1083几何基础精编版Word下载.docx
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2.当(D)时,向量={2,0,x),={2,-8,-1)垂直.D.x=4
3.已知(C)对对应点可以确定一个仿射变换.C.3
4.(A)在射影对应下不变.A.交比
5.(B)对对应点唯一确定点列之间的射影对应.B.3
1.设={1,2,-1},={-1,0,1},则×
=(C).C.{2,0,2}
2.(A)在射影变换下保持不变.A.同素性
3.不重合的(B)对对应元素确定唯一一个对合对应.B.2
4.两个一维基本形成射影对应,则对应四元素的交比(A).A.相等
5.二阶曲线x2-2xy+y2-y+2=0是(D).D.抛物线
1.设,,则与的夹角为(A).A.
2.A、B、C、D为直线上的互异的四点,C、D在A、B之内,则四点交比(BA,DC)(B).B.大于零
3.不重合的(D)对对应元素确定唯一一个对合对应.D.2
4.若点P在二次曲线上,那么它的极线一定是的(B).B.切线
5.若(AB,CD)=-1,则A,B,C,D四点(A).A.调和共轭
二、填空题(每小题4分,本题共20分)
6.等边三角形在仿射变换下变成.6.任意三角形
7.射影对应把矩形对角线变成7.任意四边形的对角线
8.对对应点唯一确定两个点列间射影对应.8.三
9.对不共心的射影对应的线束,对应直线的交点全体构成一条二次曲线.9.两
10.几何公理体系的三个基本问题包括10.相容性(即无矛盾性);
独立性(即最少个数问题);
完备性
6.设-{1,-2,x},={-2,4,2},若∥,则x=______________.6.-1
7.在仿射变换下,圆变成________________.7.椭圆
8.设(AB,DC)=2,则(AB,CD)=________________.8.
9.两个_______________对应直线交点的全体是二阶曲线.9.射影线束
I0.由配极原则可知,无穷远点的极线一定通过_________.10.中心
6.仿射变换把梯形变成.6.梯形
7.向量的充分必要条件是.7.二者内积为0(或以)
8.个不共心的射影对应的线束对应直线的交点全体构成一条二次曲线.8.两个
9.射影对应把矩形变成.9.任意四边形
10.(BA,DC)=r,则(AB,CD)=.10.r
6.菱形在仿射变换下变成____平行四边形
7.射影对应把正方形对角线变成任意四边形的对角线
8.不重合的____对对应元素确定唯一一个对合对应.两对
9.设=(1,0,-1},={1,-1,o},则口与苔的夹角为____
10.由配极原则可知,无穷远点的极线一定通过_____.中心
6.仿射变换把等腰三角形底边上的高线变成_______________________________三角形底边上的中线
7.已知共线四点A、B、C、D的交比(CA,DB)=2,则(CD,AB)=________________.-1
8.极线上的点与极点___________________.共轭
9.射影对应把等腰三角形底边上的高变成______________________________________.过顶点相交于对边的任意一条直线
10.几何公理体系的三个基本问题包括___________、___________、___________相容性、独立性、完备性
6.仿射变换把三角形的中线变成三角形的中线
7.已知共线四点A、B、C、D的交比(CD,AB)=2,则(CA,BD)=-1
8.射影对应把三角形中线变成过顶点相交于对边的任意一条直线
9.不重合的对应元素,确定唯一一个对合对应.两对
10.公理法的结构包括原始概念的列举;
定义的叙述;
公理的叙述;
定理的叙述和证明.
三、计算题(每小题10分,共30分)
11.求使直线x+y-1=0的每个点不变,且把点(1,2)变成点(-1,3)的仿射变换.
解设所求的仿射变换为
12.若直线l1,l2,l3,l4的方程为x-y-l=0,2x+y-3=0,3x-y=0,6x-1=0,求(l1,l2,l3,l4).
13.求点(1,-1,1)关于二阶曲线的极线
11.求使直线的每个点不变,且把点(1,1)变成点(-1,1)的仿射变换.
(3分)
在直线x-2y-1=0上任取两点(1,0),(-1,-1),则所求的仿射变换把三点(1,1),(1,O),(-1,-1),分别变成点(一1,1),(1,0),(-1,-1),将这三对点代人仿射变换式得
解得(8分)
因此,所求的仿射变换式为
(10分)
12.若直线,,,的方程为,求(,,,).
解与x轴的交点分别为
(5分)
于是(10分)
13.求点关于(1,-1,0)二阶曲线的极线.
解将点(1,-1,0)的坐标及的值代入极线方程
即
5分)
整理即得所求极线方程
10分
11.求过两直线x-y+2=0与x+y-1=0的交点和点(1,l,1)的直线方程.
