对称性与守恒定律文档格式.docx
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⑵力学量守恒的条件
说明不显含时间()(不显含,而不一定为0)
不特别声明,一般,如,,
即与对易,也可以作为守恒量的定义
⑶性质特点
①体系在任意状态下,平均值不随时间变化。
这是守恒量物理上的定义。
②体系在任意状态下,测量力学量(不显含)取值的几率分布不随时间变化。
证明:
为守恒量,因为,所以、有共同完全本征函数系,则有和
对任意态
为了求随时间的变化
()
利用的厄密性
关于的一阶微分方程,其解为:
与t无关。
∴
③问题:
量子体系的守恒量一定取确定值吗?
不一定(一定取确定的平均值)
量子体系的守恒量并不一定取确定值,即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。
若初始时刻,体系不处于守恒量的本征态,则此后任意时刻也不会处于的本征态,即守恒量不取确定值,违者违背性质②。
若初始时刻体系处于守恒量的本征态,则此后任何时刻它将处于的属于同一本征值的本征态中,否则也违背性质②。
这时守恒量的量子数称为好量子数,就是与能量同时有确定值的力学量的量子数。
⒊守恒定律
举例说明不显含,则,
⑴自由粒子的动量(守恒)
,,
,,所以动量是守恒量
因为,量子力学中的动量守恒定律
⑵中心力场运动粒子的角动量(,,,)(守恒)
,中心势场,对坐标原点各向同性
,,不显含时间
可以证明,即角动量是守恒量
物理理解:
在绕原点转动变换下,如一样,也表现为一个标量,即不变化。
而势也不变化,于是在绕原点转动变换下保持不变,可以证明,这时轨道角动量和是守恒量,即
数学理解:
如对,将与采用球坐标的表述。
球极坐标下:
只对角变量作用,r与独立
的函数与r的函数对易,与r无关
所以
同理,
即量子力学中的角动量守恒定律
如库仑场中的电子,氢原子
⑶哈密顿不显含时间体系的能量(守恒)
,即能量是守恒量
所以,即量子力学中的能量守恒定律
如一维无限深势阱的粒子,线性谐振子等等
⑷哈密顿对空间反演不变时的宇称(守恒)
已学过,宇称指波函数在空间反演()下的奇偶性
,﹢偶宇称,﹣奇宇称
把这种对波函数的空间反演运算用宇称算符表示。
宇称算符:
对波函数的空间反演运算
宇称本征值:
即算符的本征值为1=1
所以算符的本征值为±
1,
1偶宇称
-1奇宇称
宇称守恒:
如果,即哈密顿量在空间反演下保持不变,则体系宇称是守恒量即
0
所以
问题:
①宇称守恒的状态,宇称一定有确定值(即处在宇称本征态)吗?
不一定。
(看初态)
②
[例2.7.1]粒子在势场中运动,求坐标算符和动量算符对时间的微商。
解粒子的,将代入(2.7.5)式,利用,可得
(2.7.6)
以乘上式两边,即有
(2.7.7)
这表明,经典力学的动量表达式的量子力学中以算符的形式出现,坐标算符对时间的微商就是速度算符。
同理,将代入(2.7.5)式,并利用(见习题2.2.7),即有
(2.7.8)
式中是作用力算符。
这表明,经典力学的运动方程在量子力学中将以算符的形式出现,动量算符对时间的微商正好等于力算符。
将式(2.7.7)和(2.7.8)式对态求平均,即得坐标平均值与动量平均值的运动方程式
,(2.7.9)
将(2.7.9)式与(2.7.10)式联立可得
(2.7.10)
(2.7.11)式称为厄任费斯特(Ehrenfest)方程,由于与年顿方程相似又称为“量子力学中的年顿方程”,但它与经典力学的年顿方程存在本质的区别:
(1)在经典力学中,给出的是坐标的加速度;
在量子力学中,由于每一时刻一般没有确定值,给出的是坐标平均值的加速度。
(2)在经典力学中,位于的粒子所受的力仅决定于该点的势场,而且受力的大小与粒子的运动状态无关;
在量子力学中,起作用的是力的平均值
(2.7.11)
它是涉及整个势场的作用,而且与粒子所处的状态有关。
总之,经典力学中有关力学量之间的关系式,在量子力学中将以平均值或算符的形式出现。
2.7.2守恒量及其性质
1守恒量的定义
在任意态中,如果体系某一力学量的平均值对时间的微商为零,即
(2.7.17)
这表明,守恒量取值的概率分布为不随时间而变。
(2)性质二:
若初始时刻体系不处于守恒量的本征态,则此后任何时刻体系也不会处于本征态,即守恒量不取确定值,否则便会违背性质一;
若初始时刻体系处于守恒量的本征态,则此后任何时刻它都处于的同一本征值的本征态中,否则也违背性质一。
例如,在一维无限深势阱中运动的粒子,由于不显含,能量是守恒量。
若粒子的初始状态不是能量的本征态,而是各种能量本征态的线性叠加态,则此后任何时刻也如此。
又如自由粒子的动量是守恒量,若自由粒子的初始状态不是动量的本征态(平面波),而是各种波数的平面波的线性叠加态(波包),则此后任何时刻也如此。
与守恒量对应的量子数,称为好量子数,可以用它作为描述体系状态的特征参数。
当体系处于守恒量的本征态时,便可用好量子数来标记这个态。
在处理实际问题时,总是从所有的守恒量中选出一组力学量构成完全集。
由于表示守恒量的算符必与对易,因此这个共同本征态也是能量的本征态(定态)。
