上海浦东新区高三数学一模考试试题解析版Word格式文档下载.docx
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C.根据线面垂直的判定定理,若直线与平面内的两条相交直线垂直,则直线与平面垂直,若直线与平面内的无数条平行直线垂直,则直线与平面不垂直,故C错误;
D.因为,所以确定唯一一个平面,又与都相交,故直线共面,故D正确;
D.
4.已知函数,则以下4个命题:
①是偶函数;
②在上是增函数;
③的值域为;
④对于任意的正有理数,存在奇数个零点.
其中正确命题的个数为()
A.0B.1C.2D.3
【答案】B
【分析】取特殊值可判断①②;
根据值域中不含负无理数可判断③;
根据为有理数或为无理数,解出可判断④.
【详解】①因为,所以,所以不是偶函数,故错误;
②因为,所以在不是增函数,故错误;
③因为,显然的值域中不含负无理数,
故的值域不为,故错误;
④的零点即为有理数或为无理数,
对于为有理数,必有解,
对于为无理数,必有解或无解,
故有三个零点或一个,故正确;
B.
二、填空题
5.________.
【答案】
【分析】由,再求解即可.
【详解】解:
因为,
故答案为:
.
【点睛】本题考查了数列的极限的运算,属基础题.
6.半径为2的球的表面积为________.
【分析】代入球的表面积公式:
即可求得.
【详解】,
由球的表面积公式可得,
故答案为:
【点睛】本题考查球的表面积公式;
属于基础题.
7.抛物线的准线方程为______________.
【分析】根据抛物线的性质得结论.
【详解】由抛物线方程得,焦点为,准线方程为.
.
8.已知集合,,则=________.
【分析】利用集合间的运算直接求解
【详解】,所以.
9.已知复数满足(为虚数单位),则___________.
【分析】求出,再根据复数模的求法即可求解.
10.在中,若,,,则_________.
【分析】由内角和求得,然后由正弦定理求得.
由正弦定理得,所以.
11.函数的反函数的定义域为___________.
【分析】根据原函数与反函数的关系,直接求原函数的值域.
【详解】函数的值域为,反函数的定义域是原函数的值域,
故其反函数的定义域为.
12.在的二项展开式中任取一项,则该项系数为有理数的概率为_________.(用数字作答)
【分析】根据二项展开式的通项,确定有理项所对应的的值,从而确定其概率.
【详解】展开式的通项为,
,
当且仅当为偶数时,该项系数为有理数,
故有满足题意,
故所求概率.
【点睛】
(1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:
第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);
第二步是根据所求的指数,再求所求解的项.
(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
13.正方形的边长为2,点和分别是边和上的动点,且,则的取值范围为________.
【分析】与的交点为它们的中点,这样,结合表示出,计算数量积易得取值范围.
【详解】连接交于点,则正方形中,由于,得,∴,,
因为正方形的边长为,所以,
所以.
【点睛】关键点点睛:
本题考查平面向量的数量积.解题关键是的中点也是的中点,从而只要用表示出,就易求得取值范围.
14.若等比数列的前项和为,且满足,则数列的前项和为为________.
【分析】由可得,令,,求得和,确定数列的前项和为.
【详解】
(),
在()式中,分别令,得,即,
因为是等比数列,所以公比,解得,
所以
15.设函数,若关于的方程有且仅有两个不同的实数根,则实数的取值构成的集合为________.
【分析】将方程的解转化为两个函数交点问题求解.
【详解】由得有两个不同的解,
令,
的顶点在上,
而与的交点坐标为,
联立得,
由,解得或,
数形结合,要使得有两个不同的解,
则实数的取值范围是或或.
16.对于任意的正实数,,则的取值范围为___________.
【分析】法一,原式上下同时除以,再构造斜率的几何意义,求表示打算的取值范围;
法二,原式上下同时除以后,利用换元,再变形,利用基本不等式求表达式的取值范围.
【详解】法一:
转化为斜率
先把化作,故可看作
与两点的斜率
其中点在上,数形结合(如下图),
故最小值为相切时取得,
设,联立
由解得(舍)
当时,(极限思想)
故的取值范围是.
法二:
令,则,
再令,则原式,
当且仅当时取等号,
再令,则,
当且仅当时取等号,故原式,
又时,,
所以的取值范围是.
本题上下同时除以后,法一的关键是点在上运动,宜采用数形结合分析问题,法二的关键是通过换元,降次,变形再利用基本不等式求取值范围.
三、解答题
17.如图,直三棱柱中,,,,点为线段的中点.
求直三棱柱的体积;
求异面直线与所成的角的大小.(结果用反三角表示)
【答案】;
【分析】利用体积公式代入数据求值即可;
是异面直线与所成的角或其补角,在中,利用余弦定理求得结果即可.
因为,,,
所以,
因为,
所以.
是异面直线与所成的角或其补角.
在中,,,,,
由余弦定理得,,.
异面直线与所成的角为.
