第四讲导数与函数的零点讲义非常好有解析Word格式.docx

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分两步进行。

即令f（x）d，则h（x）f（d）c

第一步：

先判断f（d）c的零点个数情况

第二步：

再判断f（x）d的零点个数情况

【例2】已知函数f（x）x33x设h（x）f（f（x））c，其中c［2,2］，求函数yh（x）的零点个数

1•（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）已知函数

f（x）x33ax29a2x（a0）.若方程f（x）121nx6ax9a2a在［l,2］恰好有两

个相异的实根，求实数a的取值范围（注:

1n2疋0.69）:

【题型三】如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点

【解题技巧】

（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明。

即：

如果函数f（x）在区间a,b上是一条连续不断曲线，并且f（a）f（b）0,则函数

f（x）在区间a,b上至少有一个零点。

即存在一点x0a,b，使得f（x0）0,

这个X。

也就是方程f（x）0的根一.

（2）要求证一个函数“有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；

再

用“函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。

其依据为：

如果函数f（x）在区间a,b上是单调函数，并且f（a）f（b）0,则函数f（x）在区间

a,b上至多有一个零点。

392

【例3】设函数f（x）xx6xa.

2

（1）对于任意实数x,f（x）m恒成立，求m的最大值;

（2）若方程f（x）0有且仅有一个实根，求a的取值范围.

a

设函数f（x）lnx,g（x）,F（x）f（x）g（x）。

若方程f（x）x

在区间［1,e］上有唯一实数解，求实数m的取值范围；

解析：

方程f（x）mx在区间［1,e2］上有唯一实数解等价于

mx

Inx斗

方程m在区间［1,

x

e］上有唯一实数解。

记h（x）lnxx[1,

e2]，则h（x）1?

x,令h（x）0，得：

当x[1,e]时，h（x）

0,h（x）递增;

当x[e,e2]时，h（x）

1

0,h（x）递减。

所以h（x）maxh（e）。

e

易求得：

h

（1）0,h（e2）

为使方程m—在区间［1

］上有唯一实数解,

lnx

—的图象有唯一交点,

故m的取值范围是

【例4】已知函数

xexmx在（1,）上没有零点，求m的取值范围;

【题型四】如何运用导数来判断与求证含参函数的零点

【例5】

（2013•江苏卷）设函数f（x）lnxax,g（x）exax，其中a为实数.若g（x）

在（1,）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.

基础练习：

1.己知f（x）exalnxa，其中常数a0.

（1）当ae时，求函数f（x）的极值；

2.已知函数f（x）=2m（x-1）2-2x+3+lnx,m€R.当m>

0时，若曲线y=f（x）在

点P（1,1）处的切线I与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求实数m的值.

）.若直线l:

ykx1与曲线

3•已知函数f（x）x1x（aR,e为自然对数的底数e

yf（x）没有公共点，求k的最大值.

4.已知函数

（x）

=-x3+

3x

1-a

x^ax-a’xGR,其中a>

0.若函数

f（x）在区间（-2,0）内恰有两

个零点，求a的取值范围;

5.设a1，函数f（x）（1x2）exa.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）证明：

f（x）在，上仅有一个零点；

参考答案与解析

'

22

【例1】解析：

（1）f（x）3x3a3（xa）,

当a0时，对xR，有f'

（x）0,

当a0时，f（x）的单调增区间为（，）

当a0时，由f（x）0解得x、-a或x、a；

由f（x）0解得ax\a,

）；

f（x）的单调减区间为

当a0时，f（x）的单调增区间为（，.a）,^.a,

（、a,a）。

（2）因为f（x）在x1处取得极大值,

所以f'

（1）3

（1）23a0,a1.

