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(3)sin218°
+cos212°
-sin18°
cos12°
(4)sin2(-18°
)+cos248°
-sin(-18°
)cos48°
(5)sin2(-25°
)+cos255°
-sin(-25°
)cos55°
.
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据
(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
20.解:
解法一:
(1)选择
(2)式,计算如下:
sin215°
=1-sin30°
=1-=.
(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°
-α)-sinαcos(30°
-a)=.
证明如下:
sin2α+cos2(30°
-α)
=sin2α+(cos30°
cosα+sin30°
sinα)2-sinα(cos30°
sinα)
=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α
=sin2α+cos2α=.
解法二:
(1)同解法一.
-α)=.
=+-sinα(cos30°
=-cos2α++(cos60°
cos2α+sin60°
sin2α)-sinαcosα-sin2α
=-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-(1-cos2α)
=1-cos2α-+cos2α=.
C2同角三角函数的基本关系式与诱导公式
4.C2[2012·
全国卷]已知α为第二象限角,sinα=,则sin2α=( )
A.-B.-
C.D.
4.A [解析]由α为第二象限角及sinα=得cosα=-,所以sin2α=2sinαcosα=2×
×
=-,故选A.
6.C2、C6[2012·
辽宁卷]已知sinα-cosα=,α∈(0,π),则sin2α=( )
A.-1B.-
C.D.1
6.A [解析]本小题主要考查同角基本关系与倍角公式的应用.解题的突破口为灵活应用同角基本关系和倍角公式.
∵sinα-cosα=⇒(sinα-cosα)2=2⇒1-2sinαcosα=2⇒sin2α=-1.
故而答案选A.
19.C2、C3、C4[2012·
重庆卷]设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>
0,ω>
0,-π<
φ≤π)在x=处取得最大值2,其图象与x轴的相邻两个交点的距离为.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=的值域.
19.解:
(1)由题设条件知f(x)的周期T=π,即=π,解得ω=2.
因f(x)在x=处取得最大值2,所以A=2.从而sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z.又由-π<
φ≤π得φ=.
故f(x)的解析式为f(x)=2sin.
(2)g(x)=
=
=cos2x+1.
因cos2x∈[0,1],且cos2x≠,故g(x)的值域为∪.
C3三角函数的图象与性质
8.C3[2012·
福建卷]函数f(x)=sin的图象的一条对称轴是( )
A.x=B.x=
C.x=-D.x=-
8.C [解析]解题关键是明确三角函数图象的对称轴经过最高点或最低点,可以把四个选项代入验证,只有当x=-时,函数f=sin=-1取得最值,所以选择C.
17.C3、C4[2012·
陕西卷]函数f(x)=Asin+1(A>
0)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设α∈,f=2,求α的值.
17.解:
(1)∵函数f(x)的最大值为3,∴A+1=3,即A=2,
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为,∴最小正周期T=π,
∴ω=2,故函数f(x)的解析式为y=2sin+1.
(2)∵f=2sin+1=2,
即sin=,
∵0<
α<
,∴-<
α-<
,
∴α-=,故α=.
18.C3、C4[2012·
湖南卷]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图1-6所示.
(2)求函数g(x)=f-f的单调递增区间.
图1-6
18.解:
(1)由题设图象知,周期T=2=π,所以ω==2.
因为点在函数图象上,
所以Asin=0,即sin=0.
又因为0<φ<,所以<+φ<.从而+φ=π,即φ=.
又点(0,1)在函数图象上,所以Asin=1,得A=2.
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.
2sin-2sin
=2sin2x-2sin
=2sin2x-2
=sin2x-cos2x
=2sin.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以函数g(x)的单调递增区间是,k∈Z.
图1-7
9.B14、C3[2012·
湖南卷]设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,f′(x)是f(x)的导函数.当x∈[0,π]时,0<f(x)<1;
当x∈(0,π)且x≠时,x-f′(x)>0.则函数y=f(x)-sinx在[-2π,2π]上的零点个数为( )
A.2B.4C.5D.8
9.B [解析]本题考查函数的性质和函数的零点,以及数形结合思想,意在考查考生函数性质与图像综合运用的能力;
具体的解题思路和过程:
利用函数的奇偶性、周期性和单调性,作出函数简图,把f(x)-sinx=0构造两个函数,利用数形结合思想,得出函数的零点数.
由当x∈(0,π)且x≠时,f′(x)>0,可知函数f(x)在上是单调递减的,在上是单调递增的,又由函数为偶函数,周期为2π,可画出其一个简图,令f(x)-sinx=0,即f(x)=sinx,构造两个函数y=f(x)和y=sinx,由图可知,函数有4个零点.
[易错点]本题易错一:
对函数的性质掌握不到位,无法作出函数图象的简图;
易错二:
函数的零点个数的确定有三种方法,此题只能用函数的交点方法求解;
易错三:
许多考生不习惯作图,无法正确运用数形结合思想解答.
3.C3、N2[2012·
上海卷]函数f(x)=的最小正周期是________.
3.π [解析]考查二阶矩阵和三角函数的值域,以矩阵为载体,实为考查三角函数的性质,易错点是三角函数的化简.
f(x)=sinxcosx+2=sin2x+2,由三角函数周期公式得,T==π.
C4 函数的图象与性质
6.C4[2012·
浙江卷]把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( )
图1-2
6.A [解析]本题考查了余弦函数的性质与函数图象的变换,考查了学生对余弦函数图象、性质的掌握,会利用“五点法”确定函数的大致形状、位置.函数y=cos2x+1图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到函数y=cosx+1的图象;
再将函数向左平移一个单位长度,得到函数y=cos(x+1)+1的图象;
最后把函数向下平移1个单位长度即得到函数y=cos(x+1)的图象,可以看成是函数y=cosx向左平移一个单位得到y=cos(x+1)的图象,可用特殊点验证函数的大致位置.
7.C4[2012·
天津卷]将函数f(x)=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是( )
A.B.1
C.D.2
7.D [解析]法一:
将函数f(x)=sinωx的图象向右平移个单位,得到g(x)=sin的图象,又∵其图象过点,∴g=sin=sinω=0,
∴ω最小值取2.
法二:
函数f(x)=sinωx的图象向右平移个单位后过点,∴函数f(x)=sinωx的图象过点,即f=sinω=0,∴ω最小值取2.
8.C4[2012·
山东卷]函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A.2-B.0
C.-1D.-1-
8.A [解析]本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,考查运算求解能力,中档题.
∵0≤x≤9,∴-≤x-≤π,当x-=-π时,y=2sin有最小值2×
=-,当x-=π时,y=2sin有最大值2.
9.C4[2012·
课标全国卷]已知ω>
0,0<
φ<
π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则φ=( )
A.B.
9.A [解析]由题意,函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为T=2=2π,又ω>
0,所以ω==1.故f(x)=sin.故①或②
由①得φ=2kπ+;
由②得φ=2kπ-.
又已知0<
π,所以由①得φ=;
②无解.
综上,φ=.故选A.
15.C4[2012·
全国卷]当函数y=sinx-cosx(0≤x<
2π)取得最大值时,x=________.
15. [解析]本小题主要考查利用三角函数的两角和与差公式变形求最值,解题的突破口为化为振幅式并注意定义域.
函数可化为y=2sin,由x∈[0,2π)得x-∈,∴x-=,即x=时,函数有最大值2,故填.
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为
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