新人教数学七下第六章实数全章教案Word文件下载.docx
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0的算术平方根是0
探究:
怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形
把两个小正方形沿对角剪开,将所得的四个直角形拼在一起,就的到一个面积为2的大正方形。
设大正方形的边长为,则
由算术平方根的意义,
即大正方形的边长为
有多大呢?
思考:
你能举些象这样的无限不循环小数吗?
应用迁移,巩固提高
例1求下列各数的算术平方根
1000.00010
点拨:
由一个数的算术平方根的定义出发来解决问题
-4有算术平方根吗?
备选例题:
要使代数式有意义,则的取值范围是()
A.B.C.D.
总结反思,拓展升华
小结:
1、算术平方根的定义和性质
2、用计算器求一个正数的算术平方根
拓展:
已知的算术平方根是3,的算术平方根是4,是的整数部分,求的算术平方根
课堂跟踪反馈
1、非负数的算术平方根表示为___,225的算术平方根是____,0的算术平方根是____
2、
3、的算术平方根是_____,的算术平方根____
4、若是49的算术平方根,则=()
A.7B.-7C.49D.-49
5、若,则的算术平方根是()
A.49B.53C.7D.
6、若,求的值。
7、若是的整数部分,是的小数部分,试确定、的值。
8、一个自然数的算术平方根为,那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是_______
第2课时
复习提问:
1、什么数的平方是49?
2、平方得81的数有几个?
分别是什么?
3、一对互为相反数的平方有什么关系?
交流总结:
由问题出发,认识到平方得一个正数的数有2个,并且互为相反数(引入新课)
独立看书,自学教材
想一想:
到底什么是平方根,它和我们已经认识的算术平方根有何关系?
什么叫一个数的平方根?
如何用符号表示?
根据平方根的定义,只有什么数才有平方根?
什么叫开方?
[如果一个数的平方等于,那么这个数叫做的平方根或二次方根,用符号表示为:
若;
只有非负数才有平方根;
求一个数的平方根的运算叫做开平方运算。
]
练一练:
求下列数的平方根
1000.250
总结归纳:
1、正数有两个平方根,它们互为相反数
2、0的平方根是0
3、负数没有平方根
平方根与算术平方根之间有什么关系?
1、平方根与算术平方根之间的区别
定义不同:
如果,那么叫做的平方根。
一个正数有两个平方根,它们互为相反数;
0有一个平方根,是0本身;
负数没有平方根。
如果,并且,那么叫做的算术平方根。
一个正数的算术平方根只有一个,非负数的算术平方根一定是非负数
表示方法不同:
正数的平方根表示为;
正数的算术平方根为
平方根等于本身的数是0;
算术平方根等于本身的数是0或1
2、平方根与算术平方根之间的联系
二者有着包含关系:
平方根中包含算术平方根,算术平方根是平方根中的非负的那一个
存在条件相同,非负数才有平方根和算术平方根
0的平方根和0的算术平方根都是0
例1说出下列各数的平方根
0.04
例2说出下列各数的平方根各是什么?
640
点评:
要从根本之处理解一个数的平方根的运算,从平方根的概念入手,同时要知道,只有非负数才有平方根
例3计算
总结反思,拓展升华
小结1、平方根的定义及符号表示
2、平方根与算术平方根的关系
拓展已知,求:
的平方根
1、判断下列说法是否正确
5是25的算术平方根()
是的一个平方根()
的平方根是-4()
0的平方根与算术平方根都是0()
2、
3、若,则,的平方根是
4、的平方根是()A.B.C.D.
5、给出下列各数:
,其中有平方根的数共有()
A.3个B.4个C.5个D.6个
6、若一个数的平方根等于它本身,数的算术平方根也等于它本身,试求的平方根。
7、求下列各数中的值
9、若,求、的值
10、如果一个正数的两个平方根为和,请你求出这个正数
6.2立方根
了解立方根的概念,会用符号表示一个数的立方根
了解立方根的概念,用立方运算求某些数的立方根;
,会用计算器求某些数的立方根
明确平方根与立方根的区别,能熟练地求某些数的立方根
出示一个正方体纸盒,提出问题,如果这个正方体的体积为216,那么它每条棱长是多少?
观察由以上问题,有,即要求一个数,使它的立方等于216,通过分析,有,那么6就是这个正方体的棱长
归纳如果一个数的立方等于,这个数叫做的立方根(也叫做三次方根),即如果,那么叫做的立方根
探究根据立方根的意义填空,看看正数、0、负数的立方根各有什么特点?
