高考数学专项训练《26以平面几何为载体的应用题》有答案Word下载.docx
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(2)确定污水处理厂的位置,使三条排水管道总长度最短.
串讲2中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体,给人于美的享受,如图
(1)为一花窗;
图
(2)所示是一扇窗中的一格,呈长方形,长30cm,宽26cm,其内部窗芯(不含长方形边框)用一种条形木料做成,由两个菱形和六根支条构成,整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称,设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm,窗芯所需条形木料的长度之和为L.
(1)试用x,y表示L;
(2)如果要求六根支条的长度均不小于2cm,每个菱形的面积为130cm2,那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计榫卯及其它损耗)?
(2018·
江苏卷)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.
(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围;
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
苏州期末)如图,B,C分别是海岸线上的两个城市,两城市间由笔直的海滨公路相连,B,C之间的距离为100km,海岛A在城市B的正东方50km处.从海岛A到城市C,先乘船按北偏西θ角(α<θ≤,其中锐角α的正切值为)航行到海岸公路P处登陆,再换乘汽车到城市C.已知船速为25km/h,车速为75km/h.
(1)试建立由A经P到C所用时间与θ的函数解析式;
(2)试确定登陆点P的位置,使所用时间最少,并说明理由.
答案:
(1)f(θ)=+,θ∈;
(2)在BC上选择距离B为17.68km处为登陆点,所用时间最少.
解析:
(1)由题意,轮船航行的方位角为θ,所以∠BAP=90°
-θ,AB=50,
则AP==,BP=50tan(90°
-θ)==.
PC=100-BP=100-.由A到P所用的时间为t1==,4分
由P到C所用的时间为t2==-,6分
所以由A经P到C所用时间与θ的函数关系为
f(θ)=t1+t2=+-=+.8分
函数f(θ)的定义域为,其中锐角α的正切值为.
(2)由
(1),f(θ)=+,θ∈,f′(θ)=,
令f′(θ)=0,解得cosθ=,设θ0∈,使cosθ0=10分
θ
(α,θ0)
θ0
f′(θ)
-
+
f(θ)
减函数
极小值
增函数
12分
所以,当θ=θ0时函数f(θ)取得最小值,此时BP==≈17.68km,
答:
在BC上选择距离B为17.68km处为登陆点,所用时间最少.14分
(注:
结果保留根号,不扣分)
专题26
例题
(1)2;
(2)2.
解法1
(1)设∠PAB=θ,tanθ=t.由题意得BP=t,CP=1-t,0≤t≤1.∠DAQ=45°
-θ,DQ=tan(45°
-θ)=,CQ=1-=,
所以PQ=
=
=.
所以l=CP+CQ+PQ=1-t++=1-t+1+t=2,是定值.
(2)由题意,S=S正方形ABCD-S△ADQ-S△ABP=1-t-·
=2-.
因为1+t>0,所以S≤2-
2=2-,当且仅当(1+t)=,即t=-1时取等号.
探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为(2-)平方百米.
解法2设DQ=x,BP=y,∠DAQ=α,∠BAP=β,则tanα=x,tanβ=y,
因为∠PAQ=45°
,所以α+β=45°
,所以tan(α+β)===1,即1-xy=x+y.
(1)l=CP+CQ+PQ=1-x+1-y+
=2-(x+y)+
=2-(x+y)+=2(定值).
(2)因为1-xy=x+y,所以xy≤,所以x+y≤1-,解得x+y≥(2-1).由题意S=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ=1-x-y=1-(x+y)≤1-×
2(-1)=2-,
当且仅当x=y=-1时取等号.
解法3
(1)同解法1或解法2.
(2)由解法1,设∠PAB=θ,则∠QAD=-=-θ,所以S=1-
=1-=1-
=1-=1-=
1-,
当cos=1,即θ=时,Smax=1-=1-(+1)=1-(-1)=2-,
所以探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S取得最大值(2-)平方百米.
变式联想
变式1
AP=BP=-1.
