完整版陈雨涵《多元函数极值解法探究》毕业论文定稿Word文档格式.docx
- 文档编号:14859433
- 上传时间:2022-10-25
- 格式:DOCX
- 页数:23
- 大小:349.31KB
完整版陈雨涵《多元函数极值解法探究》毕业论文定稿Word文档格式.docx
《完整版陈雨涵《多元函数极值解法探究》毕业论文定稿Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整版陈雨涵《多元函数极值解法探究》毕业论文定稿Word文档格式.docx(23页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
Thereexistagreatmanyproblemsofextremevaluetosolveinscientificproductionactivity,someofthem,canbeworkedoutusingelementarymethods,whileotherproblemseithercanbesolvedwithgreatdifficulty,orcannotbesolved.Inviewofthis,thispaperwerepresentedtoseveralaspects:
thedefinitionandexistenceconditionsoftheextremevalueofthedualfunction,theoneorderpartialderivativescriterionoftheextremevalueofthedualfunction,thesolutiontoextremevalueproblemWithconditionsanditsapplication,thedefinitionoftheextremevaluesoffunctionwithnvariablesanditsexistenceconditions,n-variblefunctionrepeatextreme,thesolutiontoakindofextremevalueproblemofmulti-function,usingvectorthroughtheintroductionsofabovemethods,itisdesignedtobringsomeconveniencetoourstudyandwork.
Keywords:
multi-variblefunction;
extreme;
Necessaryandsufficientcondition
Directionalderivative;
firstpartialderivative;
Matrix;
criticalpoint;
1绪论
1.1研究多元函数极值的意义
科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方
法可以解决,目前最有效的方法是应用微分法求极值.
函数的极值一直是数学研究的重要内容之一,由于它的应用广泛,加之函数
本身变化纷繁,所以人们对其方法的研究较多,像不等式法,导数法,从矩阵的角度解决函数极值,利用拉格朗日乘数法解决函数的极值等等。
这些理论的提出并得到应用,与诸多数学家在这方面的努力是分不开的,他们给出了许多好的解决函数极值的方法,且将诸理论与实际有机的结合起来,这不仅为科研打下了良好的基础,也为诸多领域的实际工作提供了便捷,如在经济,管理,金融,科研等方面提供了便捷的方法,使得许多问题很便利的得以解决。
多元函数涉及到的量比较多,在求解某类形式上比较复杂的函数的极值问题比较困难,所以在本文中也介绍了利用向量方法求解一类多元函数极值的方法。
所起到的效果还是很理想的。
但是该方法所使用的范围比较的窄,只适合于某类函数极值的求解,所以具有很大的局限性,但是作为一种求多元函数极值的方法,我们很有必要关注它。
同时我们在解题的过程当中常常会遇到一些具有某些条件限制的多元函数极值的求解,在解这种条件极值的问题时当然我们不能不考虑其限制条件,那么我们什么时候、什么地方、如何用这些限制条件就成了我们所关心的问题。
就以上问题,在本文中给出了几种求条件极值方法。
旨在能为求条件极值提供一些可寻的方法。
因为在解题的过程中合理的选择一种好的方法,就等于成功了一半,同时可以大大减少解题的时间,对拓展解题的思路是很有帮助的。
不等式的证明是数学的学习过程中我们经常遇到,其证明具有很强的技巧性,
方法灵活多变,同时对综合能力和分析能力的要求都很高。
目前有多种形式的方法来证明不等式.但在本文中给出了应用多元函数条件极值的解法来证明不等式的方法,即在不等式证明中,适当变换目标函数和相应的限制条件,结合实际问题的提法来证明不等式。
在本文中就以用拉格朗日乘数法来证明不等式的方法以举例的形式略作了介绍。
由上述,我们对多元函数极值的求解方法做一个比较全面的了解是相当重要
的。
1.2回顾一元函数极值
我们先来讨论函数的极值,且总假定在上是连续的。
若对于一点
,存在的某一邻域(,使对于此邻域中的任意点,都有,则称在有一极大值,称为极大值点,同样我们可以定义函数的极小值。
若在上述的中等号不成立,我们就称为是严格极大值.同样可以定义严格极小值。
定理1(极值的必要条件)若是的极值,那么只可能是的零点或的不可导点。
定理2(极值判别法之一)
设在和(可导,那么
⑴若在内,而在内,则为极小值点。
⑵若在内,而在内,则为极大值点。
定理3(极值判别法之二)
设,
⑴若,则是极大值。
⑵若,则是极小值。
2二元函数极值