所以f（x）x33x1,f'

（x）3x23,

由f（x）0解得捲1,x21。

由

（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x1处取得极大值f

（1）1,

193，

在x1处取得极小值f

（1）3。

因为直线ym与函数yf（x）的图象有三个不同的交点，又f（3）

f（3）171，

结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是（3,1）。

【例2】令f（x）x33xd，则：

h（x）f（f（x））cf（d）c

（1）先讨论关于d的方程f（d）=c即d3dc根的情况：

c2,2

Qf（d）3d233（d1）（d1）

单调递增。

f（d）在区间,1上单调递增，在区间1,1单调递减，在区间1,

f（d）极小值f

（1）2f（d）极大值f

（1）2

描绘出函数的草图，并据草图可得：

方程f（d）=c根的情况如下表所示：

C的取值范围

根的个数

根或根的范围

c2

2个根

d2或d1

2c2

3个根

d1、d2、d3

d1或d2

（2）下面考虑方程f（x）d即x33xd根的情况:

据上述表格及图形f（x）d和f（d）=c的根的情况如下表

c的范围

f（d）c

根d的范围

f（x）=d根的个数

2个根d1、d2

d11

5个根

d22

d1、d?

、d3

2d12

9个根

2d22

2d32

d12

综上所述：

当c=2时，函数yh（x）有5个零点；

当c<

2时，函数yh（x）有9个零点。

Iry

【例3】解：

⑴f（x）3x9x63（x1）（x2）,

2

因为x（,）,f（x）m,即3x9x（6m）0恒成立，

33

所以8112（6m）0,得m，即m的最大值为一

44

⑵因为当x1时，f'

（x）0;

当1x2时，f'

当x2时，f'

所以当x1时,f（x）取极大值f

（1）-a；

当x2时,f（x）取极小值f

（2）2a;

故当f

（2）0或f

（1）0时，方程f（x）0仅有一个实根•解得a2或

5

a.

【例4】方法一：

当n0，可得h（x）（exmx）exm,因为x1，所以ex-，

1时，h（x）exm0,函数h（x）在（1,e

调递增.

令mmlnm

综上所述，m

（ii）若a=0,则f（x）=—lnx,易得f（x）有1个零点.

4

（iii）若av0,则f（x）-a0在（0,）上恒成立，

f（x）lnxax在（0,）上是单调增函数，

当XT0时，f（x）t—8;

当xt+8时，f（x）t+8.

此时，f（x）有-个零点.

--

当a=丄或av0时，f（x）有-个零点；

当0vav丄时，f（x）有2个零点.

ee

练习-、【答案】

（1）f（x）有极小值0,没有极大值

【解析】函数f（x）的定义域为（0,）,

（1）当ae时，f（x）exelnxe,f（x）exe,

十xe

而f（x）e在（0,）上单调递增，又f

（1）0,

当0x1时，f（x）f

（1）0，则f（x）在（0,1）上单调递减；

当x1时，f（x）f

（1）0，则f（x）在（1,）上单调递增，所以f（x）有极小值

f

（1）0,没有极大值.

2、【解析】由f'

（x）=mx—m—2+；

，得f'

（1）=一1,

所以曲线y=f（x）在点P（1,1）处的切线I的方程为y=—x+2.

由题意得，关于x的方程f（x）=—x+2有且只有一个解，

即关于x的方程gm（x—1）—x+1+lnx=0有且只有一个解.

令g（x）=^m（x—1）2—x+1+Inx（x>

0）.

“，，、，、1mx2—（m+1）x+1（x—1）（mx—1）,、

则g（（x）=m（x—1）—1+-==（x>

xxx

11

1当0vmv1时，由g（（x）>

0得0vxv1或x>

，由g（（x）v0得1vxv

mm

合题意.

③当m>

1时，由g'

（x）>

0得0vxv或x>

1,由g'

（x）v0得vxv1,

所以函数g（乂）在（0,丄）为增函数，在（—,1）上为减函数，在（1,+^）上为增函mm

数.

又g

（1）=0，且当Xi0时，g（x）t—8，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点.

故m>

1不合