例如,对于氢原子(见4.2节)通常选择,和作为力学量的完全集,定态就是,和同时有确定值的状态,描述它们的主量子数,角量子数和磁量子数都是好量子数。
换句话说,好量子数就是与能量同时有确定值的力学量的量子数。
(3)性质三:
若体系有互相不对易的守恒量和,则体系的能级一般是简并的。
证由为守恒量,有,故与有共同的本征态,它们的本征值方程为
(2.7.18)
(2.7.19)
又由为守恒量,有,则
(2.7.20)
可见与均为的本征值为的本征态。
另一方面,,故有(除个别例外)
(2.7.21)
即不是的本征态。
由此式可见,与是两个不同的态。
即然两个不同的态具有相同的能级,可见能级是简并的。
例如,对于氢原子,与都是守恒量,但,故氢原子的能级是简并的。
当然,氢原子的基本是一个例外。
尽管,但使氢原子的基态能级并不简并。
因为为常数,任何微分算符作用于均为零,这是一个非常特殊的例子。
4.奇宇称算符和偶宇称算符
(1)定义:
在空间反演下,若算符,则称为奇宇称算符;
在空间反演下,若算符,则称为偶宇称算符
动量算符在空间反演下,有,称为奇宇称算符(也称具有奇宇称)。
动能算符在空间反演下,有,称为偶宇称算符(也称具有偶宇称)。
(2)哈密顿算符具有确定宇称的条件。
动能算符具有偶宇称,如果势能算符也具有偶宇称,即,则哈密顿算符具有偶宇称。
反之,如果势能算符具有奇宇称,则哈密顿算符没有确定的宇称。
(3)体系宇称守恒的条件。
若体系的哈密顿算符具有偶宇称(即空间反演不变性),即
(2.7.33)
则体系的宇称守恒。
证设为任意波函数,利用(2.7.33)式,可得
由的任意性,便有,即;
同时不显含,故宇称守恒。
正如守恒量的性质二所指出的:
若初始时刻体系处于宇称的本征态(即有确定的宇称),则此后任何时刻体系的状态将具有与初态相同的宇称;
若初始时刻体系不处于宇称的本征态(即没有确定的宇称),则此后任何时刻体系的状态也没有确定的宇称。
总之,宇称守恒使得初态的宇称性质不随时间而变。
5.能量本征态具有确定守称的条件
当是偶宇称算符,且能量本征值无简并,则相应的能量本征态具有确定的宇称。
证由于具有偶宇称的体系宇称守恒,故。
对于能量本征态,有
(2.7.34)
(2.7.35)
即与都是的属于的本征态。
在能量无简并的性况下,与只能相差一个常数因子
(2.7.36)
若能量本征态也是宇称的本征态,因而能量本征态具有确定的宇称。
若能量本征值有简并,尽管与是的属于的本征态,但与不是同一个态,,因此,不是的本征态,也就没有确定的宇称了(见例2.7.2)
例2.7.2一维自由粒子的,问:
(1)动量是不是守恒量?
(2)宇称是不是守恒量?
(3)与是不是对易的?
体系的能级是不是简并的?
(4)能量的本征态有没有确定的宇称?
为什么?
解
(1)因为不显含时间,且,故动量为守恒量。
(2)因为具有偶宇称,故宇称守恒。
(3)设为任意波函数,由于
(2.7.37)
这表明,与不对易。
宇恒量的性质三指出,体系有互相不对易的守恒量时,体系的能级是简并的。
(4)能量的本征态及,均不具有确定的宇称。
实际上
(2.7.38)
(2.7.39)
即不是宇称算符的本征态。
此时尽管是偶宇称算符,因为体系的能级是简并的,所以没有确定的宇称。
在经典力学中,从牛顿方程出发,在一定条件下可以导出力学量的守恒定律,粗看起来,守恒定律似乎是运动方程的结果.但从本质上来看,守恒定律比运动方程更为基本,因为它表述了自然界的一些普遍法则,支配着自然界的所有过程,制约着不同领域的运动方程.
守恒定律的根源就是自然界存在着的对称性,而所谓对称性,就是指体系的哈密顿算符在某种变换下的不变性.每一种变换下的不变性,都对应着某一个力学量的守恒定律.如空间反演不变性对应着对称守恒(§
3.7),空间平移不变性对应着动量守恒,空间旋转不变性对应着角动量守恒,时间平移不变性对应着能量守恒,等等.
保持体系的哈密顿算符不变的变换称为对称变换.本章第1节讨论对称变换的性质,以及对称变换与守恒量的关系.第2节讨论具有时空连续变换下保持不变性的体系所遵循的守恒定律.
§
7.2对称变换
设体系的哈密顿算符在变换下具有不变性,本节就从考虑对称变换的性质开始.
一、对称变换的性质
在变换下,体系的任何状态变为
即.
(1)
显然,对称变换满足如下两个条件:
第一,与对易.
证既然体系的在变换下保持不变,因此,与应满足相同的薛定谔方程,即
(2)
.(3)
以从左方作用于(3)式两边,利用逆算符的定义,得
(4)
比较
(2)式和(4)式,可得
.(5)
以从左边作用于(5)式的两边,即有
.(6)
即与对易.
第二,为么正算符.
证从几率守恒可见
.(7)
比较上式两端,即有
.(8)
即为么正算符[见§
3.2的(49)式].
综合上述,对称变换的变换算符是与体系哈密顿算符对易的么正算符.
二、对称变换与守恒量的关系
如果是厄米算符,则表示某个力学量,又由可知是守恒量,见§
3.7的(13)式.
如果不是厄米算符,则就不表示力学量.对于连续变换,当实参数趋于零时,连续变换算符光滑地衔接到单位算符
当.(9)
单位算符对应于恒等变换.对于有限变换,可表示为
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- 对称性 守恒定律