交点为
于是,过点(-1,3,2)与点(1,1,1)的直线方程为
12.求二次曲线3+2+x1x2+x2x3=0与x轴的交点,并求出过交点的切线方程.
解二次曲线给与轴的交点由方程组
确定,解之得.4分
过该点的切线方程为
化简后,切线方程为10分
13.求四点A(2,1,-1),B(1,-1,1),C(1,0,0),D(1,5,-5)的交比(AB,CD).
解取为基点,将四点的坐标依次表汞为
3分
则四点的交比为
5分
这里,于是,于是,8分
因此
11.求使三点(0,0),(1,-1),(1,1)的对应点分别为(1,2),(2,4),(-1,3)的仿射变换式.
.解将每对对应点分别代入仿射变换公式,
……………………………………3分
得
解得……………………………………6分
代入仿射变换式,得所求的仿射变换式
………………………………………10分
12.求二次曲线=0与轴的交点,并求出过交点的切线方程.
12.解二次曲线轴的交点由方程组
确定,解之得
取,得,于是交点为(-1,0,1)……………………3分
(-101)……………………8分
化简后为,切线方程为……………………10分
13.经过A(1,1)和B(2,0)两点的直线和直线交于C点,求(ABC).
12.解经过AB两点的直线方程为
……………………3分
求经过AB两点的直线与直线的交点
交点C的坐标为(3,-1)……………………6分
于是
……………………10分
11.求将三点O(0,0),A(1,0),B(0,1)变为O'
(1,1),A'
(3,1),B'
(3,2)的仿射变换.
11.解由仿射变换式
将O(0,0),A(1,0),B(O,1),O'
(3,2)分别代入上式得
……………………………………………………………5分
所求仿射变换式为
…………………………………………………………10分
12.求过两直线[0,0,-1],[1,O,1]的交点与点u1+2u2+u3=0的连线的坐标.
12.解直线[0,0,-1],[1,O,1]的交点为
=(0,-1,0), …………………………………………………4分
点(0,-1,0)与点+2+=0的连线方程为
=[-1,0,1]=0. ………………………………………………9分
于是,所求连线的坐标为[-1,O,1]. ……………………………………………10分
13.求四点A(2,1,-1),B(1,-1,1),C(I,0,0),D(1,5,-5)的交比(AB,CD).
13.解取A和B为基点,将A(2,1,-1),B(1,-1,1),C(1,0,0),D(1,5,-5)四点的坐标依次表示为a,b,a+1b,a+2b……………………………………2分
(AB,CD)=……………………………………………………………5分
这里3C=A+B,于是A1=1,D=2A-3B,于是=-.,……………………9分
因此,
(AB,CD)==-.………………………………………………………………10分
11.求过两直线的直线方程,
11.解两直线的齐次坐标形式分别为…….3分
………6分
于是,过点(1,1,-1)与点(1,2,1)的直线方程为
………………9分
12.已知,验证它们共线,并求(AB,CD)的值.
12.解因为
所以A,B,C,D四点共线,.………………5分
设
由
所以
13.求二阶曲线的中心.
13.解因为………………5分
因此,中心坐标为(-3.1,1),或写成非齐次坐标(-3,1).
四、证明题(每小题10分,共30分)
14.证明:
以任意三角形的三条中线为边可做一个三角形.
14.证明如图,
设……2分
设,
则以为边可作成一个三角形
当且仅当…………5分
在△ABD中
在△BCE中
在△CAF中
………8分
以上三式相加得
于是三条中线构成三角形。
15.证明:
相交于影消线上的二直线,象为二平行线.
15.证明因为中心投影把π上的影消线投影到上的无穷远直线………3分
所以,二直线的交点的象为上无穷远点,………6分
两直线的象交于无穷远点,因此,两直线的象在上平行.……10分
16.证明:
在两个三角形中,三组对应边的交点共线,则三组对应顶点连线共点.
16.证明若三点形ABC与的对应边BC与B'
C'
的交点X,AC与A'
的交点Y,AB与A'
B'
的交点Z共线………3分
考虑三点形XBB'
,YAA'
,由于XY与AB,A'
交于Z,…………6分
由笛沙格定理知,三组对应边的交点C,,O共线,于是AA'
,BB'
,CC'
共点.…10分
14.三角形中位线平行于底边且等于底边的一半.
14.证明如图所示,
设a=,b=,c=,
则a+b+c=0,………………………………………………………………………………………………3分
=+=+(-l-)
=c+a+b=(c+a+b)+a
=a=
与成比例,说明DE∥BC,且DE=BC ………………………10分
15.设△ABC,D是BC边的中点,E是AB上任意一点,连结EC交AD于O,连结BO
交AC于F.利用完全四线形定理证明,EF∥BC.
15.证明 如图所示,AB,BC,AC,EC构成完全四线形,设EFBC=P,则
(BC,DP)-1,………………………………………
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