由上例解法2,可知
S1=-xy=(x+y),S2=(1-x)(1-y),所以Ω==
=-2,
因为1-xy=x+y,所以xy≤,所以x+y≤1-,解得x+y≥2(-1),
所以Ω≤-2=-1,当且仅当x=y=-1时取得等号.
当AP=BP=(-1)m时,游客观赏景观的视角效果最好.
变式2
(1)l=,α∈;
(2)BE=AE=50米时,铺路总费用最低,最低总费用为40000(+1)元.
(1)由题意,在Rt△BOE中,OB=50,∠B=90°
,∠BOE=α,∴OE=,Rt△AOF中,OA=50,∠A=90°
,∠AFO=α,∴OF=.
又∠EOF=90°
,
∴EF==
,所以l=OE+OF+EF=++,即l=.
当点F在点D时,这时角α最小,求得此时α=;
当点E在C点时,这时角α最大,求得此时α=.
故此函数的定义域为
(2)由题意知,要求铺路总费用最低,只需要求△OEF的周长l的最小值即可.
由
(1)得,l=
α∈,设sinα+cosα=t,则sinα·
cosα=,
∴l===.
由α∈,得≤α+≤,得≤t≤,
∴≤t-1≤-1,
从而+1≤≤+1,当α=,即BE=50时,lmin=100(+1),
当BE=AE=50米时,铺路总费用最低,最低总费用为40000(+1)元.
说明:
涉及平面图形的数学应用问题,通常的处理方法是仔细审题,明确解题方向,结合所给平面图形的结构特征以及相关性质,适当选取参数(如角、线段的长度等),建立数学模型,运用所学的数学知识予以解决,如例题和变式题,就运用了基本不等式、三角函数的最值以及利用函数的性质求最值等数学知识和方法.
串讲激活
串讲1
(1)y=,θ∈;
(2)当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边km处.
(1)由条件可知PQ垂直平分AB,∠BAO=θrad,则OA=OB=,又OP=10-10tanθ,所以y=OA+OB+OP=++10-10tanθ=,0<θ<.
(2)由
(1)得y=,所以y′=
=,
令y′=0,得sinθ=,又0<θ<,所以θ=,
当0<θ<时,y′<0,y是θ的减函数;
<θ<时,y′>0,y是θ的增函数.
当θ=时,ymin=10+10.
当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边km处.
串讲2
(1)l=82+4-2(x+y)cm;
(2)16+4cm.
(1)由题意,水平方向每根支条长为m==15-xcm,竖直方向每根支条长为n==13-cm,菱形的边长为=cm.
从而,所需木料的长度之和L=2(15-x)+4+8×
=82+
4-2(x+y)cm.
(2)由题意,有可得≤x≤13.又xy=13,即y=,所以L=82+4-2.
令t=x+,其导函数1-<0在≤x≤13上恒成立,故t=x+在上单调递增,所以可得t∈.则L=82+
2[2-]=82+
2[+-t]
=82+2.
因为函数y=和y=在
t∈上均为增函数,
所以L=82+
2
在t∈上为增函数,
故当t=33,即x=13,y=20时L有最小值16+4.
做这样一个窗芯至少需要16+4cm长的条形木料.
新题在线
(1)S矩形ABCD=800(4sinθcosθ+cosθ),S△CDP=1600(cosθ-
sinθcosθ),sinθ∈;
(2)当θ=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
(1)如图,由题意知,PH⊥MN,所以OH=10.过O作OE⊥BC于E,则OE∥MN,所以∠COE=θ,故OE=40cosθ,EC=40sinθ,
则矩形ABCD的面积为
2×
40cosθ(40sinθ+10)=
800(4sinθcosθ+cosθ),△CDP的面积为×
40cosθ(40-40sinθ)=1600(cosθ-sinθcosθ).
过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10.
令∠GOK=θ0,则sinθ0=,θ0∈.
当θ∈时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范围是.
矩形ABCD的面积为
800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为1600(cosθ-sinθcosθ)平方米,sinθ的取值范围是.
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>
0),则年总产值为4k×
800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×
1600(cosθ-sinθcosθ)=8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈.设f(θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈,则f′(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ
=-(2sin2θ+sinθ-1)
=-(2
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