《二倍角的正弦余弦和正切》Word文件下载.docx
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单角和倍角是相对的,α是的倍角,在问题1中如果使用这个关系,则得到cos2=,sin2=,把这个式子开方得cos=±
sin=±
再根据同角三角函数关系可得tan=±
符号由所在象限决定.对正切的半角公式又有tan====,这组公式称为半角公式.
问题4:
二倍角公式与和(差)角公式有什么内在联系?
1.sincos的值为( ).
A. B. C. D.
2.等于( ).
A.-cos1B.cos1C.cos1-sin1D.sin1-cos1
3.= .
4.请回答《创设情境》中的问题.
直接利用二倍角、半角等公式进行化简或求值
将下列三角函数式进行化简或求值:
(1)8sincoscoscos;
(2)-;
(3)(sin+cos)(sin-cos);
二倍角或半角公式在三角函数中的综合运用
已知sinα+cosα=,α∈(0,),sin(β-)=,β∈(,).
(1)求sin2α和tan2α的值;
(2)求cos(α+2β)的值.
已知角的某种三角函数值求值或角
已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>
1)的两根分别为tanα,tanβ,且α,β∈(-,),则tan的值是 .
(1);
(2)(0<
θ<
π).
已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间[,]上的最小值和最大值.
已知tan(α-β)=,tanβ=-,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.
1.已知sin2α=,则cos2(α+)=( ).
A. B. C. D.
2.若△ABC的内角A满足sin2A=,则sinA+cosA的值为( ).
A. B.- C. D.-
3.化简cos2(θ+15°
)+cos2(θ-15°
)-cos2θ= .
4.函数f(x)=cos2x+sinx,求f(x)在区间[-,]上的最小值.
(2012年·
四川卷)已知函数f(x)=cos2-sincos-.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;
(2)若f(α)=,求sin2α的值.
考题变式(我来改编):
答案
知识体系梳理
(1)2sinαcosα
(2)sin2α 2cos2α 2sin2α (3)
±
±
sin(α+β) cos(α+β) sin(α-β) cos(α-β) tan2α
tan(α+β) tan(α-β)
基础学习交流
1.A sincos=(2sincos)=sin(2×
)=sin=.
2.B ∵0<
1<
∴cos1>
0,∴===cos1.
3. 原式=()=tan(2×
22.5°
)=tan45°
=.
4.解:
在Rt△BCG中,设|CG|=x,
由于△BCG≌△ABF,所以|BF|=x.
由题意知,|BC|=1,|GF|=,
而|CG|2+|BG|2=|BC|2,∴x2+(+x)2=1,
∴x=,∴sinθ=x=,
∴sin2θ-cos2θ=2sin2θ-1=2×
()2-1=-.
重点难点探究
探究一:
【解析】
(1)原式=4sincoscos=2sincos=sin=.
(2)原式==tan2α.
(3)原式=sin2-cos2=-cos=.
【小结】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换,要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系,找到解题的突破口与方向.由二倍角或半角公式可直接求值,注意公式的正确使用.
探究二:
(1)由题意得(sinα+cosα)2=,即1+sin2α=,∴sin2α=.
又2α∈(0,),∴cos2α==,∴tan2α==.
(2)∵β∈(,),β-∈(0,),sin(β-)=,
∴cos(β-)=,
∴sin2(β-)=2sin(β-)cos(β-)=,
又sin2(β-)=-cos2β,∴cos2β=-,
又2β∈(,π),∴sin2β=.
∵cos2α==,α∈(0,),
∴cosα=,sinα=.
∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=×
(-)-×
=-.
【小结】在运用二倍角或半角公式进行化简或求值时,要注意角的范围,以免出现多解、漏解.
探究三:
【解析】由韦达定理得,tanα+tanβ=-4a,tanα·
tanβ=3a+1,
∴tan(α+β)===,
又∵tan(α+β)==,
整理,得2tan2+3tan-2=0,
又α,β∈(-,),∴α+β∈(-π,π),
∴∈(-,),
∴tan=-2或tan=.
[问题]tan=吗?
[结论]tan≠,∵a>
1,tanα+tanβ=-4a<
0,tanα·
tanβ=3a+1>
0,
∴tanα<
0,tanβ<
0,又由α,β∈(-,),得α,β∈(-,0),α+β∈(-π,0),则∈(-,0).
于是,正确解答如下:
由韦达定理得,a>
0.
又∵α,β∈(-,),得α,β∈(-,0),
∴α+β∈(-π,0),∈(-,0).
又∵tan(α+β)===,tan(α+β)==,
解得tan=-2或tan=(舍去).
【答案】-2
【小结】一些不能直接求值的三角函数,可通过变形或整体代换,再利用二倍角或半角公式等进行变形、简化,达到求值的目的.
思维拓展应用
应用一:
(1)原式=
===cos2x.
(2)因为0<
π,所以0<
<
所以原式=
==-cosθ.
应用二:
(1)∵f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=sin(2x-),
∴函数f(x)的最小正周期为=π.
(2)∵f(x)=sin(2x-)在区间[,]上为增函数,在区间[,]上为减函数,又f()=0,f()=,f()=sin(-)=-sin=-1,
∴函数f(x)在区间[,]上的最大值为,最小值为-1.
应用三:
因为tan2(α-β)==,
所以tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]==1,
又tanα=tan[(α-β)+β]==,
因为α∈(0,π),所以0<
α<
又<
β<
π,所以-π<
2α-β<
0,所以2α-β=-.
基础智能检测
1.A cos2(α+)===,故选A.
2.A ∵sin2A=2sinAcosA=,0<
A<
π,∴sinA>
0,cosA>
0,∴sinA+cosA====.
3.1 cos2(θ+15°
)-cos2θ=+-cos2θ=1+[cos(2θ+30°
)+cos(2θ-30°
)]-cos2θ=1+[cos2θcos30°
-sin2θsin30°
+cos2θcos30°
+sin2θsin30°
]-cos2θ=1+×
2cos2θcos30°
-cos2θ=1.
f(x)=cos2x+sinx=(1-2sin2x)+sinx
=-sin2x+sinx+=-(sinx-)2+.
令t=sinx,则由-≤x≤得,-≤t≤,根据二次函数y=-(t-)2+的性质得当t=-时,y取最小值-.
全新视角拓展
(1)由已知可得,
f(x)=cos2-sincos-
=(1+cosx)-sinx-
=cos(x+).
所以f(x)的最小正周期为2π,值域为[-,].
(2)由
(1)知,f(α)=cos(α+)=,
所以cos(α+)=.
所以sin2α=-cos(+2α)=-cos2(α+)
=1-2cos2(α+)=1-=.
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