因为,所以8的立方根是
(2)
因为,所以0.125的立方根是()
因为,所以8的立方根是(0)
因为,所以8的立方根是()
【总结归纳】
【类比思考】平方根的表示我们已经很清楚了,那么立方根又该如何表示呢?
【探究说明】一个数的立方根,记作,读作:
“三次根号”,其中叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方。
例如:
表示27的立方根,;
表示的立方根,
【探究】因为所以=
因为,所以=
总结利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即。
操作用计算器求数的立方根的步骤及方法:
用计算器求立方根和求平方根的步骤相同,只是根指数不同。
步骤:
输入→被开方数→=→根据显示写出立方根
例:
求-5的立方根(保留三个有效数字)
→被开方数→=→1.709975947
所以
例1求下列各数的立方根
-8
例2计算
例3张叔叔有棱长为的两个正方体纸箱中装满了大米,他将这两箱大米都倒入了另一个新的正方体木箱中,结果正好装满,那么这个新的正方体木箱的棱长大约是多少?
(结果精确到)
分析从一个实际问题中抽象出数学关系,即一个正方体的体积等于另一个正方体体积的2倍,列式并计算。
例4解方程
分析我们已经学习了立方根,也能由立方根的定义求解(为常数)这一类型简单的三次方程。
第小题,我们要把看成一个整体,依然转化成为的形式,再由立方根定义去求解。
备选例题的自变量的取值范围是()
A.且B.C.且D.全体实数
小结1、立方根的概念和性质
2、立方根与平方根的异同比较
1、当
≥0时,有意义;
当为一切实数时,有意义
2、的立方根是-2,的平方根是±
2,的立方根是-2
3、-8的立方根与的一个平方根的和等于1或-5
4、一个自然数的算术平方根是,那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是,立方根是
5、解下列方程
6、已知,且,求的值
6.3实数
了解无理数和实数的概念,知道实数和数轴上的点一一对应,能估算无理数的大小;
了解实数的运算法则及运算律,会进行实数的运算,会用计算器进行实数的运算
实数的意义和实数的分类;
实数的运算法则及运算律
体会数轴上的点与实数是一一对应的;
准确地进行实数范围内的运算
略
探究使用计算器计算,把下列有理数写成小数的形式,你有什么发现?
3,,,,,
我们发现,上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式,即
,,,,,
归纳任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。
反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数
观察通过前面的探讨和学习,我们知道,很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小数又叫无理数,也是无理数
结论有理数和无理数统称为实数
试一试把实数分类
像有理数一样,无理数也有正负之分。
例如,,是正无理数,,,是负无理数。
由于非0有理数和无理数都有正负之分,所以实数也可以这样分类:
我们知道,每个有理数都可以用数轴上的点来表示。
无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢?
探究如图所示,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达点O′,点O′的坐标是多少?
总结1、事实上,每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,这就是说,数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数
当从有理数扩充到实数以后,实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;
反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数
2、与有理数一样,对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大
讨论当数从有理数扩充到实数以后,有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗?
总结数的相反数是,这里表示任意一个实数。
一个正实数的绝对值是本身;
一个负实数的绝对值是它的相反数;
0的绝对值是0
例1把下列各数分别填入相应的集合里:
正有理数{}负有理数{}
正无理数{}负无理数{}
备选例题下列实数中是无理数的为()
A.0B.C.D.
小结1、什么叫做无理数?
2、什么叫做有理数?
3、有理数和数轴上的点一一对应吗?
4、无理数和数轴上的点一一对应吗?
5、实数和数轴上的点一一对应吗?
1、下列各数中,是无理数的是()
A.B.C.D.
2、已知四个命题,正确的有()
有理数与无理数之和是无理数有理数与无理数之积是无理数
无理数与无理数之积是无理数无理数与无理数之积是无理数
A.1个B.2个C.3个D.4个
3、若实数满足,则()
4、下列说法正确的有()
不存在绝对值最小的无理数
不存在绝对值最小的实数
不存在与本身的算术平方根相等的数
比正实数小的数都是负实数
非负实数中最小的数是0
A.2个B.3个C.4个D.5个
5、的相反数是,绝对值是
1
若,则
6、是实数,则2
6、已知实数、、在数轴上的位置
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