完整版余弦定理练习含答案Word下载.docx

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bccosA+cacosB+abcosC=bc•

c2+a2—b2a2+b2—c2111

ca-20c+ab•2ab=2（b2+c2—a2）+2（c2+a2—b2）+^（a2+

161

b2—c2）=2（a2+b2+c2）=亍

4.在△ABC中：

（1）a=1,b=1,ZC=120°

求c;

（2）a=3,b=4,c=37,求最大角；

（3）a:

b:

c=1:

3:

2,求/A、/B、/C.

【分析】

（1）直接利用余弦定理即可；

（2）在三角形中，大边对大角；

（3）可设三边为x，3x,2x.

（1）由余弦定理，得c2=a2+b2—2abcosC

1

=12+12—2X1x1x（—刁=3,「・c=3.

（2）显然/C最大，

a2+b2—c232+42—371

/cosC=—2ab—=2x3x4=—2.AzC=120°

（3）由于a:

2,可设a=x,b=V3x,c=2x（x>

0）.

b2+c2—a23x2+4/—x2百

由余弦定理，得cosA=—2bc—=2•3x2x=~2,

/./\=30°

同理cosB=2cosC=O.「./3=60,ZC=90.

【规律方法】

1.本题为余弦定理的最基本应用，应在此基础上熟练地掌握余弦

定理的结构特征.

2.对于第（3）小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求

出/A,进而求出其余两角，另外也可考虑用正弦定理求/B,但要注

意讨论解的情况.

课后作业

一、选择题（每小题5分，共40分）

ABC中，下列结论：

1a2>

b2+&

则厶ABC为钝角三角形;

2a2=b2+c2+be,则/A为60°

3a2+b2>

e2，则△ABC为锐角三角形;

4若/A:

ZB:

/C=1:

2:

3，贝卩a:

e=1:

3,其中正确的个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】A

•••么为钝角，正确;

b2+e2—a2

②eosA=—2be—

a2+b2—c2

③cosC=2ab>

0，

•••©

为锐角，但/A或/B不一定为锐角，错误;

④ZA=30°

ZB=60°

ZC=90°

a:

2,错误.故选A.

2.AABC的三内角A、B、C所对边长分别为a、b、c,设向量p

=（a+c,b）,

q=（b—a,c—a）.若p//q,则/C的大小为（）

人n

A~

6

n

c.2

【答案】

B

Tp=（a+c,b）,q=（b—a,c—a）且p〃q,

•.（a+c）（c—a）—b（b—a）=0

zC=3.

冗,△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,/A=3a

=7,b=1,则c等于（）

A.22B.3

C/3+1D.23

【解析】由余弦定理得，a2=b2+c2—2bccosA,

所以（7）=1+c2—2x1xexcog.

即c2—c—6=0,解得c=3或c=—2（舍）.故选B.

4.在不等边三角形ABC中，a为最大边，且a2vb2+c2,则/A的取值范围是（）

A.（扌，n）B.（n,n

C.（n，f）D.（0,n

【答案】C

【解析】因为a为最大边，所以/A为最大角，即/A>

ZB,/

A>

ZC,故2ZA>

/B+/C.又因为ZB+ZC=n-ZA,所以2ZA>

n—ZA,即ZAg因为a2<

b2+c2,所以cosA=葺b—2>

0,所以0<

从W综上,

n/an

3<

zA<

2

5.在△ABC中，已知a=4,b=6,ZC=120°

则sinA的值为（）

A语

D「I?

由余弦定理得c=a2+b2—2abcosC=42+62—

2X4X6（—2）=76,

4sin120。

姮-SinA=：

76=百.

6.AABC中，a、b、c分别为ZA、ZB、ZC的对边，且2b=a

+c,

ZB=30°

△ABC的面积为刁那么b等于（）

a4

c2^3

c.2

113

2acsinB=2acsin30=2，解得ac=6,

由余弦定理：

b2=a2+c2—2accosB

=（a+c）2—2ac—2accos30=4b2—12—63,

即b2=4+23，由b>

0解得b=1+3.

7.在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是

）

A.锐角三角形或钝角三角形

B.以a或b为斜边的直角三角形

C.以c为斜边的直角三角形

D.等边三角形

_b2+c2—a2

【解析】由余弦定理acosA+bcosB=ccosC可变为a

a2+c2—b2a2+b2—c2

+b•~2ac-=c：

~2ab~，

a2（b2+c2—a2）+b2（a2+c2—b2）=c2（a2+b2—c2）

a2b2+a2c2—a4+b2a2+b2c2—b4=Ea2+Eb2—c4

2a2b2—a4—b4+c4=0,

（c2—a2+b2）（c2+a2—b2）=0,

「•c2+b2=a2或a2+c2=b2,

•••以a或b为斜边的直角三角形.

8若厶ABC的周长等于20,面积是1^/3,/A=60°

则BC边的长是（）

A.5B.6

C.7D.8

【解析】依题意及面积公式S=2bcsinA,

得10a/3=qbcxsin60,即bc=40.

又周长为20,故a+b+c=20,b+c=20—a.

由余弦定理，得a2=b2+c2—2bccosA=b2+c2—2bccos60=b2+

c2—bc=（b+c）2—3bc,

故a2=（20—a）2—120,解得a=7.

二、填空题（每小题10分，共20分）

9.在△ABC中，三边长AB=7,BC=5,AC=6,则ABBC的值

为.

【答案】—19

19

【解析】由余弦定理可求得cosB=35,-ABbC=|AdB||BC|•cos（n

—B）=—|AB||BC|cosB=—19.

10.已知等腰三角形的底边长为a,腰长为2a,则腰上的中线长

【答案】申a

【解析】如图，AB=AC=2a,BC=a,BD为腰AC的中线，

EC1

过A作AE丄BC于E,在△KEC中，cosC=AC=4,在^BCD中，由余

弦定理得BD2=BC2+CD2—2BCCDcosC,即BD2=a2+a2—

三、解答题（每小题20分，共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

11.在△ABC中，已知b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判断三角形的形状.

【分析】解决本题，可分别利用正弦定理或余弦定理，把问题

转化成角或边的关系求解.

abc

【解析】方法一：

由正弦定理sinA=sinB=sinc=2R，R为^bc

外接圆的半径，将原式化为

8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC.

TsinBsinCz0,sinBsinC=cosBcosC,

即cos（B+C）=0,.••启+/C=90°

ZA=90°

故△ABC为直角三

角形.

方法二：

将已知等式变为b2（1—coWC）+c2（1—co^B）=

2bccosBcosC.

ccca2+b2—c2cca2+c2—b2o由余弦定理可得：

b2+c2—b2•20b—）2—c2（2ac—）2=

a2+b2—c2a2+c2—b2

2bc：

—2ab—•—2ac—.

即b2+c2

[a2+b2—c2+a2+c2—b2]2

4a2

也即b2+c2=a2，故△ABC为直角三角形.

【规律方法】在利用正弦定理实施边角转化时，等式两边a,b,

c及角的正弦值的次数必须相同，否则不能相互转化.

12.（2013全国新课标I,理）如图，在△ABC中，/ABC=90°

AB=3,BC=1,PABC内一点，/BPC=90°

（1）若PB=2,求PA；

（2）若/APB=150°

求tan/PBA.

【解析】

（1）由已知得，/PBC=60°

a/PBA=30°

117

在APBA中，由余弦定理得FA=3+4-2COS30=4,^FA

3sina

在APBA中，由正弦定理得sin150-.3,化简得，V3cosa

Sin30a

=4sina,

•••tana=；

43,Atan/PBAu^.