直线的倾斜角与斜率直线的方程Word格式文档下载.docx
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抛物线
了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.
圆锥曲线的
简单应用
了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
理解数形结合的思想,了解圆锥曲线的简单应用.
第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1.直线的倾斜角
(1)定义:
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°
.
(2)倾斜角的范围为[0,π).
2.直线的斜率
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tanα,倾斜角是90°
的直线没有斜率.
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k==.
3.直线方程
名
称
几何条件
方程
局限性
点
斜
式
过点(x0,y0),斜率为k
y-y0=k(x-x0)
不含垂直于x轴的直线
截
斜率为k,纵截距为b
y=kx+b
两
过两点(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)
=
不包括垂直于坐标轴的直线
续 表
距
在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a,b≠0)
+=1
不包括垂直于坐标轴和过原点的直线
一
般
Ax+By+C=0(A,B不全为0)
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( )
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( )
(3)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( )
(4)直线的斜率为tanα,则其倾斜角为α.( )
(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )
(6)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( )
答案:
(1)√
(2)×
(3)×
(4)×
(5)×
(6)√
(教材习题改编)经过两点A(m,3),B(1,2m)的直线的倾斜角为135°
,则m的值为( )
A.-2 B.2
C.4D.-4
解析:
选B.由题意得=tan135°
=-1,
即2m-3=m-1,所以m=2,故选B.
(教材习题改编)经过点P0(2,-3),倾斜角为45°
的直线方程为( )
A.x+y+1=0B.x+y-1=0
C.x-y+5=0D.x-y-5=0
选D.由点斜式得直线方程为y-(-3)=tan45°
·
(x-2)=x-2,即x-y-5=0,故选D.
(教材习题改编)倾斜角为120°
,在x轴上的截距为-1的直线方程是( )
A.x-y+1=0B.x-y-=0
C.x+y-=0D.x+y+=0
选D.因为倾斜角为120°
,所以斜率k=-.
又因为直线过点(-1,0),
所以直线方程为y=-(x+1),即x+y+=0.
如果AC<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
选C.由题意知直线的斜率k=-<0,直线在y轴上的截距b=->0,故选C.
(教材习题改编)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________.
当纵、横截距为0时,直线方程为3x-2y=0;
当截距不为0时,设直线方程为+=1,则+=1,解得a=5,所以直线方程为x+y-5=0.
3x-2y=0或x+y-5=0
直线的倾斜角与斜率[学生用书P144]
[典例引领]
(1)直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.∪
C.D.∪
(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为________.
【解析】
(1)设直线的倾斜角为θ,则有tanθ=-sinα.因为sinα∈[-1,1],所以-1≤tanθ≤1,又θ∈[0,π),所以0≤θ≤或≤θ<π,故选B.
(2)如图,因为kAP==1,
kBP==-,所以直线l的斜率k∈∪.
【答案】
(1)B
(2)∪
1.若将本例
(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围.
解:
因为P(-1,0),A(2,1),B(0,),所以kAP==,kBP==.
如图可知,直线l斜率的取值范围为.
2.若将本例
(2)中的B点坐标改为(2,-1),其他条件不变,求直线l倾斜角的范围.
如图,直线PA的倾斜角为45°
,直线PB的倾斜角为135°
,由图象知l的倾斜角的范围为[0°
,45°
]∪[135°
,180°
).
(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤
①求出斜率k=tanα的取值范围.
②利用三角函数的单调性,借助图象,确定倾斜角α的取值范围.
(2)斜率的求法
①定义法:
若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tanα求斜率.
②公式法:
若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率.
[注意] 直线倾斜角的范围是,而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分,与三种情况讨论.由正切函数图象可以看出,当倾斜角α∈时,斜率k∈;
当α=时,斜率不存在;
当α∈时,斜率k∈.
[通关练习]
1.直线2xcosα-y-3=0的倾斜角的变化范围是( )
A. B.
C.D.
选B.直线2xcosα-y-3=0的斜率k=2cosα.由于α∈,所以≤cosα≤,因此k=2cosα∈[1,].设直线的倾斜角为θ,则有tanθ∈[1,].由于θ∈[0,π),所以θ∈,即倾斜角的变化范围是.
2.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为________.
因为kAC==1,kAB==a-3.
由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.
4
求直线的方程[学生用书P145]
根据所给条件求直线的方程:
(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;
(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;
(3)直线过点(5,10),且与原点的距离为5.
【解】
(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.
设倾斜角为α,则sinα=(0≤α<π),
从而cosα=±
,则k=tanα=±
.
故所求直线方程为y=±
(x+4),
即x+3y+4=0或x-3y+4=0.
(2)由题设知纵横截距不为0,设直线方程为+=1,
又直线过点(-3,4),
从而+=1,解得a=-4或a=9.
故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.
(3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0满足题意;
当斜率存在时,设其为k,则所求直线方程为y-10=k(x-5),即kx-y+10-5k=0.
由点线距离公式,得=5,解得k=.
故所求直线方程为3x-4y+25=0.
综上知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.
求直线方程的2个注意点
(1)在求直线方程时,应先选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;
若采用截距式,应判断截距是否为零).
求适合下列条件的直线方程:
(1)经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍;
(2)经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
(1)当直线不过原点时,设所求直线方程为+=1,将(-5,2)代入所设方程,解得a=-,
所以直线方程为x+2y+1=0;
当直线过原点时,设直线方程为y=kx,
则-5k=2,解得k=-,
所以直线方程为y=-x,即2x+5y=0.
故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.
(2)由题意可知,所求直线的斜率为±
1.
又过点(3,4),由点斜式得y-4=±
(x-3).
所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-7=0.
直线方程的综合应用[学生用书P145]
过点P(4,1)作直线l分别交x,y轴正半轴于A,B两点.
(1)当△AOB面积最小时,求直线l的方程;
(2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.
【解】 设直线l:
+=1(a>
0,b>
0),
因为直线l经过点P(4,1),
所以+=1.
(1)+=1≥2=,
所以ab≥16,当且仅当a=8,b=2时等号成立,
所以当a=8,b=2时,△AOB的面积最小,此时直线l的方程为+=1,即x+4y-8=0.
(2)因为+=1,a>
0,
所以|OA|+|OB|=a+b
=(a+b)·
=5++≥9,
当且仅当a=6,b=3时等号成立,所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为x+2y-6=0.
直线方程的应用问题常见的类型及解法
(1)与函数相结合命题:
解决这类问题,一般是利用直线方程中x、y的关系,将问题转化成关于x的某函数,借助函数性质来解决.
(2)与方程、不等式相结合命题:
一般是利用方程、不等式等知识来解决.
已知直线l1:
ax-2y=2a-4,l2:
2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,求实数a的值.
由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1在y轴上的截距为2-a,直线l2在x轴上的截距为a2+2,所以四边形的面积S=×
2×
(2-a)+×
(a2+2)=a2-a+4=+,当a=时,面积最小.
直线的倾斜角和斜率的关系
(1)任何直线都存在倾斜角,但并不是任意直线都存在斜率.
(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:
α
0°
<α<90°
90°
<α<180°
k
k>0
不存在
k<0
直线方程形式的选择
在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件,用斜
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