cos的值为()
A.B.C.±
D.±
【知识点】半角公式.
【解题过程】由sin(π-θ)=,得sinθ=.∵θ为第二象限的角,∴cosθ=-.
∴cos=±
=±
【思路点拨】先利用诱导公式化简sin(π-θ),再根据半角公式求值.
12.若α,β为锐角,cos(α+β)=,cos(2α+β)=,则cosα的值为()
A.B.C.或D.以上都不对
【知识点】两角差的余弦值,三角函数给值求值.
【数学思想】整体构造的思想.
【解题过程】∵0<
α+β<
π,cos(α+β)=>
0,∴0<
,sin(α+β)=.∵0<
2α+β<
π,cos(2α+β)=>
,sin(2α+β)=.∴cosα=cos[(2α+β)-(α+β)]=cos(2α+β)cos(α+β)+sin(2α+β)sin(α+β)=×
+×
【思路点拨】观察角的关系,用已知两角构造所求角,再利用两角差的余弦值表示并求解,注意要准确判断角的范围进而确定结果的符号.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中横线上)
13.已知cosθ=,θ∈(0,π),则cos(+2θ)的值为___________.
【知识点】诱导公式,二倍角公式.
【解题过程】∵sinθ==,∴cos(+2θ)=-sin2θ=-2sinθ·
cosθ=-.
【思路点拨】先利用诱导公式化简,再用二倍角公式变形求值.
【答案】-.
14.=___________.
【知识点】两角和的正余弦,特殊角的三角函数值.
【解题过程】∵sin(α+30°
)+cos(α+60°
)=sinαcos30°
+cosαsin30°
+cosαcos60°
-sinαsin60°
=cosα,∴原式==.
【思路点拨】利用两角和的正弦和余弦将分子进行运算化简,进而达到整体化简求值的目的.
【答案】.
15.若=2012,则+tan2α=___________.
【数学思想】三角恒等变换,给值求值.
【解题过程】+tan2α======2012.
【思路点拨】将所求式子通分,再利用二倍角公式变形,将所求式子构造成用已知式子表示的形式,从而达到求值的目的.
【答案】2012.
16.函数y=cos2xcos-2sinxcosxsin的递增区间是__________________.
【知识点】三角恒等变换,三角函数的单调性.
【数学思想】化归的思想.
【解题过程】y=cos2xcos-2sinxcosxsin=cos2xcos+sin2xsin=cos(2x-),由-π+2kπ≤2x-≤2kπ,得x∈[-+kπ,+kπ](k∈Z)即为单调递增区间.
【思路点拨】先利用三角恒等变换将函数变形成的形式,再确定三角函数的单调递增区间.
【答案】[-+kπ,+kπ](k∈Z).
三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知tanα=2,tanβ=-,其中0<
,<
π.求:
(1)tan(α-β);
(2)α+β的值.
【知识点】两角和与差的正切值
(1)∵tanα=2,tanβ=-,∴tan(α-β)===7.
(2)∵tan(α+β)===1,且0<
.∴α+β=.
(1)利用两角差的正切值求tan(α-β);
(2)利用两角和的正切值求tan(α+β),注意要确定α+β的范围,进而确定α+β的值.
(1)7;
(2).
18.(12分)已知α、β为锐角,cosα=,tan(α-β)=-,求cosβ的值.
【知识点】两角差的余弦值.
【解题过程】∵α是锐角,cosα=,∴sinα=,tanα=.∴tanβ=tan[α-(α-β)]==.∵β是锐角,故cosβ=.
【思路点拨】观察已知角和所求角的关系,用已知角构造所求角,并将所求的式子变形,注意相关角的三角函数值需要根据角的范围定符号.
【答案】cosβ=.
19.(12分)已知锐角α,β满足tan(α-β)=sin2β,求证:
2tan2β=tanα+tanβ.
【知识点】两角差的正切公式,二倍角的正弦和正切公式.
【解题过程】证明:
∵tan(α-β)=sin2β,tan(α-β)=,sin2β=2sinβcosβ==,∴=,整理得:
tanα=.∴tanα+tanβ===2tan2β.
【思路点拨】将式子中可化简的两角差的正切、二倍角的正弦和正切利用公式变形,再将等式进行等价变形,从而达到证明的目的.
【答案】见解题过程.
20.(12分)已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递减区间;
(2)当时,求的最大值,并求此时对应的的值.
【知识点】三角恒等变形,三角函数的周期、单调性和最值.
(1)∵
,∴周期,
因为,所以,
当],即时函数单调递减;
∴的单调递减区间为:
(2)∵当,.
∴当时,取最大值1.
(1)化简函数解析式可得,由正弦函数的图象和性质可求函数的最小正周期及单调递减区间;
(2)先求的范围,可得的取值范围,即可求的最大值,并求出此时对应的的值.
(1),递减区间为;
(2)当时,函数的最大值为1.
21.(12分)已知函数f(x)=2asincos+sin2-cos2(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的最小正周期及图象的对称轴;
(2)当a=2时,在f(x)=0的条件下,求的值.
【知识点】三角恒等变形,二倍角公式,三角函数的周期、对称轴,给值求值.
【解题过程】f(x)=asinx-cosx.
(1)当a=1时,f(x)=
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