黑龙江省海林市朝鲜族中学数列多选题试题含答案Word格式文档下载.docx
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又“间隔数”的最小值为3,故存在,使成立,且存在,使成立,故且,故,故D正确.
故选:
BCD.
【点睛】
本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义,判断是否存在正整数,使对于任意的恒成立,逐项突破难点即可.
2.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:
1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”,记为数列的前项和,则下列结论正确的是()
A.B.
C.D.
【答案】ACD
由题意可得数列满足递推关系,依次判断四个选项,即可得正确答案.
对于A,写出数列的前6项为,故A正确;
对于B,,故B错误;
对于C,由,,,……,,可得:
,故C正确.
对于D,斐波那契数列总有,则,,,……,,,可得,故D正确;
ACD.
本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,考查方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意递推关系的灵活转换,属于中档题.
3.已知等差数列中,,公差,则使得前项和取得最小值的正整数n的值是()
A.B.C.D.
【答案】BC
分析出数列为单调递增数列,且,由此可得出结论.
在等差数列中,,公差,则数列为递增数列,可得,
,可得,,
所以,数列的前项均为负数,且,
因此,当或时,最小.
BC.
方法点睛:
本题考查等差数列前项和最大值的方法如下:
(1)利用是关于的二次函数,利用二次函数的基本性质可求得结果;
(2)解不等式,解出满足此不等式的最大的即可找到使得最小.
4.在数列中,如果对任意都有(为常数),则称为等差比数列,k称为公差比下列说法正确的是()
A.等差数列一定是等差比数列
B.等差比数列的公差比一定不为0
C.若,则数列是等差比数列
D.若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比
考虑常数列可以判定A错误,利用反证法判定B正确,代入等差比数列公式判定CD正确.
对于数列,考虑,无意义,所以A选项错误;
若等差比数列的公差比为0,,则与题目矛盾,所以B选项说法正确;
若,,数列是等差比数列,所以C选项正确;
若等比数列是等差比数列,则,
,所以D选项正确.
BCD
易错点睛:
此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意:
(1)常数列作为特殊的等差数列公差为0;
(2)非零常数列作为特殊等比数列公比为1.
5.下列说法中正确的是()
A.数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数,都有
B.数列成等比数列的充要条件是对于任意的正整数,都有
C.若数列是等差数列,则、、也是等差数列
D.若数列是等比数列,则、、也是等比数列
【答案】AC
利用等差中项法可判断A选项的正误;
取可判断B选项的正误;
利用等差数列求和公式以及等差中项法可判断C选项的正误;
取,为偶数可判断D选项的正误.
对于A选项,充分性:
若数列成等差数列,则对任意的正整数,、、成等差数列,则,即,充分性成立;
必要性:
对任意的正整数,都有,则,
可得出,
所以,数列成等差数列,必要性成立.
所以,数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数,都有,A选项正确;
对于B选项,当数列满足时,有,但数列不是等比数列,B选项错误;
对于C选项,设等差数列的公差为,则,,,
所以,,
,
所以,、、是等差数列,C选项正确;
对于D选项,当公比,且是偶数时,、、都为0,
故、、不是等比数列,所以D选项错误.
AC.
方法点睛;
1.判断等差数列有如下方法:
(1)定义法:
(为常数,);
(2)等差中项法:
;
(3)通项法:
(、常数);
(4)前项和法:
(、常数).
2.判断等比数列有如下方法:
(为非零常数,);
(2)等比中项法:
,,;
(3)通项公式法:
(、为非零常数);
,、为非零常数且.
6.已知数列,满足:
,,,则下列命题为真命题的是()
A.数列单调递增B.数列单调递增
C.数列单调递增D.数列从某项以后单调递增
计算,知A错误;
依题意两式相加是等比数列,得到,知B正确;
结合已知条件,计算,即得C正确;
先计算,再结合指数函数、对数函数增长特征知D正确.
由题可知,①,②,①-②得,,当时,,∴,故A错误.
①+②得,,,∴是以为首项,3为公比的等比数列,∴,∴,③又,∴B正确.将③代入①得,,∴,故C正确.
将③代入②得,,∴.由,结合指数函数与对数函数的增长速度知,从某个起,,又,∴,即从某项起单调递增,故D正确.
BCD.
判定数列单调性的方法:
对任意,,则是递增数列,,则是递减数列;
(2)借助函数单调性:
利用,研究函数单调性,得到数列单调性.
7.斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家列昂多·
斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为,则的通项公式为()
A.
B.且
C.
D.
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可;
解:
斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,
显然,,,,,所以且,即B满足条件;
由,
所以
所以数列是以为首项,为公比的等比数列,
所以,
令,则,
所以以为首项,为公比的等比数列,
所以;
即C满足条件;
BC
考查等比数列的性质和通项公式,数列递推公式的应用,本题运算量较大,难度较大,要求由较高的逻辑思维能力,属于中档题.
8.已知等差数列的前项和为,若,,,,成等比数列,则()
先根据题意求出等差数列的首项和公差,再根据等差数列的通项公式和求和公式求得,再由,,成等比数列列出式子求解得出的值,再利用裂项相消法求和,得到,从而判断各项的正误.
依题意,,解得;
而,故,则,
则,,故D、A正确:
因为,,成等比数列,
故,
则,解得,故C正确;
而,故B错误.
ACD.
思路点睛:
该题考查的是有关数列的问题,解题方法如下:
(1)根据题意,求得通项公式,进而求得前项和;
(2)根据三项成等比数列的条件,列出等式,求得的值;
(3)利用裂项相消法,对求和;
(4)对选项逐个判断正误,得到结果.
二、平面向量多选题
9.已知向量,,则()
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
【答案】AD
先根据建立方程解得,判断选项A正确;
再根据,建立方程解得,判断选项B错误;
接着根据建立不等式解得,判断选项C错误;
最后根据,化简整理得到,判断选项D正确.
因为,,,则,解得,故选项A正确;
因为,,,则,即,解得,故选项B错误;
因为,,,则,解得,故选项C错误;
因为,,,则,,,所以,故选项D正确.
故答案为:
AD.
本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直,是中档题.
10.已知是边长为的等边三角形,P为所在平面内一点,则的值可能是()
通过建系,用坐标来表示向量,根据向量的乘法运算法则以及不等式,可得结果.
建立如图所示的平面直角坐标系.
设,又,,
,则,
,.
则
即
即.
本题主要通过建系的方法求解几何中向量的问题,属中档题.
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