2.1二元函数极值的定义及存在条件
法可以解决,目前最有效的方法是应用微分法求极值。
2.1.1二元函数极值的定义
定义1:
设,函数:
DR,点D,如果存在一个邻域,
使得(p)()((p)())对一切成立,那么称为的一个(严格)极小值点,而()称为函数的一个(严格)极小值。
同样定义(严格)极大值点和(严格)极大值.极小值和极大值统称极值。
2.1.2二元函数取得极值的条件
定理1(必要条件)
设函数在点具有偏导数,且在点处有极值,则它在
点的偏导数必然为零;
证明:
不妨设在点处有极大值,则对于的某邻域
任意都有<
故当时,有
说明一元函数在处有最大值,必有;
类似地可证。
D中使的一切内点称为函数的驻点,由上面的定理知道,极值点
一定是驻点,但是驻点未必是极值点。
例如,在上考察函数f(x,y)=xy,这时
=y,=x,
所以(0,0)是的唯一驻点,由于,而在原点的任何一个邻域内,既有
使取正值的点(第一,三象限的点),也有使取负值的点(第二,四象限内的点),可见原点不是极值点,这说明:
函数没有极值点。
定理2(充分条件)
设函数在点的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,又,令,,
则在点处是否取得极值的条件如下:
⑴时具有极值,当时有极大值,当A>0时有极小值;
⑵时没有极值;
⑶时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论;
例1:
求函数的极值。
解:
令
在驻点,有
,,
。
而,故在点取得极小值,。
2.2二元函数极值的一阶偏导判定方法
对二元函数极值的判定,不仅可以借助于二阶导数进行判定,还可以借助于使用范围更广泛的一阶导数进行判定。
2.2.1判别方法
首先给出一个引理如下:
引理:
设函数在区间上有定义,在连续,在可导,
⑴若,,则在取得极小值。
⑵若,,则在取得极大值。
可以利用下述中值定理,即
容易得到结论。
根据上述思想,我们可以得到判别方法如下:
定理1:
设二元函数在凸区域D上有定义,在上连续,点
,在上可导:
⑴若,则在取得极小值。
⑵若,则在取得极大值。
,引入辅助函数:
其中。
由条件知在上满足拉格朗日中值定理的条件,于是存在,使得
,即
注意到D为凸区域,从而.
由条件⑴可知:
,
由的任意性以及极值的定义,可知,函数在取得极小值。
同以上证明方法可以得到,在条件⑵下,函数在取得极大值。
结论⑵证毕。
考虑到条件⑴,⑵的结构,若记,
引入中的内积则可将定理写成更简洁的形式。
2.2.2推广
在引入上述记号后,我们可以将问题推广到n维情形:
定理2:
设为凸区域,,若,在连续,在可导,
⑴若,,则函数在处取得极小值。
⑵若,,则函数在处取得极大值。
证明同定理1,此处不再赘述。
2.2.3应用
与一元函数相同,由于二元函数极值的一阶偏导数准则比利用二阶偏导的判别法要求的条件弱,从而一阶偏导数判别准则的应用更为广泛。
例1:
试研究函数在原点(0,0)是否达到极值。
由于
在原点处无定义,不能利用二阶判别法。
可利用定理1,,因为
成立,从而,可知在原点(0,0)处可以取得极大值
例2:
解:
容易知道的稳定点为,
因此在点处取得极小值,又因为出处存在偏导数,故是的唯一极值点。
3条件极值
3.1求条件极值的常用解法
我们在解题的过程当中常常会遇到一些具有某些条件限制的多元函数极值
的求解,在本节我们以例析的形式给出其一些常用解题方法。
3.1.1运用梯度法求条件极值
将梯度法用于求条件极值的问题。
方程组的解,就是所求极值问题的可能极值点。
实质上这种解法可以看作是将拉格朗日乘数法用梯度的形式来简写。
这是因
为将以上的梯度形式按各分量写开,就是拉格朗日乘数法的形式。
例1:
试求个正数,其和为定值的条件下,什么时候乘积最大,并证明
证明:
本题的实质是求在条件下的最大值问题。
根据本文定理,列出下列方程组,求解可能的极值点。
进一步求解得
容易得到
根据题意,则是唯一的极大值点,也是最大值点。
所以,
即
这一方法当然适合于二元函数和三元函数的条件极值问题。
例如:
求在条件下的极值,只要列出方程组再求出相应的,则其中是可能的极值点.
3.1.2利用二次方程判别式的符号求某些条件极值
例2:
若,试求的极值.
解因为,代入得
即①
这个关于的二次方程要有实数解,必须:
即
解关于的二次不等式,得:
显然,求函数的极值,相当于求
②
或
③
的极值.
由
(2)得④
这个关于的二次方程要有实数解,必须
即
解此关于的二次不等式,得.
所以
把代入(4)得,再把,代入
(1),得,最后把,,代入,得.
所以,当,,时,函数达到极大值3.
同理可得,当,,时,函数达到极小值-3.
也可以从(3)作类似讨论得出的极大值3和极小值-3.
3.1.3利用标准量代换法求函数极值
求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.
如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.
例3:
设,求的最小值.
取为标准量,令,则(为任意实数),从而有
(等号当且仅当即时成立).
所以的最小值为.
3.1.4借助辅助系数求某些条件极值
在求某些函数的条件极值的时候,可以先将所给的函数平方之,然后依靠辅助系数将平方
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 多元函数极值解法探究 完整版 陈雨涵 多元 函数 极值 解法 探究 毕业论文 定稿