高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形分层限时跟踪练IWord格式.docx
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【解析】 分析三角函数图象,根据最小值求k,再求最大值.根据图象得函数的最小值为2,有-3+k=2,k=5,最大值为3+k=8.
3.(xx·
济南模拟)将函数y=cos2x的图象向左平移个单位,得到函数y=f(x)·
cosx的图象,则f(x)的表达式可以是( )
A.f(x)=-2sinxB.f(x)=2sinx
C.f(x)=sin2xD.f(x)=(sin2x+cos2x)
【解析】 将函数y=cos2x的图象向左平移个单位,得到函数y=cos=cos=-sin2x的图象,因为-sin2x=-2sinxcosx,所以f(x)=-2sinx.
【答案】 A
4.(xx·
太原模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期是π,若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象( )
A.关于直线x=对称B.关于直线x=对称
C.关于点对称D.关于点对称
【解析】 ∵f(x)的最小正周期为π,∴=π,ω=2,
∴f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)=sin=sin的图象,又g(x)的图象关于原点对称,∴-+φ=kπ,k∈Z,
∴φ=+kπ,k∈Z,又|φ|<,
∴<,∴k=-1,φ=-,
∴f(x)=sin.
当x=时,2x-=-.
∴A、C错误;
当x=时,2x-=,
∴B正确,D错误.
【答案】 B
5.(xx·
湖南高考)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=
( )
A.B.C.D.
【解析】 因为g(x)=sin2(x-φ)=sin(2x-2φ),所以|f(x1)-g(x2)|=|sin2x1-sin(2x2-2φ)|=2.因为-1≤sin2x1≤1,-1≤sin(2x2-2φ)≤1,所以sin2x1和sin(2x2-2φ)的值中,一个为1,另一个为-1,不妨取sin2x1=1,sin(2x2-2φ)=-1,则2x1=2k1π+,k1∈Z,2x2-2φ=2k2π-,k2∈Z,2x1-2x2+2φ=2(k1-k2)π+π,(k1-k2)∈Z,得|x1-x2|=.因为0<
φ<
,所以0<
-φ<
,故当k1-k2=0时,|x1-x2|min=-φ=,则φ=,故选D.
【答案】 D
二、填空题
6.(xx·
重庆高考)将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象,则f=.
【解析】 将y=sinx的图象向左平移个单位长度可得y=sin的图象,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍可得y=sin的图象,故f(x)=sin.所以f=sin=sin=.
【答案】
图358
7.(xx·
扬州模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<的部分图象如图358所示.当x∈时,函数y=f(x-1)+f(x)的值域为.
【解析】 由题图得,A=2,=-=1,得T=4,ω=,则f(x)=2sin.
由f=2sin=2,得sin=1,所以+φ=2kπ+(k∈Z),又0<φ<,得φ=,所以f(x)=2sin,y=f(x-1)+f(x)=2sin-2cos=2sin.
因为x∈,故≤x-≤,则-≤sin≤1,即-≤y≤2,所以函数y=f(x-1)+f(x)的值域为[-,2].
【答案】 [-,2]
8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,0<φ<的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为M,则f(x)的解析式为.
【解析】 由最低点为M得A=2.
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=,即T=π,ω===2,
由点M在图象上得2sin=-2,
即sin=-1,故+φ=2kπ-,k∈Z,
所以φ=2kπ-,k∈Z,又φ∈,所以φ=.
故f(x)=2sin.
【答案】 f(x)=2sin
三、解答题
9.(xx·
临沂模拟)已知函数f(x)=4cosx·
sin+a的最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期;
(2)在坐标系上作出f(x)在[0,π]上的图象.
【解】
(1)f(x)=4cosxsin+a=4cosx·
+a=sin2x+2cos2x+a=sin2x+cos2x+1+a=2sin+1+a的最大值为2,
∴a=-1,最小正周期T==π.
(2)列表:
x
π
2x+
2π
f(x)=2sin
1
2
-2
图象如下:
10.(xx·
天津十二区联考)函数f(x)=cos(πx+φ)的部分图象如图359所示.
图359
(1)求φ及图中x0的值;
(2)设g(x)=f(x)+f,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.
【解】
(1)由题图得f(0)=,所以cosφ=,
因为0<φ<,故φ=.
由于f(x)的最小正周期等于2,所以由题图可知1<x0<2,
故<πx0+<,
由f(x0)=得cos=,
所以πx0+=,x0=.
