第三讲动点形成平行四边形问题Word格式文档下载.docx
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点B的坐标为(1,0),OC=30B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值:
(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上。
是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?
若存在,求点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边,则这条线段可能为平行四边形的边或对角线
例3、如图,抛物线与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;
如果不存在,请说明理由.
【巩固练习】
1、已知抛物线()与轴相交于点,顶点为.直线分别与轴,轴相交于两点,并且与直线相交于点.
(1)填空:
试用含的代数式分别表示点与的坐标,
则;
(2)如图,将沿轴翻折,若点的对应点′恰好落在抛物线上,′与轴交于点,连结,求的值和四边形的面积;
(3)在抛物线()上是否存在一点,使得以为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点的坐标;
若不存在,试说明理由.
2.已知抛物线:
(1)求抛物线的顶点坐标.
(2)将抛物线向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到抛物线,求抛物线
的解析式.
(3)如下图,抛物线的顶点为P,轴上有一动点M,在、这两条抛物线上是否存在点N,使O(原点)、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形,若存在,求出N点的坐标;
若不存在,请说明理由.
3、已知:
如图所示,关于的抛物线与轴交于点、点,与轴交于点.
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点,使四边形为等腰梯形,写出点的坐标,
并求出直线的解析式;
y
(3)在
(2)中的直线交抛物线的对称轴于点,抛物线上有一动点,轴上有一动点.是否存在以为顶点的平行四边形?
如果存在,请直接写出点的坐标;
课后作业
1、已知一个二次函数的图像经过、、三点(如图1).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求的值;
(3)若点在轴上,点在
(1)中所求出的二次函数的图像上,且以点、、、
为顶点的四边形是平行四边形,求点、的坐标.
2、如图,在梯形中,点是的中点,是等边三角形.
(1)求证:
梯形是等腰梯形;
(2)动点、分别在线段和上运动,且保持不变.
设求与的函数关系式;
(3)在
(2)中:
①当动点、运动到何处时,以点、和点、、、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?
并指出符合条件的平行四边形的个数;
②当取最小值时,判断的形状,并说明理由.
第三讲动点形成平行四边形问题的讨论(教师)
4接写出抛物线的对称轴,及抛物线与轴的另一个交点B的坐标;
5点C在以AB为直径的⊙P上时,求抛物线的解析式;
6标平面内是否存在点,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为点的四边形是平行四边形?
解:
⑴对称轴是直线:
,点B的坐标是(3,0).
⑵如图,连接PC,∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B(3,0),
∴AB=4.∴
在Rt△POC中,∵OP=PA-OA=2-1=1,
∴∴b=
当时,
∴ ∴
(3)存在.理由:
如图,连接AC、BC.设点M的坐标为.
①以AC或BC为对角线时,点M在x轴上方,此时CM∥AB,且CM=AB.
由⑵知,AB=4,∴|x|=4,.
∴x=±
4.∴点M的坐标为;
②当以AB为对角线时,点M在x轴下方.
过M作MN⊥AB于N,则∠MNB=∠AOC=90°
.
∵四边形AMBC是平行四边形,∴AC=MB,且AC∥MB.
∴∠CAO=∠MBN.∴△AOC≌△BNM.∴BN=AO=1,MN=CO=.
∵OB=3,∴0N=3-1=2.∴点M的坐标为.
综上,坐标平面内存在点,坐标分为:
(1)∵对称轴,
又∵OC=3OB=3,,
∴C(0,-3)………2分
方法一:
把B(1,0)、C(0,-3)代入,
得:
,
∴,
方法二:
∵B(1,0),∴A(-4,0)
可令把C(0,-3)代入,
∴,
(2)方法一:
过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N,如图2,
∵
∵A(-4,0),C(0,-3)
设直线AC的解析式为代入,
求得:
令,
当时,DM有最大值3,
此时四边形ABCD面积有最大值。
过点D作DQ⊥y轴于Q,过点C作∥x轴交抛物线于,
从图象可判断当点D在下方的抛物线上运动时,四边形ABCD才有最大值。
则
=
=,
令
当时,四边形ABCD面积有最大值。
(3)因为AC为平行四边形的一边,分两种情况讨论:
①AE也为边时,过点C作CP∥x轴交抛物线于点P,
过点P作PE∥AC交x轴于点E,如图3,
此时四边形ACPE为平行四边形,
∵C(0,-3)令
解得:
x1=0,x2=-3,
∴P(-3,-3);
②AE为对角线时,如图4,
设E为(x,0),由平行四边形的对角线互相平分,
AE的中点为(,0),
∴P为(x-4,3)
∵点P在抛物线上,
∴(x-4)2+(x-4)-3=3,
解得:
x-4=,
∴P2、3为(,3);
综上,点P的坐标为(-3,-3)或(,3)或(,3)。
(1)令y=0,解得或(1分)∴A(-1,0)B(3,0);
将C点的横坐标x=2代入得y=-3,
∴C(2,-3),
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1,
(2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2),
则P、E的坐标分别为:
P(x,-x-1),
E(,
∵P点在E点的上方,PE=,
∴当时,PE的最大值=,
(3)存在4个这样的点F,
①当AF为平行四边形的边时,如图3,
同例2,可求的点F为(1,0)或(-3,0);
当AF为平行四边形的对角线时,如图4,
同例2,可求的点F为(4+,0)或(4-,0);
综上,点F的坐标为(1,0)
或(-3,0)
或(4+,0)
或(4-,0)。
(1).……………4分
(2)由题意得点与点′关于轴对称,
将′的坐标代入
得,
(不合题意,舍去),.……………2分
,点到轴的距离为3.
,,
直线的解析式为,
它与轴的交点为
∴点到轴的距离为.
.……………2分
(3)当点在轴的左侧时,若是平行四边形,则平行且等于,
把向上平移个单位得到,坐标为,
代入抛物线的解析式,得:
(不舍题意,舍去),,
.……………2分
当点在轴的右侧时,若是平行四边形,则与互相平分,
与关于原点对称,
将点坐标代入抛物线解析式得:
(不合题意,舍去),,
.……………2分
存在这样的点或,能使得以为顶点的四边形是平行四边形.
2、已知抛物线:
(1)依题意 ,
∴, ,
∴顶点坐标是(2,2),
(2)根据题意可知y2解析式中的二次项系数为,
且y2的顶点坐标是(4,3),
∴y2=-,即:
y2=,
(3)符合条件的N点存在。
如图:
若四边形OPMN为符合条件的平行四边形,
则∥,且,∴,
作轴于点A,轴于点B
则有(AAS) ∴
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