【点睛】本题考查棱柱的体积、异面直线夹角的求法,利用平移的思想找出一面直线的夹角是解题的关键点,考查学生的空间立体感和运算能力,属于基础题.
18.已知函数的最小正周期为.
(1)求与的单调递增区间;
(2)在中,若,求的取值范围.
(1),;
(2)
【分析】
(1)根据函数的最小正周期为,可求,并写出函数式进而求的单调递增区间;
(2)由
(1)结论,求角,根据三角形内角和的性质可知角B、C的关系,进而求B的范围,即可求的取值范围.
(1)因为的最小正周期为,即
∴,令
解得
∴的单调递增区间是
(2)在中,若,
由
(1)得,,所以
因为所以,即
因为,所以;
所以
所以的取值范围
(1)由最小正周期求参数,利用整体代入法求的单调递增区间;
(2)应用三角形内角和性质可得内角B、C的关系,进而用其中一角表示另一角并确定角的范围,进而求函数值的范围.
19.勤俭节约是中华民族的传统美德.为避免舌尖上的浪费,各地各部门采取了精准供应的措施.某学校食堂经调查分析预测,从年初开始的前个月对某种食材的需求总量(公斤)近似地满足.为保证全年每一个月该食材都够用,食堂前个月的进货总量须不低于前个月的需求总量.
(1)如果每月初进货公斤,那么前7个月每月该食材是否都够用?
(2)若每月初等量进货(公斤),为保证全年每一个月该食材都够用,求的最小值.
(1)前7个月每月该食材都够用;
(2)为保证全年每一个月该食材都够用,每月初进货量的最小值为公斤.
(1)由题意知恒成立,讨论、确定不等式是否成立即可.
(2)保证全年每一个月该食材都够用有恒成立,即,可求的最小值.
(1)当时,每月需求量公斤,每月进货公斤,1到6月都够用;
当时,因为,第7个月该食材够用.
所以,前7个月每月该食材都够用
(2)为保证该食材全年每一个月都够用,不等式对恒成立.
当时,恒成立,可得;
当时,恒成立,即恒成立,而当时,的最大值为
综上,可得.
∴为保证全年每一个月该食材都够用,每月初进货量的最小值为公斤.
20.已知椭圆,、为的左、右焦点.
(1)求椭圆的焦距;
(2)点为椭圆一点,与平行的直线与椭圆交于两点A、B,若面积为,求直线的方程;
(3)已知椭圆与双曲线在第一象限的交点为,椭圆和双曲线上满足的所有点组成曲线.若点是曲线上一动点,求的取值范围.
(1);
(2);
(3)
(1)由椭圆方程,根据参数关系以及焦距的含义即可求焦距.
(2)由直线与椭圆关系,令,与椭圆方程联立有,应用弦长公式、点线距离公式、三角形面积公式,结合已知面积为1,即可求m的值.
(3)由题意知则曲线由双曲线、椭圆中的部分构成,令应用向量数量积的坐标表示即可得,讨论N在椭圆部分或双曲线部分,求的取值范围.
(1)由椭圆的方程知:
,即焦距为.
(2)设,代入得,
由得,,
所以Q到直线的距离,由,得
(3)由解得,设是曲线上一点,又,,,,
∴,
当在曲线上时,,
当时,,当时,,
所以;
当在曲线上时,;
当时,,;
综上,.
(1)由椭圆方程求参数c,进而求焦距.
(2)设直线方程,由直线与椭圆相交关系联立方程求,结合弦长公式、点线距离公式、三角形面积公式求参数,写出直线方程.
(3)由题意知曲线由双曲线、椭圆中的部分构成,结合向量数量积的坐标表示构造函数,讨论N点的位置求向量数量积的范围.
21.已知函数的定义域是,若对于任意的、,当时,都有,则称函数在上为非减函数.
(1)判断,与,是否是非减函数?
(2)已知函数在上为非减函数,求实数的取值范围;
(3)已知函数在上为非减函数,且满足条件:
①,②,③,求的值.
(1)在上不是非减函数,在上是非减函数;
(3).
(1)化简两个函数的解析式,结合二次函数和一次函数的单调性可得出结论;
(2)任取、且,由题中定义可得,通过作差法得出,求出的取值范围,即可得出实数的取值范围;
(3)根据题意计算出,根据非减函数的定义得知,对任意的,,由已知条件得出,进而可得出,即可得解.
(1),
所以,函数在区间上为减函数,在区间上为增函数,
则函数在区间上不是非减函数,
当时,,
所以,函数在区间上为非减函数;
(2)任取、且,即,
因为函数在上为非减函数,
有,
,,,,
,则,则,,即,
因此,实数的取值范围是;
(3)由已知得,,得,
从而,,所以,,
因为函数为上的非减函数,
对任意的,,即,所以,,
,所以,,
所以,,
,则,因此,.
本题考查函数的新定义“非减函数”,解题时要充分理解“非减函数”的定义,本题第
(2)问,在解题时充分利用定义,结合函数单调性、作差法以及参变
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