(2)因为f=cos=cos=-sinπx.
所以g(x)=f(x)+f=cos-sinπx=cosπxcos-sinπxsin-sinπx=cosπx-sinπx-sinπx=cosπx-sinπx
=sin.
当x∈时,-≤-πx≤.
所以-≤sin≤1,
故-πx=,即x=-时,g(x)取得最大值;
当-πx=-,即x=时,g(x)取得最小值-.
郑州模拟)函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位后关于原点对称,则函数f(x)在上的最小值为( )
A.- B.- C. D.
【解析】 函数f(x)=sin(2x+φ)向左平移个单位得y=sin=sin,又其为奇函数,故+φ=kπ,k∈Z,解得φ=kπ-,又|φ|<,令k=0,得φ=-,
∴f(x)=sin,又∵x∈,
∴sin∈,
即当x=0时,f(x)min=-,故选A.
南昌模拟)如图3510,M(xM,yM),N(xN,yN)分别是函
图3510
数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与两条直线l1:
y=m(A≥m≥0),l2:
y=-m的两个交点,记S(m)=|xN-xM|,则S(m)的图象大致是( )
【解析】 如图所示,作曲线y=f(x)的对称轴x=x1,x=x2,
点M与点D关于直线x=x1对称,点N与点C关于直线x=x2对称,所以xM+xD=2x1,xC+xN=2x2,所以xD=2x1-xM,xC=2x2-xN,
又点M与点C、点D与点N都关于点B对称,所以xM+xC=2xB,xD+xN=2xB,
所以xM+2x2-xN=2xB,2x1-xM+xN=2xB,
得xM-xN=2(xB-x2)=-,xN-xM=2(xB-x1)=,
所以|xM-xN|=(常数),其中T为f(x)的周期,选C.
吉林模拟)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)对于任意x都有f=f,则f=.
【解析】 由f=f对于任意x都成立,可知f(x)关于直线x=对称,∴f=±
2.
【答案】 ±
图3511
4.设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图3511所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°
,KL=1,则f的值为.
【解析】 ∵f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,
∴φ=+kπ,k∈Z.
又0<φ<π,故φ=.
∴f(x)=Acosωx.
又△KML为等腰直角三角形,且KL=1,∠KML=90°
.
∴M点的纵坐标yM=-,即A=,又由=1,可知ω=π.
∴f(x)=cosπx.
∴f=cos=×
=.
常德模拟)已知函数f(x)=sinωx·
cosωx+cos2ωx-(ω>0),直线x=x1,x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为.
(1)求f(x)的表达式;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若关于x的方程g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.
【解】
(1)f(x)=sin2ωx+×
-
=sin2ωx+cos2ωx=sin,
由题意知,最小正周期T=2×
=,
T===,所以ω=2,∴f(x)=sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到y=sin的图象,
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,
得到y=sin的图象.
所以g(x)=sin.
令2x-=t,∵0≤x≤,∴-≤t≤.
g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,
即函数g(x)=sint与y=-k在区间上有且只有一个交点.如图,由正弦函数的图象可知-≤-k<或-k=1.
∴-<k≤或k=-1.
福建高考)已知函数f(x)=10sincos+10cos2.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再向下平移a(a>
0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,且函数g(x)的最大值为2.
①求函数g(x)的解析式;
②证明:
存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>
0.
【解】
(1)因为f(x)=10sincos+10cos2
=5sinx+5cosx+5
=10sin+5,
所以函数f(x)的最小正周期T=2π.
(2)①将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y=10sinx+5的图象,再向下平移a(a>
0)个单位长度后得到g(x)=10sinx+5-a的图象.
又已知函数g(x)的最大值为2,
所以10+5-a=2,解得a=13.
所以g(x)=10sinx-8.
②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>
0,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得10sinx0-8>
0,即sinx0>
由<
知,存在0<
α0<
,使得sinα0=.
由正弦函数的性质可知,
当x∈(α0,π-α0)时,均有sinx>
因为y=sinx的周期为2π,
所以当x∈(2kπ+α0,2kπ+π-α0)(k∈Z)时,
均有sinx>
因为对任意的整数k,(2kπ+π-α0)-(2kπ+α0)=π-2α0>
>
1,
所以对任意的正整数k,都存在正整数xk∈
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