吉林省辽源市东辽县学年高二上学期期末考试数学理试题 Word版含答案Word文档格式.docx
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6.已知是正方体中平面与下底面所在平面的交线,
下列结论错误的是().
A.//B.平面C.//平面D.
7.设原命题:
若向量构成空间向量的一组基底,则向量不共线.
则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()
8.已知双曲线上一点与双曲线的两个焦点、的连线互相垂直,
则三角形的面积为()
9.两个圆与
的公切线有且仅有()
A.条B.条C.条D.条
10.已知是抛物线的焦点,是该抛物线上的两点,,
则线段的中点到轴的距离为( )
A.B.C.D.
11.正三棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为,底面边长为,
则该球的表面积为( )
12.如图,为四棱锥的棱的三等分点,
且,点在上,.四边形为
平行四边形,若四点共面,则实数等于()
第Ⅱ卷(非选择题,共计90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.命题“”的否定是.
14.平面的法向量,平面β的法向量,
若∥,则__________________.
15.已知点的坐标为,是抛物线的焦点,点是抛物线上的动点,
当取得最小值时,点的坐标为.
16.已知双曲线的左、右焦点分别为,
若双曲线上存在一点使,
则该双曲线的离心率的取值范围是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)
已知四棱锥的底面是边长为的正方形,
侧面是全等的等腰三角形,侧棱长为,
求它的表面积和体积.
18.(本小题满分12分)
已知直线方程为.
(1)求证:
不论取何实数值,此直线必过定点;
(2)过这定点作一条直线,使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分,求这条直线方程.
19.(本小题满分12分)
在棱长为的正方体中,分别是棱的中点.
(1)求证:
平面;
(2)求二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知圆满足:
①过原点;
②圆心在直线上;
③被轴截得的弦长为.
(1)求圆的方程;
(2)若是圆上的动点,求点到直线距离的最小值.
21.(本小题满分12分).
在斜三棱柱中,点、分别是、的中点,⊥平面.
,.
(1)证明:
∥平面;
(2)求异面直线与所成的角;
(3)求与平面所成角的正弦值.
22.(本小题满分12分)
已知椭圆:
和直线:
椭圆的离心率,
坐标原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知定点,若直线与椭圆相交于、两点,
试判断是否存在实数,使以为直径的圆过定点?
若存在求出这个值,
若不存在说明理由.
一.选择题:
1.B2.C3.A4.A5.B6.D7.B8.D9.B10.C11.C12.A
二.填空题:
13.14.15.16.
三.解答题:
17.解:
过点作,垂足为,
由勾股定理得:
所以,棱锥的表面积-----5分
过点作,垂足为,连接.
所以,棱锥的体积------10分
18.
(1)证明:
将方程变形为
解方程组得:
所以,不论取何实数值,此直线必过定点.-----6分
(2)解:
设所求直线交x轴y轴分别为点
由中点坐标公式得
所以直线的方程为:
即------12分
19.解:
(1)以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,
可得:
,则中点
因所以
而所以平面--------6分
(2)设平面的一个法向量为,因
由令得
同理平面的法向量为由
所以二面角的余弦值是-------12分
20.解:
(1)设圆的方程为
由已知可得:
解方程组得:
所以,圆的方程为或-----6分
(2)当圆的方程为时,
圆心到直线的距离为:
同理,当圆的方程为时,
圆心到直线的距离也为:
所以,点到直线距离的最小值为-------12分
21.解 解法1:
∵点O、E分别是A1C1、AA1的中点,
∴OE∥AC1,
又∵EO⊄平面AB1C1,AC1⊂平面AB1C1,
∴OE∥平面AB1C1.-------4分
(2)∵AO⊥平面A1B1C1,
∴AO⊥B1C1,
又∵A1C1⊥B1C1,且A1C1∩AO=O,
∴B1C1⊥平面A1C1CA,
∴A1C⊥B1C1.
又∵AA1=AC,∴四边形A1C1CA为菱形,
∴A1C⊥AC1,且B1C1∩AC1=C1,
∴A1C⊥平面AB1C1,
∴AB1⊥A1C,即异面直线AB1与A1C所成的角为90°
.------8分
(3)∵O是A1C1的中点,AO⊥A1C1,
∴AC1=AA1=2,
又A1C1=AC=2,∴△AA1C1为正三角形,
∴AO=,又∠BCA=90°
,
∴A1B1=AB=2,
设点C1到平面AA1B1的距离为d,
∵VA-A1B1C1=VC1-AA1B1,即·
(·
A1C1·
B1C1)·
AO=·
S△AA1B·
d.
又∵在△AA1B1中,A1B1=AB1=2,
∴S△AA1B1=,∴d=,
∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为.-------12分
解法2:
∵O是A1C1的中点,AO⊥A1C1,
∴AC=AA1=2,又A1C1=AC=2,
∴△AA1C1为正三角形,
如图建立空间直角坐标系O-xyz,则A(0,0,),A1(0,-1,0),E(0,-,),
C1(0,1,0),B1(2,1,0),C(0,2,).
(1)∵=(0,-,),=(0,1,-),
∴=-,即OE∥AC1,
又∵EO⊄平面AB1C1,AC1⊂平面AB1C1,
∴OE∥平面AB1C1.-------4分
(2)∵=(2,1,-),=(0,3,),
∴·
=0,即∴AB1⊥A1C,
∴异面直线AB1与A1C所成的角为90°
.-------8分
(3)设A1C1与平面AA1B1所成角为θ,=(0,2,0),
=(2,2,0),=(0,1,),
设平面AA1B1的一个法向量是n=(x,y,z),
则即
不妨令x=1,可得n=(1,-1,),
∴sinθ=cos〈,n〉==,
22.解:
(1)直线L:
由题意得:
又有,
解得:
椭圆的方程为.——5分
(2)若存在,则,设,则:
联立,得:
代入(*)式,解得:
,满足——12分
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