高中数学人教a版选修44学案第二讲 二 1 椭圆的参数方程 含答案Word下载.docx

高中数学人教a版选修44学案第二讲 二 1 椭圆的参数方程 含答案Word下载.docx

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z＝5cosφ－8sinφ＝cos（φ＋φ0）

＝cos（φ＋φ0）（tanφ0＝）．

所以目标函数zmin＝－，zmax＝.

利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大（小）值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．

1．已知椭圆＋＝1，点A的坐标为（3,0）．在椭圆上找一点P，使点P与点A的距离最大．

解：

椭圆的参数方程为（θ为参数）．

设P（5cosθ，4sinθ），则

|PA|＝＝

＝＝|3cosθ－5|≤8，

当cosθ＝－1时，|PA|最大．

此时，sinθ＝0，点P的坐标为（－5,0）.

椭圆参数方程的应用：

求轨迹方程

[例2]　已知A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．

[思路点拨]　由条件可知，A，B两点坐标已知，点C在椭圆上，故可设出点P坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解．

[解]　由题意知A（6,0）、B（0,3）．由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为（6cosθ，3sinθ），点G的坐标设为（x，y），由三角形重心的坐标公式可得

即

消去参数θ得到＋（y－1）2＝1.

本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．

2．已知椭圆方程是＋＝1，点A（6,6），P是椭圆上一动点，求线段PA中点Q的轨迹方程．

设P（4cosθ，3sinθ），Q（x，y），则有

即（θ为参数）

∴9（x－3）2＋16（y－3）2＝36，即为所求．

3．设F1、F2分别为椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．

（1）若椭圆C上的点A（1，）到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）设点P是

（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．

（1）由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，

得2a＝4，即a＝2.

又点A（1，）在椭圆上，

因此＋＝1，得b2＝3，

于是c2＝a2－b2＝1，

所以椭圆C的方程为＋＝1，

焦点坐标为F1（－1,0），F2（1,0）．

（2）设椭圆C上的动点P的坐标为（2cosθ，sinθ），线段F1P的中点坐标为（x，y），则

x＝，y＝，

所以x＋＝cosθ，＝sinθ.

消去θ，得（x＋）2＋＝1.

即为线段F1P中点的轨迹方程.

证明定值

[例3]　已知椭圆＋y2＝1上任一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证：

|OP|·

|OQ|为定值．

[思路点拨]　利用参数方程，设出点M的坐标，并由此得到直线MB1，MB2的方程，从而得到P、Q两点坐标，求出|OP|，|OQ|，再求|OP|·

|OQ|的值．

[证明]　设M（2cosφ，sinφ），φ为参数，B1（0，－1），B2（0,1）．

则MB1的方程：

y＋1＝·

x，

令y＝0，则x＝，即|OP|＝.

MB2的方程：

y－1＝x，

令y＝0，则x＝.

∴|OQ|＝.

∴|OP|·

|OQ|＝×

＝4.

即|OP|·

|OQ|＝4为定值．

利用参数方程证明定值（或恒成立）问题，首先是用参数把要证明的定值（或恒成立的式子）表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可．

4．曲线（a＞b＞0）上一点M与两焦点F1、F2所成角为∠F1MF2＝α.

求证：

△F1MF2的面积为b2tan.

证明：

∵M在椭圆上，

∴由椭圆的定义，得：

|MF1|＋|MF2|＝2a，两边平方，

得|MF1|2＋|MF2|2＋2|MF1|·

|MF2|＝4a2.

在△F1MF2中，由余弦定理，得|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cosα＝|F1F2|2＝4c2.

由两式，得|MF1||MF2|＝.

故S△F1MF2＝|MF1||MF2|sinα＝b2tan.

一、选择题

1．椭圆（θ为参数），若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点（－a,0）对应的θ＝（　　）

A．π　　　　　　　　　　B.

C．2πD.π

解析：

∵点（－a,0）中x＝－a，∴－a＝acosθ，∴cosθ＝－1，∴θ＝π.

答案：

A

2．把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为参数方程是（　　）

A.（φ为参数）B.（φ为参数）

C.（φ为参数）D.（φ为参数）

把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为＋＝1，则b＝2，a＝3，其参数方程为（φ为参数）．

B

3．已知椭圆的参数方程（t为参数），点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为（　　）

A.B．－

C．2D．－2

点M的坐标为（1,2），

∴kOM＝2.

C

4．两条曲线的参数方程分别是（θ为参数）和（t为参数），则其交点个数为（　　）

A．0B．1

C．0或1D．2

由

得x＋y－1＝0（－1≤x≤0，

1≤y≤2），

由得＋＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．

二、填空题

5．椭圆（θ为参数）的离心率为________

椭圆方程为＋＝1，可知a＝5，b＝4，

∴c＝＝3，∴e＝＝.

6．实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则2x＋y的最大值是________．

因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，

所以设x＝2cosα，y＝sinα，则

2x＋y＝4cosα＋3sinα＝5sin（α＋φ），

其中sinφ＝，cosφ＝.

当sin（α＋φ）＝1时，2x＋y有最大值为5.

5

7．（湖南高考）在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：

（t为参数）与曲线C2：

（θ为参数，a＞0）有一个公共点在x轴上，则a＝________.

曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2的普通方程为＋＝1，直线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为，故曲线＋＝1也经过这个点，代入解得a＝.

三、解答题

8．已知两曲线参数方程分别为（0≤θ<

π）和（t∈R），求它们的交点坐标．

将（0≤θ＜π）化为普通方程得：

＋y2＝1（0≤y≤1，x≠－），

将x＝t2，y＝t代入得：

t4＋t2－1＝0，

解得t2＝，

∴t＝（∵y＝t≥0），x＝t2＝·

＝1，

∴交点坐标为（1，）．

9．对于椭圆（θ为参数），如果把横坐标缩短为原来的倍，再把纵坐标缩短为原来的倍即得到圆心在原点，半径为1的圆的参数方程（θ为参数）．那么，若把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论圆的离心率，并进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的关系．

设圆的参数方程为（θ为参数），

如果将该圆看成椭圆，

那么在椭圆中对应的数值分别为a＝b＝r，

所以c＝＝0，则离心率e＝＝0.

即把圆看成椭圆，其离心率为0，而椭圆的离心率的范围是（0,1），可见椭圆的离心率越小即越接近于0，形状就越接近于圆，离心率越大，椭圆越扁．

10．椭圆＋＝1（a＞b＞0）与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使OP⊥AP（O为原点），求离心率e的取值范围．

设椭圆的参数方程是（θ为参数）（a＞b＞0），则椭圆上的点P（acosθ，bsinθ），A（a,0）．

∵OP⊥AP，∴·

＝－1，

即（a2－b2）cos2θ－a2cosθ＋b2＝0.

解得cosθ＝或cosθ＝1（舍去）．

∵a＞b，－1≤cosθ≤1，∴0＜≤1.

把b2＝a2－c2代入得0＜≤1.

即0＜－1≤1，解得≤e＜1.

故离心率e的取值范围为.