届高三文科数学一轮复习导学案教师用书 第7章+第5节+直线平面垂直的判定及其性质文档格式.docx
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从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角:
以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
4.平面与平面垂直
如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α
[知识拓展]
1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
2.一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.
3.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( )
(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )
(3)若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行.( )
(4)若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )
[答案]
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
2.(教材改编)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.( )
A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥m
C.若l∥β,则α∥βD.若α∥β,则l∥m
A [∵l⊥β,l⊂α,∴α⊥β(面面垂直的判定定理),故A正确.]
3.(2016·
浙江高考)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )
A.m∥lB.m∥n
C.n⊥lD.m⊥n
C [∵α∩β=l,∴l⊂β.
∵n⊥β,∴n⊥l.]
4.如图751,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.【导学号:
79170253】
图751
4 [∵PA⊥平面ABC,
∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,
则△PAB,△PAC为直角三角形.
由BC⊥AC,且AC∩PA=A,
∴BC⊥平面PAC,从而BC⊥PC.
因此△ABC,△PBC也是直角三角形.]
5.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则折叠后AC的长为________.
a [如图所示,取BD的中点O,连接A′O,CO,则∠A′OC是二面角A′BDC的平面角.
即∠A′OC=90°
,又A′O=CO=a,
∴A′C==a,即折叠后AC的长(A′C)为A.]
(对应学生用书第103页)
线面垂直的判定与性质
如图752所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°
,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:
图752
(1)CD⊥AE;
(2)PD⊥平面ABE.
[证明]
(1)在四棱锥PABCD中,∵PA⊥平面ABCD,
CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.
又∵AC⊥CD,且PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°
,可得AC=PA.
∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.
由
(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.
又PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD,且PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,
∴AB⊥PD.
又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.
[规律方法]
1.证明直线与平面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理.
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.
(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”.
(4)利用面面垂直的性质定理.
2.证明线线垂直的常用方法
(1)利用特殊图形中的垂直关系.
(2)利用等腰三角形底边中线的性质.
(3)利用勾股定理的逆定理.
(4)利用直线与平面垂直的性质.
[变式训练1] 如图753所示,在四棱锥PABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点,且DF=AB,PH为△PAD中AD边上的高.
图753
(1)证明:
PH⊥平面ABCD;
(2)证明:
EF⊥平面PAB.
[证明]
(1)因为AB⊥平面PAD,PH⊂平面PAD,所以PH⊥AB.
因为PH为△PAD中AD边上的高,所以PH⊥AD.
因为AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABCD,
所以PH⊥平面ABCD.
(2)如图所示,取PA的中点M,连接MD,ME.
因为E是PB的中点,所以ME綊AB.
又因为DF綊AB,
所以ME綊DF,
所以四边形MEFD是平行四边形,
所以EF∥MD.
因为PD=AD,所以MD⊥PA.
因为AB⊥平面PAD,所以MD⊥AB.
因为PA∩AB=A,所以MD⊥平面PAB,
所以EF⊥平面PAB.
面面垂直的判定与性质
(2017·
郑州调研)如图754,三棱台DEFABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
图754
(1)求证:
BD∥平面FGH;
(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:
平面BCD⊥平面EGH.
[证明]
(1)如图所示,连接DG,CD,设CD∩GF=M,
连接MH.1分
在三棱台DEFABC中,
AB=2DE,G为AC的中点,
可得DF∥GC,DF=GC,
所以四边形DFCG为平行四边形.3分
则M为CD的中点,
又H为BC的中点,
所以HM∥BD,
由于HM⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,
故BD∥平面FGH.5分
(2)连接HE,GE,CD,
因为G,H分别为AC,BC的中点,
所以GH∥AB.6分
由AB⊥BC,得GH⊥BC.
所以EF∥HC,EF=HC,
因此四边形EFCH是平行四边形,
所以CF∥HE.10分
由于CF⊥BC,所以HE⊥BC.
又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H.
所以BC⊥平面EGH.
又BC⊂平面BCD,
所以平面BCD⊥平面EGH.12分
[规律方法] 1.面面垂直的证明的两种思路:
(1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线;
(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.
2.垂直问题的转化关系:
线线垂直线面垂直面面判定性质垂直
[变式训练2] (2017·
全国卷Ⅰ)如图755,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°
。
平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°
,且四棱锥PABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.
图755
[解]
(1)证明:
由已知∠BAP=∠CDP=90°
,
得AB⊥AP,CD⊥PD.
由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.2分
又AB⊂平面PAB,
所以平面PAB⊥平面PAD.4分
(2)如图,在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E.
由
(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE,AB⊥AD,
可得PE⊥平面ABCD.6分
设AB=x,则由已知可得
AD=x,PE=x.
故四棱锥PABCD的体积
VPABCD=AB·
AD·
PE=x3.8分
由题设得x3=,故x=2.
从而结合已知可得PA=PD=AB=DC=2,AD=BC=2,PB=PC=2.10分
可得四棱锥PABCD的侧面积为
PA·
PD+PA·
AB+PD·
DC+BC2sin60°
=6+2.12分
平行与垂直的综合问题
角度1 多面体中平行与垂直关系的证明
(2018·
潍坊模拟)在如图756所示的空间几何体中,EC⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,CE∥BF,且CE=2BF,G,H,P分别为AF,DE,AE的中点.求证:
(1)GH∥平面BCEF;
(2)FP⊥平面ACE.【导学号:
79170254】
图756
[证明]
(1)取EC中点M,FB中点N,连接HM,GN.
则HM綊DC,GN綊AB,2分
∵AB∥CD,AB=CD,∴HM綊GN,
∴HMNG是平行四边形,
∴GH∥MN,4分
∵GH⊄平面BCEF,MN⊂平面BCEF,
∴GH∥平面BCEF;
6分
(2)连接BD,与AC交于O,连接OP,则OP綊FB,
∴PFBO是平行四边形,8分
∴PF∥BO,
∵BO⊥AC,BO⊥EC,AC∩EC=C,∴BO⊥平面ACE,10分
∴FP⊥平面ACE.12分
[规律方法] 1.三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
2.垂直与平行结合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
角度2 平行垂直中探索开放问题
秦皇岛调研)如图757
(1)所示,在Rt△ABC中,∠C=90°
,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图757
(2)所示.
【导学号:
79170255】
(1)
(2)
图757
A1F⊥BE;
(2)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?
并说明理由.
[证明]
(1)由已知,得AC⊥BC,且DE∥BC.
所以DE⊥AC,则DE⊥DC,DE⊥DA1,
因为DC∩DA1=D,
所以DE⊥平面A1DC.2分
由于A1F⊂平面A1DC,所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD,CD∩DE=D,
所以A1F⊥平面BCDE,
又BE⊂平
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